文档内容
2024 届高三第二学期期初学业质量监测
数学
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（ ）
A．极差 B．众数 C．平均数 D．中位数
2．3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．72
3．设 ．若函数 为指数函数，且 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
4．若a，b为两条异面直线， 为两个平面， ，则（ ）
A．l至少与a，b中的一条平行 B．l至少与a，b中的一条相交
C．l至多与a，b中的一条相交 D．l必与a，b中的一条相交，与另一条平行
5．设各项均不相等的等比数列 的前n项和为 ，若 ，则公比 （ ）
A． B． C． D．
6．记 的内角A，B的对边分别为a，b，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P在C的左支上，
， 的周长为 ，则C的离心率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．2 B． C． D．
8．已知正五边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 关于直线 对称
C． 关于点 中心对称 D． 的最小值为
10．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，点M，N在
C上，且 ，则（ ）
A． B．直线MN的斜率为
C． D．
11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ， 与 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设 ，i为虚数单位．若集合 ，且
，则 __________．
13．一个三棱锥形木料 ，其中 是边长为 的等边三角形， 底面ABC，二面角
的大小为 ，则点A到平面PBC的距离为__________ ．若将木料削成以A为顶点的圆锥，
学科网（北京）股份有限公司且圆锥的底面在侧面PBC内，则圆锥体积的最大值为_________ ．
14．已知a，b，c为某三角形的三边长，其中 ，且a，b为函数 的两个零点，若
恒成立，则M的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题、共77分。解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤。
15．（13分）
假定某同学每次投篮命中的概率为 ，
（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；
（2）该同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数X的概率分布及
数学期望．
16、（15分）
己知函数 ，其中 ．
（1）若曲线 在 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a；
（2）求函数 的单调区间．
17．（15分）
如图，己知三棱台 的高为1， ，O为BC的中点， ，
，平面 平面ABC．
（1）求证： 平面ABC；
（2）求 与平面 所成角的大小．
18．（17分）
已知椭圆 的右焦点为 ，直线 与C相交于
学科网（北京）股份有限公司A，B两点．
（1）求直线l被圆 所截的弦长；
（2）当 时， ．
（i）求C的方程；
（ii）证明：对任意的 ， 的周长为定值．
19．（17分）
设集合 ，其中 ．若对任意
的向量 ，存在向量 ，使得 ，则称A是“T集”．
（1）设 ，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；
（2）已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若 （c为常数），求有穷数列 的通项公式．
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