文档内容
常州市教育学会学业水平监测
高三数学
2024年1月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|x2＝x}，B＝{x|lnx＜0}，则A∪B＝
A．[0，1] B．(0，1] C．[0，1) D．(0，1)
1 3 → →
2．在复平面内，复数z＝－ ＋ i对应的向量为OA，复数z＋1对应的向量为OB，那么向
2 2
→
量AB对应的复数是
A．1 B．－1 C． 3i D．－ 3i
3．已知实数a，b满足等式lga＝lnb，下列三个关系式中可能成立的个数为
①a＜b＜1；②1＜a＜b；③a＝b．
A．0 B．1 C．2 D．3
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{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}4．对任意实数a，b，C，在下列命题中，真命题是
A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的必要条件
B．“ac2＝bc2”是“a＝b”的必要条件
C．“ac2＝bc2”是“a＝b”的充分条件
D．“ac2≥bc2”是“a≥b”的充分条件
→
5．已知扇形AOB的半径为5，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，OA＝(5，0)，
→ →
OB＝(4，3)，弧AB的中点为C，则OC＝
(第5题图)
9 3 3 10 10
A．( ， ) B．( ， ) C．(4，2) D．(2 5， 5)
2 2 2 2
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{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}6．已知正三棱锥P－ABC的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC
的距离是
3 3
A．3 2 B． 6 C．3 D．
2
7．已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)＝e，且对任意的x满足f′(x)－f(x)＜ex，则
不等式f(x)＞xex的解集是
A．(－∞，1) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
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{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}8．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜
2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d ，d ，且d ≠d ．若d ＝AP，d ＝AQ，则
1 2 1 2 1 2
d ＋d ＝
1 2
A．2 B．4 C．6 D．8
的两根，
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{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知一组样本数据x ，x ，…，x (n≥4)，其中x ＜0＜x ，若由y ＝2x ＋1(k＝1，2，…，
1 2 n 1 n k k
n)生成一组新的数据y ，y ，…，y ，则这组新数据与原数据可能相等的量有
1 2 n
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差
10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单
1
位：°C)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝Asinωx＋B(A＞0，B＞0，0＜ω＜ )，
2
其中0≤t≤24．已知当天开始计时(t＝0)时的温度为25°C，第二天凌晨3：00时温度最
低为19°C，则
π
A．ω＝
12
B．当天下午3：00温度最高
C．温度为28°C是当天晚上7：00
D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22°C
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{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}11．在棱长为2的正方体ABCD－A B C D 中，P在线段BD 上运动(包括端点)，下列说法
1 1 1 1 1
正确的有
A．存在点P，使得CP⊥平面A DB
1
B．不存在点P，使得直线C P与平面A DB所成的角为30°
1 1
C．PC＋PD的最小值为2 3
2 2
D．以P为球心，PA为半径的球体积最小时，被正方形ADD A 截得的弧长是 π
1 1
3
法向量，
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{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}2 2
π，选项D正确；
3
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{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}2x＋1
12．关于函数f(x)＝ ，下列说法正确的有
x2＋1
1
A．函数f(x)的图象关于点(－ ，0)对称
2
B．函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减
C．若方程f(x)＝t恰有一个实数根，则t＝ 5
D．若 x∈R，都有f(x)＞m，则m≤－2
∀
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{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
x2 y2
13．已知双曲线的标准方程为 ＋ ＝1，则该双曲线的焦距是 ．
k－4 k－5
3
－a－x2＋ ，x＜0，
x 1
14．已知函数f(x)＝ 若f[f( )]＝a，则实数a的值为 ．
log x－2，x＞0， 3
3
(第15题图)
15．如图，以等腰直角三角形BA A 的直角边BA 为斜边，在△BA A 外侧作等腰直角三角
0 1 1 0 1
形BA A ，以边BA 的中点O 为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A A ；再以等腰直角
1 2 0 1 0 1
三角形BA A 的直角边BA 为斜边，在△BA A 外侧作等腰直角三角形BA A ，以边BA
1 2 2 1 2 2 3 1
的中点O 为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A A ；…；按此规律操作，直至得到的
2 1 2
直角三角形BA i－1 A i 的直角顶点A i 首次落到线 ． 段 ．BA 0 上，作出相应的圆弧后结束．若BA 0
＝4，则i＝ ，所有圆弧的总长度为 ．
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{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}16．已知二面角α－l－β为60°，α内一条直线m与l所成角为30°，β内一条直线n与l所成
角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是 ．
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{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
已知等差数列{a }的前n项和为S ＝n2＋cn＋c，c∈R．
n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)记b 为{a }在区间(0，2 am](m∈N*)中的项的个数，求数列{b }的通项公式．
m n n
【解析】
18．(12分)
某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N(6，σ2)，其中恰有114根金
属棒长度不小于6.04．
(1)求σ；
(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(5.95，6.05)，那么这批金属棒中不合格的
金属棒约有多少根?
X －μ
说明：对任何一个正态分布X~N(μ，σ2)来说，通过Z＝ 1 转化为标准正态分布Z~N(0，
σ
1)，从而查标准正态分布表得到P(X＜X )＝ (Z)．
1
可供查阅的(部分)Φ标准正态分布表Φ(Z)
Z 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Φ(Z) 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
Z 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
Φ(Z) 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974
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{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}【解析】
19．(12分)
π
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC边上的高为h，已知B＝ ．
3
c
(1)若b＝ 3h，求 的值；
a
(2)若c－a＝h，求sinA－ 3cosA的值．
【解析】
高三数学 第 12 页 (共 16 页)
{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}20．(12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝AD，PD＝2 3，
M是AB的中点，N是线段PC上一点，且MN∥平面PAD，MN⊥PC．
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值．
(第20题图)
【解析】
高三数学 第 13 页 (共 16 页)
{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}21．(12分)
已知函数f(x)＝mex＋cosx＋n，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝x．
(1)讨论函数f(x)在[－π，＋∞)上的单调性；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥3sinx－ax恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】
高三数学 第 14 页 (共 16 页)
{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}22．(12分)
x2 y2
已知椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为e，A，B是C上的相异两点，
a2 b2
P(2a，0)．
(1)若点A，B关于原点对称，且FA⊥FB，求e的取值范围；
(2)若点A，B关于x轴对称，直线PA交C于另一点D，直线BD与x轴的交点Q的横
1 → →
坐标为1，过Q的直线交C于M，N两点．已知e＝ ，求OM·ON的取值范围．
2
【解析】
高三数学 第 15 页 (共 16 页)
{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}(2)
高三数学 第 16 页 (共 16 页)
{#{QQABbQiAggAgABIAAAhCAw26CgMQkBEACIoGxEAMsAAACBFABAA=}#}
