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2024 届高三开年摸底联考
数学试题
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为 120分钟，满分 150分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1 1
1．已知集合A= x x2 − ≤0,B = x ≥1，则AB =（ ）
4 x
1 1
A．
0,
B．0,
C．( 0,1 ] D．[ 0,1 ]
2 2
3−2ai
2．复数z = ( a∈R )在复平面内对应的点在（ ）
2i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“∀x< −1,log x2 >0”的否定为（ ）
2
A．∀x< −1,log x2 ≤0 B．∀x ≥ −1,log x2 >0 C．∃x ≥ −1,log x2 >0 D．∃x<−1,log x2 ≤0
2 2 2 2
x2 y2
4．若双曲线 − =1(a >0,b>0)的实轴长为2，离心率为 3，则双曲线的左焦点F 到一条渐近线的距
a2 b2
离为（ ）
A． 2 B．2 2 C．1 D．2
5．已知上底面半径为 2 ，下底面半径为2 2的圆台存在内切球（与上、下底面及侧面都相切的球），则该圆
台的体积为（ ）
14 6π 56π
A．14 6π B．56π C． D．
3 3
6．已知实数m,n满足1>m>n>0，设a =mlnn,b=nlnm,c =nlnn，则（ ）
A．a =b>c B．a >b>c C．c>a >b D．c>a =b
学科网（北京）股份有限公司2π
7．在△ABC 中，D为边BC上一点，∠DAC = ,AD =4,AB =2BD，且△ADC 的面积为4 3，则
3
sin∠ABD =（ ）
15− 3 15+ 3 5− 3 5+ 3
A． B． C． D．
8 8 4 4
2n2 2m2
8．已知等差数列{ a }的前n项和为S ，若m ≠n，且a +a = ,a +a = ，则S =（ ）
n n 1 m m 1 n n m+n
A．(m+n)2 B．−(m+n)2 C．m2 −n2 D．n2 −m2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X ∼ B ( 2,0.2 )，则P ( X =2 )=0.2
B．若经验回归方程 y =bx+a中的b>0，则变量x与y正相关
( ) 1 1 1
C．若随机变量ξ∼ N 0,σ2 ，且P ξ<− = p，则P0<ξ< = − p
2 2 2
D．若事件A与B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥
x
10．已知函数 f ( x )=2sinxcos2 ，则以下结论正确的是（ ）
2
π 3π
A．π为 f ( x )的一个周期 B． f ( x )在 − , 上有2个零点
2 2
π
C． f ( x )在x = − 处取得极小值 D．对∀x ,x ∈R, f ( x )− f ( x ) ≤ 3
3 1 2 2 1
1 3
11．已知定义在R上的函数 y = f ( 2x+2 )为奇函数，且对∀x∈R，都有 f x+ = f −x，定义在R
2 2
上的函数 f′( x )为 f ( x )的导函数，则以下结论一定正确的是（ ）
7 1
A． f ( x+2 )为奇函数 B． f = f
2 2
1 3
C． f′ = −f′ D． f′( x )为偶函数
2 2
学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
1
12．小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为 ，若他在第一个路口遇
4
3
到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为 ，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为
4
1
，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为_______．
4
π
13．已知α,β∈ 0, ，若P =sinαsin2β+cosαcosβ，则P的最大值为_______．
2
14．已知抛物线C:x2 =2py(p>0)的焦点为F ，直线l与抛物线C相切于点P（异于坐标原点O），与x轴
交于点Q，若 PF =2, FQ =1，则 p =_______；向量FP与PQ的夹角为_______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
15．（13分）已知函数 f ( x )=ax+ ．
ex
（1）讨论 f ( x )的单调性；
（2）若直线y =1与曲线y = f ( x )相切，求a的值．
π
（15 分）如图，在三棱台ABC− ABC 中，AB = AC =2AB =2AA =4 2 ，∠AAB =∠AAC = ，
1 1 1 1 1 1 1 1 3
π
∠BAC = ．
2
（1）证明：AA⊥ BC ；
1 1 1
（2）求直线BB 与平面AACC 所成角的正弦值．
1 1 1
17．（15分）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10
学科网（北京）股份有限公司中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，
中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍
数，且为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖．
（1）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率；
( )
（2）假设每张彩票售价为a a∈N* 元，且三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票
可获利的角度考虑，求a的最小值．
x2 y2
18．（17 分）已知椭圆C: + =1的右焦点为F,A为椭圆上一点，O为坐标原点，直线OA与椭圆交于
4 3
另一点B，直线AF 与椭圆交于另一点D（点B、D不重合）．
3
（1）设直线AD,BD的斜率分别为k ,k ，证明：k ⋅k = − ；
AD BD AD BD 4
（2）点P为直线x =4上一点，记PA,PF,PD的斜率分别为k ,k ,k ，若k +2k +k =4，求点P的坐标．
1 2 3 1 2 3
19．（17分）在数列{ a }中，若存在常数t，使得a =aa a a +t ( n∈N* ) 恒成立，则称数列{ a }为“H ( t )
n n+1 1 2 3 n n
数列”．
1
（1）若c =1+ ，试判断数列{ c }是否为“H ( t )数列”，请说明理由；
n n n
n
（2）若数列{ a }为“H ( t )数列”，且a =2，数列{ b }为等比数列，且∑a2 =a +log b −t，求数列
n 1 n i n+1 2 n
i=1
{
b
}的通项公式；
n
（3）若正项数列{ a }为“H ( t )数列”，且a >1,t >0，证明：lna 0，所以复数z在复平面内对应的点在第三象限．故选
2i 2
C．
3．D 【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以“ ∀x< −1,log x2 >0 ”的否定为
2
“∃x<−1,log x2 ≤0”．故选D．
2
c
4．A 【解析】设双曲线的焦距为2c，由题，a =1,e= = 3，得c = 3，故b2 =c2 −a2 =2，所以
a
( )
2× − 3
( )
F − 3,0 ，不妨取渐近线y = 2x，则左焦点F 到渐近线 y = 2x的距离为 = 2 ．故选A．
2+1
5．D 【解析】由题可得圆台的母线长为3 2，所以高h = (3 2)2 −(2 2 − 2)2 =4，所以该圆台的体
1 ( ) 56π
积V = ×4× 2π+8π+ 2π×8π = ，故选D．
3 3
6．D 【解析】因为1>m>n>0，所以lnm>lnn，又 y =nx为减函数，所以nlnm a =b，故选D．
1 1 3
7．A 【解析】S = ×AD×AC×sin∠DAC = ×4×AC× =4 3，解得AC =4，所以△ADC
△ADC
2 2 2
π 5π AB BD
为等腰三角形，∠ADC = ，故∠ADB = ⋅△ABD 中，由正弦定理得 = ，即
6 6 sin∠ADB sin∠BAD
2BD BD 1 5π 15
= ，得sin∠BAD = ．因为∠ADB = ，所以∠BAD为锐角，故cos∠BAD = ，故
1 sin∠BAD 4 6 4
2
π 1 3 15− 3
sin∠ABD =sin (∠ADC−∠BAD )=sin −∠BAD = cos∠BAD− sin∠BAD = ．故选A．
6 2 2 8
学科网（北京）股份有限公司m ( a +a ) n ( a +a ) m ( m−1 )
8．B 【解析】由题， 1 m =n2 = S , 1 n =m2 = S ，所以am+ d =n2①，
2 m 2 n 1 2
n ( n−1 ) m2 −n2 −m+n
an+ d =m2 ② ， 两 式 作 差 得 a ( m−n )+ d =n2 −m2 ， 化 简 得
1 2 1 2
m+n−1 ( m+n )( m+n−1 )
a + d = −( m+n )，即a ( m+n )+ d = −(m+n)2，所以S =−(m+n)2，故
1 2 1 2 m+n
选B．
9．BC 【解析】P(X =2)=C2(0.2)2 =0.04，A错误；若经验回归方程 y =b x+a 中斜率b >0，则变量x
2
1 1 1
与 y正相关，B正确；易得正态曲线关于直线x =0对称，故P(x >0)= ，又P ξ> = P ξ< − = p，
2 2 2
1 1
所以P0<ξ< = − p，C正确；掷一枚骰子，设事件A:出现的点数为1，事件B:出现的点数为2，则
2 2
A与B互斥，但A与B不互斥，D错误．故选BC．
x+π x
10．BC 【解析】 f ( x+π)=2sin ( x+π) cos2 = −2sinxsin2 ≠ f ( x )，A 错误；令 f ( x )=0，
2 2
x π 3π π 3π
得sinx =0或cos =0，当x∈ − , 时，解得x =0或x =π，故 f ( x )在 − , 上有 2 个零点，
2 2 2 2 2
x
B正确； f ( x )=2sinxcos2 =sinx+sinxcosx, f′( x )=2cos2x+cosx−1，令 f′( x )=0，得cosx = −1或
2
1 π π
cosx = ，且当x∈ −π,− 时，f′( x )<0, f ( x )单调递减，当x∈ − ,0时，f′( x )>0, f ( x )单调递
2 3 3
π π 3 3
增，所以 f ( x )在x = − 处取得极小值，C正确；可知 f ( x )的极大值为 f 2kπ+ = ,k∈Z，这个
3 3 4
π 3 3
极大值即为函数的最大值，f ( x )的极小值为 f 2kπ− = − ,k∈Z，这个极小值即为函数的最小值，
3 4
3 3
故∀x ,x ∈R, f ( x )− f ( x ) ≤ ，D错误．故选BC．
1 2 2 1 2
11．ACD 【解析】因为 f ( 2x+2 )为奇函数，所以 f (−2x+2 )= −f ( 2x+2 )，所以 f (−x+2 )=−f ( x+2 )，
学科网（北京）股份有限公司 1 3
故 f ( x+2 ) 为 奇 函 数 ，A 正 确 ； 又 f x+ = f −x ， 故 f ( x+1 )= f ( 1−x ) ， 所 以
2 2
f ( x )= f ( 2−x )= −f ( x+2 ) ，故 f ( x+4 )= f ( x ) ，所以 f ( x ) 是以 4 为周期的周期函数，所以
7 1 1 1
f = f − ，且不能确定 f = f − 一定成立，故 B 错误；因为 f ( x+1 )= f ( 1−x )，所以
2 2 2 2
1 3
f′( x+1 )= −f′( 1−x ) ， 所 以 f′ = −f′ ， C 正 确；因 为 f (−x+2 )=−f ( x+2 ) ， 所 以
2 2
f′(−x+2 )= f′( x+2 )，故 f′(−x )= f′( x+4 )，又 f′( x )= f′( x+4 )，所以 f′(−x )= f′( x )，所以 f′( x )
为偶函数，D正确，故选ACD．
1
12． 【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，
4
则 P ( B A ) = 3 ,P ( B A ) = 1 ，又 P ( A ) = 3 ,P ( A )= 1 ，所以 P ( B )= P ( A ) P ( B A ) + P ( A ) P ( B A ) =
4 4 4 4
1 1 3 1 1
× + × = ．
4 4 4 4 4
5 cosβ 1
13． 【解析】P = sin22β+cos2βsin (α+ϕ)，其中tanϕ= = ，所以sin (α+ϕ)的最大
4 sin2β 2sinβ
5 5
值为1，设t = sin22β+cos2β= −4cos4β+5cos2β，当cos2β= 时，t取得最大值 ，所以P的最大
8 4
5
值为 ．
4
5π p t2 x2 x
14．1； 【解析】由题得F0, ，设Pt, ，由x2 =2py得 y = ，求导得y′= ，所以直线
6 2 2p 2p p
t t2 t t
l 的 斜 率 k = ， 则 直 线 l 的 方 程 为 y− = ( x−t ) ， 易 得 Q ,0 ， 所 以
p 2p p 2
t2 p t2 p2
PF = + =2, FQ = + =1 ， 解 得 p =1,t = ± 3 ． 当 t = 3 时 ，
2p 2 4 4
( ) 3 3 FP⋅PQ 3
FP = 3,1 ,PQ =− ,− ，则cos FP,PQ = = − FP,PQ ∈[ 0,π]，故向量FP与
2 2 FP PQ 2
学科网（北京）股份有限公司
5π 5
PQ的夹角为 ，当t =− 3时，同理可得夹角为 π．（第一空2分，第二空3分）
6 6
1
15．解：（1） f ( x )的定义域为R, f′( x )=a− ，
ex
当a ≤0时， f′( x )<0, f ( x )单调递减；
当a >0时，令 f′( x )=0，得x = −lna，
当x∈(−∞,−lna )时， f′(
x
)<0,
f
(
x
)单调递减；
当x∈(−lna,+∞)时， f′(
x
)>0,
f
(
x
)单调递增．
综上，当a ≤0时， f ( x )在R上单调递减；
当a >0时， f ( x )在(−∞,−lna )上单调递减；在(−lna,+∞)上单调递增．
1 1
（2）由题， f′( x )=a− ，设切点为 ( x , f ( x )) ，则 f′( x )=a− =0，
ex 0 0 0 ex
0
易知a >0，故x = −lna．
0
1
又 f ( x )=1，即ax + =1，将x = −lna代入，得a−alna−1=0．
0 0 ex
0
0
设h ( x )= x−xlnx−1(x >0)，则h′( x )= −lnx．
当x∈(
0,1
)时h′(
x
)>0,h (
x
)单调递增；
当x∈( 1,+∞)时h′(
x
)<0,h (
x
)单调递减．
所以h ( x )≤h ( 1 )=0，所以a =1．
16．（1）证明：取BC中点D，连接AB,AC,AD,AD．
1 1 1
因为AB = AC，所以AD ⊥ BC．
学科网（北京）股份有限公司π
因为∠AAB =∠AAC = ,AB = AC，且AA是公共边，所以△AAB≌△AAC ( SAS )，
1 1 3 1 1 1
所以AB = AC ，
1 1
所以AD ⊥ BC．
1
因为AD AD = D,AD,AD⊂平面AAD，所以BC ⊥平面AAD．
1 1 1 1
又因为AA⊂平面AAD，
1 1
所以AA⊥ BC．
1
又BC∥BC ，
1 1
所以AA⊥ BC
1 1 1
（2）解：如图，过点A 作AD的垂线，垂足为O，过点O作OF 垂直于AB，垂足为F ，连接AF ．不难
1 1
得出， AB ⊥ AO,OF AO =O ，则 AB ⊥ 平面 AOF ．又 AF ⊂ 平面 AOF ，则 AB ⊥ AF ．由
1 1 1 1 1 1
π π
∠AAF = ,∠BAC = ，可得AF =OF = 2,AO = AO =2,OD =2,BD =4．
1 3 2 1
过点O作BC的平行线，交AB于点E，由（1）得OE,OD,OA 三条直线两两垂直，分别以OE,OD,OA 为
1 1
x ， y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 A ( 0,−2,0 ) ,C (−4,2,0 ) ,A ( 0,0,2 ) ,B ( 4,2,0 ) ,B ( 2,2,2 ) ，
1 1
AA =( 0,2,2 ) ,AC =(−4,4,0 ) ,BB = BA+ AA + AB =(−2,0,2 )．
1 1 1 1 1
设平面AACC 的一个法向量为m =( x,y,z )，
1 1
m⋅AA =0, 2y+2z =0,
则 1 即
m⋅AC =0, −4x+4y =0.
令x =1，得 y =1,z = −1，所以m =( 1,1,−1 )．
又直线BB 的一个方向向量n =(−2,0,2 )，
1
m⋅n −4 6
所以cos m,n = = = − ，
m ⋅ n 3×2 2 3
6
所以直线BB 与平面AACC 所成角的正弦值为 ．
1 1 1 3
学科网（北京）股份有限公司( )
C3+C2C1 + C1C1 +1+C1C2
13
17．解：（1）获得三等奖的概率P = 3 3 5 2 2 3 4 = ；
3 C3 40
10
C1C2 +C2C1 5
获得二等奖的概率P = 2 5 2 5 = ；
2 C3 24
10
C1C1C1 +C1C1C1 1
获得一等奖的概率P = 1 2 2 1 1 4 = ．
1 C3 15
10
79
所以随机抽取一张彩票，这张彩票中奖的概率P = P +P +P = ．
1 2 3 120
（2）一张彩票的奖金ξ的取值可能为0，5，10，50元，其分布列为：
ξ 0 5 10 50
2 13 5 1
P
5 40 24 15
2 13 5 1 169
所以ξ的期望E (ξ)=0× +5× +10× +50× = ．
5 40 24 15 24
169
若盈利，需a > E (ξ)= ，
24
因为a∈N*，故a的最小值为8．
18．（1）证明：设D ( x ,y ) ,A ( x ,y )，则B (−x ,−y )，
0 0 1 1 1 1
y − y y + y y2 − y2
则k ⋅k = 0 1 × 0 1 = 0 1 ．
AD BD x −x x + x x2 −x2
0 1 0 1 0 1
x2 y2 x2 y2
又 1 + 1 =1, 0 + 0 =1，
4 3 4 3
x2 −x2 y2 − y2
两式作差得： 0 1 + 0 1 =0，
4 3
y2 − y2 3
即 0 1 = − ，
x2 −x2 4
0 1
3
所以k ⋅k = − ，得证．
AD BD 4
学科网（北京）股份有限公司（2）解：由题，A不与长轴两端点重合，设P ( 4,m ) ,m ≠0，直线AF :x =ty+1，
( )
与椭圆方程联立，并消去x得 3t2 +4 y2 +6ty−9=0．
−6t −9
设A ( x ,y ) ,D ( x ,y )，则 y + y = ,y y = ，
1 1 2 2 1 2 3t2 +4 1 2 3t2 +4
m−0 m
所以k = = ，
2 4−1 3
m− y m− y ( 4−x )( m− y )+( 4−x )( m− y )
k +k = 1 + 2 = 2 1 1 2 ．
1 3 4−x 4−x ( 4−x )( 4−x )
1 2 1 2
又x =ty +1,x =ty +1，代入上式化简得
1 1 2 2
( 3+tm )×6t 18t
k +k =
6m−( 3+tm )( y
1
+ y
2
)+2ty
1
y
2 =
6m+
3t2 +4
−
3t2 +4
=
2mt2 +2m
=
2m
，
1 3 9−3t ( y + y )+t2y y 18t2 9t2 3t2 +3 3
1 2 1 2 9+ −
3t2 +4 3t2 +4
4m
所以k +2k +k = =4．故m =3，
1 2 3 3
所以点P的坐标为(
4,3
)．
19．（1）解：数列{
c
}不是“H (
t
)数列”．
n
理由如下：
1 n+1 n+2
因为c =1+ = ，所以c = ．
n n n n+1 n+1
2 3 4 n+1
又cc c = × × ×× =n+1，
1 2 n 1 2 3 n
n+2 1
所以c −cc c = −( n+1 )= −n，
n+1 1 2 n n+1 n+1
1
因为 −n不是常数，所以数列{ c }不是“H ( t )数列”．
n+1 n
n n
（2）解：因为数列{ a }为“H ( t )数列”，由∑a2 =a +log b −t，得∑a2 =aa a +log b ，
n i n+1 2 n i 1 2 n 2 n
i=1 i=1
学科网（北京）股份有限公司n+1 b
所以∑a2 =aa a a +log b ，两式作差得：a2 =( a −1 ) aa a +log n+1 ．
i 1 2 n n+1 2 n+1 n+1 n+1 1 2 n 2 b
i=1 n
又数列{ a }为“H ( t )数列”，故a −t =aa a ．
n n+1 1 2 n
设数列{
b
}的公比为q，
n
所以a2 =( a −1 )( a −t )+log q，
n+1 n+1 n+1 2
即( t+1 ) a −( t+log q )=0对∀n∈N*成立，
n+1 2
t+1=0,
则 得t = −1,q=2．
t+log q=0,
2
又a =2,a2 =a +log b ，得b =4，
1 1 1 2 1 1
所以b =4×2n−1 =2n+1，
n
所以数列{ b }的通项公式为b =2n+1．
n n
1 1−x
（3）证明：设函数 f ( x )=lnx−x+1，则 f′( x )= −1= ，
x x
当x∈( 1,+∞)时， f′(
x
)<0，则
f
(
x
)在( 1,+∞)上单调递减，且
f
(
x
)<
f
(
1
)=0．
因为数列{ a }为“H ( t )数列”，则a −aa a =t ( n∈N* ) ．
n n+1 1 2 n
因为a >1,t >0，则a =a +t >a >1，故a =aa +t >aa >1，
1 2 1 1 3 1 2 1 2
以此类推，可得对∀n∈N*,a >1，
n
所以 f ( a )< f ( 1 )=0，即lna −a +1<0，
n n n
所以lna
