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２０２５届高三部分重点中学１２月联合测评
数学试题参考答案及多维细目表
知必要性成立．
题号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ．答案
答案 ６ 【 】A
C D B D C A 【 解析 】 设等比数列 { a n} 的公比为q , q ≠０, 依题
题号
７ ８ ９ １０ １１ 意 １ １ １ a １ 即１ １ １
答案 ,a ＋a ＋a ＝１４,２＝ , a ＋a ＋aq＝
１ ２ ３ ４ ２ ２ ２
A B AD ABC BCD
q
．答案
１ 【 】C q
【 解析 】∵ A ＝{ x |ln( x －１)≤０}＝{ x |１＜ x ≤２}, a ＋a １ ＋a １ q １ ＝１４,∴２ q ＋２＋q ２ ＝７,２ q２ －
２ ２ ２
{ }
B ＝{ x |０≤２ x －１≤２}＝ x １ ２ ≤ x ≤ ３ ２ , ５ q ＋２＝０, 解得q ＝２ 或q ＝ １ ,∴ a １＝ １ , a ２＝
２ ８
{ }
A B x １ x ．
∴ ∪ ＝ ≤ ≤２ １a １或a １a １a １ S １
２ ,３＝ １＝ ,２＝ ,３＝ ,∴ ３＝
．答案 ４ ２ ２ ４ ８ ８
２ 【 】D
１ １ ７．
解析 由z ４＋i可得z (４＋i)(１＋i) ＋ ＋ ＝
【 】 ＝ ＝ ＝ ４ ２ ８
１－i (１－i)(１＋i) ．答案
æ ö ７ 【 】A
３＋
２
５i
,
z
＝
３－
２
５i
,
故对应的点为
è
ç３
２
,－
５
２
ø
÷
,
位于
【
解析
】
由题知F
(１,０),
直线l的斜率不为
０,
设
第四象限． 直线l的方程为x my A x y
＝ ＋１, (１, １),
．答案 B(x y )
３ 【 】B ２,２ ,
解析 ８ x ９ 增加两个样本点后
【 】∵i∑ i ＝ ×８＝９,∴
＝１ ８
x的平均数为９－１＋２ ^ y ９ １
＝１;∵ ＝２× － ＝２,
１０ ８ ４
∴i∑
８ yi
＝２×８＝１６,∴
增加两个样本点后y的平
＝１
均数为１６＋５＋９ ^ b 解得^ b
＝３,∴３＝３×１＋ , ＝０,
１０
新的经验回归方程为^ y x 则当x 时^ y
∴ ＝３ , ＝４ , {x my
４ ． 【 ＝ 答 １２ 案 , 】 ∴ D 样本点 (４,１０) 的残差为 １０－１２＝－２ ． 联立 y２ ＝ ＝４ x ＋ , １,整理得y２ －４ my －４＝０, 则y １
解析 y myy ．
【 】∵２０２３ ２０２５ ＝(２０２４－１) ２０２５ ＝C ０ ２０２５２０２４ ２０２５ ＋ ２＝４ ,１ ２＝－４
－C １ ２０２５２０２４ ２０２４ ＋＋C ２ ２ ０ ０ ２ ２ ４ ５２０２４－C ２ ２ ０ ０ ２ ２ ５ ５＝ ∴
x
１＋
x
２＝
m
(
y
１＋
y
２)＋２＝４
m２
＋２
．
２０２４(C
０
２０２５２０２４
２０２４
－C
１
２０２５２０２４
２０２３
＋ ＋ ∵
OP→
＝
OA→
＋
OB→
,∴
四边形OAPB 为平行四
C
２
２
０
０
２
２
４
５－１)＋２０２４－C
２
２
０
０
２
２
５
５,∴
b
＝２０２４－C
２
２
０
０
２
２
５
５＝
边形．
２０２３． 点P的横坐标为 x x m２
．答案 ∵ ３,∴３＝ １＋ ２＝４ ＋２,
５ 【 】C
解析 θ 则a b a b ab 解得m２ １．
【 】∵cos ＝１, ＝||||,∴ , ＝
４
同向 但当a b 时显然不满足a b
, ||－||＜０ | － |＝ AB m２ y y ２ yy
a b 因此充分性不成立． a b a ∴| |＝ １＋ (１＋ ２)－４ １ ２ ＝
||－||, ∵| － |＝||
－| b |,∴(| a － b |) ２ ＝(| a |－| b |) ２ , 即 | a | ２ ＋ １＋ m２ １６ m２ －４×(－４)＝５ ．
b２ a b a２ b２ a b 即a
||－２ ＝||＋||－２||||, 点O到直线AB的距离为 １ ２５ 平
b
＝|
a
||
b
|,
从而a
,
b同向
,cos
θ
＝１,
由此可
１＋
m２ ＝
５
,∴
数学试题 参考答案 第 页 共 页
１ ７对于选项 x y 且z 由糖水原理可
行四边形OAPB的面积为 ２５ ． B,∵ ＞ ＞０ ＞０,
５× ＝２５ y z y
５ 知 ＋ 故错误
．答案 x z＞x, ;
８ 【 】B ＋
【 解析 】 如图 , 取AB中点M , 连接PM , CM． 对于选项 C, 当x ＜０＜ y时 , 结论不成立 , 故
由题可知AB ⊥ PM , AB ⊥ CM． 错误 ;
∵ PM ∩ CM ＝ M , PM ⊂ 平面PMC , CM ⊂ 平面 对于选项 D, æ è çx ＋y １ ö ø ÷ － æ è çy ＋x １ ö ø ÷ ＝ xy y ＋１ －
PMC AB 平面PMC．
,∴ ⊥
xy æ ö
作PH MC 垂足为H． PH 平面PMC ＋１ (xy )ç１ １÷ 即x １ y
⊥ , ∵ ⊂ , x ＝ ＋１ èy－xø＞０, ＋y＞ ＋
AB PH．
∴ ⊥
１ 故正确．
又CM AB M CM 平面ABCAB 平面 x,
∩ ＝ , ⊂ , ⊂
ABC PH 平面ABC． ．答案
,∴ ⊥ １０ 【 】ABC
过点H 作HN BC 垂足为N 连接PN 易知 ì
⊥ , , , ï φ k π
BC PN． ïï０＋ ＝２π＋ ,
⊥ 解析 由图可知A í ６
【 】 ＝２,ïω
PH PB
设小球半径为r ,∴ r＝FB＝ ３ ,∴ PH ＝３ r． î ï５ １２ π ＋ φ ＝２ k π＋π,
２ ２
根据 题 意 , V三棱锥PＧABC ＝ １S △ ABC PH ＝ k ∈ Z , 解得ω ＝２, φ ＝２ k π＋ ６ π , k ∈ Z ,
３
æ ö
fx çx π÷．
１ ( S △ PAB ＋ S △ PAC ＋ S △ PBC ＋ S △ ABC) r , ∴ ()＝２sinè２ ＋ ６ ø
３
é ù
∵ S △ PAB ＝ S △ ABC ＝２, S △ PAC ＝ S △ PBC,∴６＝４＋ 对于选项 A, 当x ∈ ë ê ê － π , π û ú ú时 ,２ x ＋ π ∈
S S S ． ３ ６ ６
２ △
PAC,∴
△
PAC
＝ △
PBC
＝１ é ù é ù
ê ê π π ú ú fx 在区间 ê ê π π ú ú上单调
由１BC PN 得PN PBC ë－ , û,∴ ( ) ë－ , û
＝１, ＝１,∴sin∠ ＝ ２ ２ ３ ６
２ 递增 故正确
, ;
PN
１ PBN ３． æ ö æ ö
PB＝ ,∴cos∠ ＝ 对于选项 fç２π÷ ç４π π÷ ３π
２ ２ B, è ø＝２sinè ＋ ø＝２sin
３ ３ ６ ２
PC PB２ CB２ PB CB PBC
∴ ＝ ＋ －２ cos∠ ＝ 为其最小值 x ２π为fx 图象的一
＝－２ ,∴ ＝ ( )
． ３
６－ ２
条对称轴 故正确
, ;
æ ö æ ö
对于 选 项 f ç１１π÷ ç１１π π÷
C, è ø ＝２sin è ＋ ø ＝
１２ ６ ６
æ ö
点ç１１π ÷为fx 图象的一个
２sin２π＝０,∴ è ,０ø ( )
１２
对称中心 故正确
, ;
é ù
对于选项 当x ê ê π ú ú 时 x π
D, ∈ ë０, û ,２ ＋ ∈
．答案 ４ ６
９ 【 】AD é ù
x ê êπ ２π ú ú 当 x π π即x 时 f x
解析 对于选项 当x 时 ２ ２ ． ë , û, ２ ＋ ＝ ＝０ , ()min
【 】 A, ＞０ ,x２ ＝ ６ ３ ６ ６
＋１ x １
＋x 当 x π π即x π时 f x
＝１, ２ ＋ ＝ ＝ , ()max＝２,
６ ２ ６
x １ 当且仅当x 时 取等号 é ù
∵ ＋x≥２, ＝１ , ,∴ 即fx 在区间 ê ê π ú ú上的值域为 故
( ) ë０, û [１,２],
x ４
２ ２ 故正确． 错误．
x２ ＝ ≤１,
＋１ x １
＋x ．答案
１１ 【 】BCD
数学试题 参考答案 第 页 共 页
２ ７解析 对于选项 沿C B A A B 的概率为 ． ．
【 】 A, １→ １→ １→ → → (９６,１００) １－２×００５＝０９,
C C 等路线即可 故错误 即 件产品的质量指标位于区间 的概
→ １ , ; １ (９６,１００)
对于选项 若存在重复路线 两次移动回到点 率为 ． Y B ． 故DY
B, , ０９,∴ ~ (５００,０９), ( )＝５００×
C 可以第一次移动到达点A B C 第三次 ． ． ．
１ １, １, , ０９×０１＝４５
移动再从这些移动方式中选 , 共有 ９ 种走法 , 另 １４ ． 【 答案 】[e －e ,１)
外 能到 可 达 以 点 先 A 移动 B 两次 C 再 每 原 个 路 点 返 在 回 第 , 第 二 一 次 次 移 移 动 动 时 可 都 【 解析 】 f ( x )＝ ax －１ －log a( x －１)＝ a a x －
１,１, ,
有两种移动方式 故有 种方式 x
, ６ ; ln(－１) １ ax a a x
a ＝a a[ ln － ln(－１)],
若不存在重复路线 经过点C由四条棱组成的 ln ln
,
闭合回路只有C １ A １ ACC １ 和C １ B １ BCC １ 两种 , 记h ( x )＝ ax ln a － a ln( x －１), f ( x ) 在定义域
每条路都有两种经过方式 共有 种方式 概
上单调 可得hx 必为单调函数．
, ()
, ４ ,∴
率为 æ ç１ ö ÷ ４ １９ 故正确 若h ( x ) 单调递增 , 则h′ ( x )＝ ax (ln a ) ２ －
è ø １９＝ , ;
a
３ ８１ 恒成立 即x ax －１ １
对于选项 列举法 C A A B B x ≥０ , (－１) ≥ a２ ,
C, :１→ １→ → → １→ －１ (ln )
C C A A B C C C A B
１,１→ １→ → → → １,１→ １→ １→ tat １ ．又函数Gt tat在t 时值
∴ ≥ a２ ()＝ →０
B C C C B A A C C C C (ln )
→ → １,１→ １→ １→ → → １,１→
趋近于 不满足．
A B B C 故共有 条不同笔记 故 ０,
→ → → １→ １, ５ ,
正确 若h ( x ) 单调递减 , 则h′ ( x )＝ ax (ln a ) ２ －
;
对于选项 先考虑重复路线 a
D, :
x ≤０
恒成立
,
即
(
x
－１)
ax －１
≤
１
a２ ,
即
前两条路线重复 第一次移动到达点A B C －１ (ln )
, １,１,
共 条路径 后两条路径重复 即第一次移动到 tat １
３ ; ( ≤ a２ ,
点A 同理有 条路径 其中C A C
(ln )
１) ３ , １→ １→ １→
A １ 重复 , 故共只有 ５ 条路径 ; ∴( tat )max≤ (ln １ a ) ２ , 设G ( t )＝ tat , G′ ( t )＝(１
再考虑不重复路径 只有C C A A 条
: １→ → → １,１
t aat 则t １
路径 三次移动后到达点A有 条路径．记事 ＋ln ) ＝０, ＝－ a,
,∴ ６ ln
件A 从点C 出发 三次移动后到达点A 事 当a 时t 不成立
１: １ , １; ＞１ ,＜０ ;
件C 从点C 出发 三次移动时经过点C 故
: １ , , 当 a 时t １ Gt 在区间
æ ö æ ö ０＜ ＜１ ,＝－ a＞０,∴ ()
３ ３ ln
PA ç１÷ PAC ç１÷
(１)＝è ø ６, (１ )＝è ø ２, æ ö
３ ３ ç １ ÷ 上 单 调 递 增 在 区 间
PAC
è０,－ aø ,
故PCA (１ ) １ 故正确．也可以 ln
(| １)＝PA ＝ , ( æ ö
(１) ３ ç １ ÷上单调递减
直接列举路径来判断 è－ a,＋∞ø ,
) ln
．答案
１２ 【
解析
】８
根据点F到其中一条渐近线的距离为 ∴－ ln
１
a
a－ln １a
≤ (ln
１
a ) ２ ,
即a－ln １a
≤－ ln
１
a,
【 】
æ ö æ ö
２, 可得b ＝２, 且满足α ＋ β ＝π ．又α ＝ １β ,∴ β ＝ ∴ è ç － ln １ aø ÷ ln a ≤ln è ç － ln １ aø ÷ , 即 －１≤
５
æ ö
π b β ３ 故a c 焦 lnè ç － １ aø ÷ , 解得 e －e ≤ a ＜１ ．
,∴a＝tan ＝ , ＝２３,∴ ＝４,∴ ln
６ ３
距为 c ． æ ç A Aö ÷ ２
２ ＝８ èsin ＋cos ø
．答案 ．解 由二倍角公式得 ２ ２
１３ 【 】４５ １５ :(１) A A ＝
解析 由正态分布的性质得质量指标在区间 cos ２ －sin ２
【 】 ２ ２
数学试题 参考答案 第 页 共 页
３ ７æ B Bö ２ 又PA 平面ABCDBD 平面ABCD
ç ÷ ⊥ , ⊂ ,
èsin ＋cos ø
２ ２ 分 PA BD．
B B , ２ ∴ ⊥
２ ２ 又ACPA 平面PACAC PA A
cos －sin , ⊂ , ∩ ＝ ,
２ ２
BD 平面PAC．
A A B B
∴ ⊥
sin ＋cos sin ＋cos 又BD 平面PBD 平面PAC 平面PBD．
２ ２ ２ ２ ⊂ ,∴ ⊥
∴ A A＝ B B,
分
cos －sin cos －sin ７
２ ２ ２ ２ AB AD AP 两两互相垂直 分别以
A B A B (２)∵ , , ,∴
整理得
sin cos －cos sin ＝０, ABADAP为x轴y轴z轴建立空间直角
２ ２ ２ ２ , , , ,
æA Bö 坐标系．
即 ç ÷ ． 分
sinè － ø＝０ ５
２ ２
A B
A B 即A B 即
∵ , ∈(０,π),∴ － ＝０, ＝ ,
２ ２
ABC为等腰三角形． 分
△ ６
其他方法酌情给分
( )
由 及题设 有AC BC CD
(２) (１) , ＝ ＝２ ,
AC２ AD２ CD２
CAD ＋ －
∴cos∠ ＝ ２ AC AD 不妨设BC ＝１, 则A (０,０,０), C (２,１,０), D (０,
AC２
P
AC２ AD２ ４,０), (０,０,４),
＋ －
４ PC→ PD→ ．
＝ AC AD ∴ ＝(２,１,－４), ＝(０,４,－４)
２
点M 在平面PCD内
AC２ ∵ ,
３ AD２
＋ 设PM→ xPC→ yPD→
４ ∴ ＝ ＋ ,
＝ AC AD
２ 则AM→ AP→ xPC→ yPD→ x
＝ ＋ ＋ ＝(０,０,４)＋ (２,
AC AD
３ y xx y x
＝ AD＋ AC １,－４)＋ (０,４,－４)＝(２ , ＋４ ,４－４ －
８ ２ y 分
AC AD ４ ), ９
３ AM 平面PCD AM PCAM PD
≥２ AD AC ∵ ⊥ ,∴ ⊥ , ⊥ ,
８ ２
ì ïAM→ PC→ x x y x y
＝４ ＋ ＋４ －１６＋１６ ＋１６
３ 分 ï
＝ , １０ ï x y
２ í ＝２１ ＋２０ －１６＝０,
∴ï
AD AM→ PD→ x y x y
CAD π 当且仅当 ３时 等号 ï ＝４ ＋１６ －１６＋１６ ＋１６
∴∠ ≤ ６ , AC＝ ２ , î ï ＝２０ x ＋３２ y －１６＝０,
成立．
ì
ï
x １２
AD ïï ＝ ,
即 CAD的最大值为π 此时由 ３可得 解得í １７
∠ , AC＝ ï
６ ２ ïy １
î ＝ ,
ACD为直角三角形 ACD π． 分 １７
△ ,∠ ＝ １２ æ ö æ ö
３ AM→ ç２４１６１６÷ 即Mç２４１６１６÷
又由 可得 ABC为正三角形 ABC的 ∴ ＝è , , ø, è , , ø,
(１) △ ,∴△ １７１７１７ １７１７１７
分
面积S ３ ２ ． 分 １２
＝ ×２＝ ３ １３
４ 点M 到平面PAD的距离d ２４
．解 在 ABC 和 ABD 中 ∴ １＝ ,
１６ :(１) Rt△ Rt△ , １７
BC AD æ ö æ ö
BAC １ ABD 点M 到棱AD 的距离d ç２４÷ ２ ç１６÷ ２
tan∠ ＝AB＝ ,tan∠ ＝AB＝２, ２＝ è ø ＋è ø
２ １７ １７
BAC与 ABD互余 即AC BD．
∴∠ ∠ , ⊥
８ １３
分 ＝ ,
４ １７
数学试题 参考答案 第 页 共 页
４ ７d é ù
设二面角MＧADＧP大小为θ 则 θ １ g′x gx f′x 在区间ê ê ３π ú ú上单
, sin ＝d ＝ ∴ ()＞０,()＝ () ëπ, û
２ ２
调递增．
２４ ３ １３
＝ , æ ö
８ １３ １３ g gç３π÷ 存在x
(π)＝－１＜０, è ø＝π＞０,∴ ０∈
２
∴cos
θ
＝ １－sin
２θ
＝
２
１３
１３
, æ ç ３π ö ÷ 使得gx 分
èπ, ø, (０)＝０, １１
２
即二面角MＧADＧP的余弦值为２ １３． 且x x 时 gx f′x 即此时
１３
∈(π,０) , ()＝ ()＜０,
分 fx 在区间 x 上单调递减
１５ () (π,０) ;
æ ö æ ö
．解 f′ x x çx π÷ x 且 x çx ３π÷ 时 gx f′x 即 此 时
１７ :(１) ( )＝cos － è － øsin , ∈ è ０, ø , ()＝ ()＞０,
２ ２
æ ö æ ö
f′çπ÷ ． 分 fx 在区间çx ３π÷上单调递增． 分
è ø＝０ ２ () è ０, ø １３
２ ２
æ ö
当
０＜
x
＜
π时
,cos
x
＞０,è
çx
－
π
ø
÷
sin
x
＜０,
从
∴
由f
(π)＝－
π
＋１＜０,
得f
(
x
０)＜０,
２ ２ ２
而f′
(
x
)＝cos
x
－
æ
è
çx
－
π ö
ø
÷
sin
x
＞０,
即函数f ( x ) 在区间 (π, x ０) 上无零点 ;
２ æ ö
é ù 而由fx fç３π÷
即此时函数fx 在区间ê ê π ú ú上单调递增 (０)＜０, è ø＝１＞０,
() ë０, û ; ２
２ æ ö
分 即函数fx 在区间çx ３π÷上有唯一的零点．
４ () è ０, ø
２
æ ö
当π ＜ x ≤π 时 ,cos x ＜０,è çx － π ø ÷ sin x ≥０, 函数fx 在区间 é ê êπ ３π ù ú ú上有 个零点．
２ ２ ∴ () ë , û ２
２ ２
æ ö
从而f′x x çx π÷ x 分
()＝cos －è － øsin ＜０, １５
２ ．解 由题意知抛物线的焦点P到两定点A
é ù １８ :(１) ,
即此时函数f ( x ) 在区间 ë ê êπ ,πû ú ú上单调递减． B的距离之和等于点A
,
B到抛物线的准线的
２
é ù 距离之和 等于AB的中点O到准线的距离的
综上所述 函数fx 在区间 ê ê π ú ú上单调 ,
∴ , ( ) ë０, ２ û ２ 倍 , 即等于圆x２ ＋ y２ ＝９ 的半径的 ２ 倍 ,
é ù
递增 , 在区间 ë ê êπ ,πû ú ú上单调递减． ７ 分 ∴| PA |＋| PB |＝６＞| AB |＝２,∴ 点P在以
２ AB为焦点的椭圆E上 分
æ ö , , ３
(２) f è çπ ø ÷ ＝１＞０, 又f (π)＝－ π ＋１＜０, 且函 设椭圆E的标准方程为 x２ y２ a b
２ ２ a２＋b２＝１(＞ ＞０),
é ù
数f ( x ) 在区间 ë ê ê
２
π ,πû ú ú上单调递减 , 则
２
a
＝６,２
c
＝２,∴
a
＝３,
c
＝１,∴
b２
＝
a２
－
c２
é ù
函数fx 在区间ê êπ ú ú上存在唯一的零点． ＝８,
∴ () ë
２
,πû
曲线E的标准方程为
x２ y２
． 分
分 ∴ ＋ ＝１ ８
９ ９ ８
é ù 设直线MNx my m
当x ê ê ３π ú ú时 记gx f′x x (２) :＝ ＋２( ≠０),
∈ ëπ, ２ û , ()＝ ()＝cos － 由 {x ＝ my ＋２,
æ ö
è
çx
－
π
ø
÷
sin
x
, ８
x２
＋９
y２
＝７２,
２
m２ y２ my ．
æ ö ∴(８ ＋９) ＋３２ －４０＝０
从而g′
(
x
)＝－２sin
x
－è
çx
－
π
ø
÷
cos
x
, 设 M x y N x y 则y y
２ (１, １), (２, ２), １ ＋ ２ ＝
æ ö m
且此时 x çx π÷ x －３２ yy －４０
sin ＜０,è － øcos ＜０, m２ ,１ ２＝ m２ ,
２ ８ ＋９ ８ ＋９
数学试题 参考答案 第 页 共 页
５ ７æx y ö y 首先 若对数列S a a a a a 依次做
CM 的中点坐标为ç １－３ １÷ k １ (２) , ０:１,２,３,４,５
è ２ , ２ ø,CM ＝x １＋３ , A i ＋１, A i ＋２,, A ５( i ∈{１,２,３,４}) 变换 , 得到
分
９ 的数列a i 加 １, a i ＋１ 减 １, 其余项不变 ;
CM 的垂直平分线的斜率为 － x y １＋３． １０ 分 若对数列中S ０: a １, a ２, a ３, a ４, a ５ 依次做A i,
１ A A i 变换 得到的数列
x
i －１,,１(∈{１,２,３,４}) ,
CM 的垂直平分线方程为y １＋３ 中a 减 a 加 其余项不变． 分
∴ ＝－ y i １,i ＋１ １, ７
１ 可以通过若干次变换使得相邻两数一个加
æ x ö y my x２ ∴
è çx － １
２
－３ ø ÷ ＋
２
１ , 即y ＝－ y １
１
＋５x ＋
２
１ y －
１
９ １, 另一个减 １,
可以通过若干次变换使得第一项变为 第
y ∴ ０,
１
＋ , 二项变为a a．
２ １＋ ２
x２ y２ x２ 同样的可以通过若干次变换分别使得a a
由 １ １ 得 １－９ ９y ２,３,
＋ ＝１ y ＝－ １,
９ ８ ２ １ １６ a 均变为 此时即为 ． 分
４ ０, ０,０,０,０,０ １０
my
CM 的垂直平分线方程为y １＋５x 记此时的变换 为B 变换 为B ．
∴ ＝－ y － (３) ① １, ③ １０
１ 首先 记T a a a a a T a
, １＝ １＋ ３＋ ５＋ ７＋ ９, ２＝ ２＋
１
１
６
y １ ． １１ 分 a ４＋ a ６＋ a ８＋ a １０,
每次变换使得T 的值加 或减 或不变 故可
同理CN的垂直平分线方程为y my ２＋５x １ ２ ２ ,
＝－ y 以经过若干次变换使得T 此时T
２ １＝０, ２＝０;
其次 对任意数列S a a a 依次做
１y ． 分 , ０:１,２,,１０
－ １６ ２ １３ A j －１, A j, A j, A j ＋１ 变换 , 其中j ∈{３,４,,８},
设点Qx y
(０,０), 得到的数列中a
j
减
２,
a
j －２,
a
j ＋２
均加
１,
其余项
my
则y １, y ２ 是方程y ０＝－ y ＋５x ０－ １y , 不变 , 记此变换为B j,
１６ 依次做A A A 变换 得到的数列中a 减
即y２ mx y y x 的两根 ８, ９, １０ , ９
＋(１６ ０＋１６ ０)＋８０ ０＝０ , a 加 其余项不变 记此变换为B
ì ï m １,７ １, , ９,
í ïï y １＋ y ２＝－１６ mx ０－１６ y ０＝ ８ － m ３ ２ ２ ＋９ , 两 式 此时B １, B ３, B ５, B ７, B ９ 只变换a １, a ３, a ５, a ７,
∴ ï a 且对a a a a a 规则同第 问 且
ïyy x －４０
９, １,３,５,７,９ (２) ,
î １ ２＝８０ ０＝ m２ , T 分
８ ＋９ １＝０, １５
mx y m y 由 知可以对S 做若干次变换 得到的数
相除得－ ０－ ０ ４ ０ m． ∴ (２) ０ ,
x ＝ ,∴x ＝－５
５ ０ ５ ０ 列中a a a a a ．
１＝ ３＝ ５＝ ７＝ ９＝０
分
１６ 同理可以再对S 做若干次变换 得到的数列中
０ ,
k k m １ a a a a a 则此时得到数列
∴ OQ MN ＝－５ m＝－５, ２＝ ４＝ ６＝ ８＝ １０＝０,
． 分
即直线OQ与MN的斜率之积为定值 ． ０,０,,０ １７
－５ 个
１０
分 其他方法酌情给分
１７ ( )
其他方法酌情给分
( )
．解 对数列S 依次做A A A 变换即可．
１９ :(１) ０ ３,４,５
分
４
数学试题 参考答案 第 页 共 页
６ ７多维细目表
学科素养 预估难度
题型 题号 分值 必备知识 数学 逻辑 数学 直观 数学 数据
易 中 难
抽象 推理 建模 想象 运算 分析
选择题 集合与简易逻辑
１ ５ √ √
选择题 复数
２ ５ √ √
选择题 统计与概率
３ ５ √ √
选择题 二项式定理
４ ５ √ √ √
选择题 平面向量
５ ５ √ √ √
选择题 等比数列
６ ５ √ √ √
选择题 抛物线方程及其性质
７ ５ √ √
选择题 立体几何
８ ５ √ √ √
选择题 不等式的性质
９ ６ √ √ √
选择题 三角函数的图象及其性质
１０ ６ √ √
选择题 排列组合与概率
１１ ６ √ √ √
填空题 双曲线方程及其性质
１２ ５ √ √ √
填空题 概率分布
１３ ５ √ √ √
填空题 导数及其应用
１４ ５ √ √ √
解答题 解三角形
１５ １３ √ √ √
解答题 立体几何
１６ １５ √ √ √
解答题 导数及其应用
１７ １５ √ √ √ √
解答题 椭圆方程及其性质
１８ １７ √ √ √
解答题 数列与新定义综合
１９ １７ √ √ √ √
数学试题 参考答案 第 页 共 页
７ ７
