2024 届高三级 11 月四校联考
数学 答案
简答：1、A 2.D 3.C 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9. BD 10.ACD 11.BD 12.ABC
21 ( 45)
13.−1 7+4√3 6； 22,
2 2
14. 15. 16.
详解：3.C解：因为y=−ax+4是减函数，且f (x)是R上单调函数，根据题意，f (x)为R上的单调减函数；
{ 0<a<1, 4 ( 4]
故可得 , 解得0<a≤ ，即a的取值范围为 0, ．故选：C．
a≤−4a+4 5 5
√2 √2(1−i) √2 √2 √2
4.D 解：由(1+i)z=|1+i|=√2，得z= = = − i，z的虚部为 ．故选 D．
1+i (1+i)(1−i) 2 2 2
5.A解：因为a −a =2n ，a =2019，所以a =a −a +a −a +a =24+2+2019=2037．
n+3 n 1 7 7 4 4 1 1
6.B解：连接 MB 交 AC 于点 D ，连接 ND,NA,NC ，则平面 NAC 即为平面 α ，
因为 SB//α ，平面 SMB∩α=DN ， SB⊂ 平面 SMB ，所
以 SB//DN ，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
1
所以 ∠ABM=∠BMC=∠MBC=∠BAC=30∘ ， MC=BC= AB ，
2
1 DM MC 1
所以 MC//AB 且 MC= AB ，所以 = = ，
2 DB AB 2
MN DM 1 SM 3
又 SB//DN ，所以 = = ，所以 = ．故选：B．
SN DB 2 SN 2
7.D解：令g(x)=f(x)sin3x，
g′(x)=3f(x)sin2xcosx+f ′(x)sin3x=sin2x[3f(x)cosx+f ′(x)sinx]≥0，
π π
所以g(x)在R上单调递增．又因为f(x)为偶函数，所以f(− )=f( )=−2，所以
6 6
π 1 π 1 π π π π π
g(− )=(− ) 3f(− )= ，g(x+ )=f(x+ )sin3 (x+ )=f(x+ )cos3x，所以不等式f(x+ )，
6 2 6 4 2 2 2 2 2
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1 11 π π π π 2π
cos3x− >0等价于g(x+ )>g(− )，则x+ >− ，解得x>− ，所以不等式
4 2 6 2 6 3
π 1 2π
f(x+ )cos3x− >0的解集为(− ,+∞).故选D．
2 4 3
ωx 1 √3 √3 1 √3 1 √3
8.C解：f(x)=√3sin2 + sinωx− = (1−cosωx)+ sinωx− = sinωx− cosωx
2 2 2 2 2 2 2 2
π π 3π ωπ π π 3ωπ π (π 3π)
=sin(ωx− )，若 <x< ，则 − <ωx− < − ，因为f(x)在 , 上无零点，
3 2 2 2 3 3 2 3 2 2
3ωπ π ωπ π T π
所以( − )−( − )⩽ = ，则ω2 ⩽1，又ω>0，解得0<ω⩽1，
2 3 2 3 2 ω
ωπ π
{ kπ⩽ −
2 3 2 2 8
又 (k∈Z)，解得2k+ ⩽ω⩽ k+ (k∈Z)，
3ωπ π 3 3 9
(k+1)π⩾ −
2 3
2 2 8
{2k+ ⩽ k+
3 3 9 4 1
由 (k∈Z)，解得− <k⩽ (k∈Z)，
2k 8 3 6
+ >0
3 9
2 8 2
所以k=0或k=−1，当k=0时， ⩽ω⩽ ，当k=−1时，结合0<ω⩽1，可得0<ω⩽ ，
3 9 9
2 2 8
∴ω∈(0, ]∪[ , ]．故选C．
9 3 9
9.BD解：A选项中，a =−2，q=1/3满足{a }单调递增，故A错误；
1 n
a
B选项中，若a >0，0<q<1，则a >0且 n =q∈(0,1)，所以{a }单调递减，故B正确；
1 n a n
n−1
1
C选项中，若a =1，q= ，则a <a ，S −S <S −S ，故C错误；
1 2 6 5 6 5 5 4
b a 1
D选项中， n+1= n = (q≠0)，所以{b }是等比数列．故选BD．
b a q n
n n+1
、 解 项两边平方，亦可注意到三个向量构成的三角形为底角为 度的等腰三角形，故 正确；
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10 ABD :A 30 A
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2 1项 在 上的投影向量的坐标应为 ，故B错误；
B
易验证 ， ，故C、D都正确.
解：作出函数 的图象：
11.BD
由图可知，值域为 ，故 错；因为 是以 为最小正周期的周期函数， 正确；由图可
A B
知，C错误; 时， ， 正确．
D
令 得 又 得f(x)是奇函数，A正确
12.ABC. x=y f(0)=0,
设−1<x <x <1,
1 2
故f(x)是增函数,B正确；
由 ，C正确；
由 ,D错误.
13.−1．解：由题意，y=f(x)−x2为奇函数，可得f(1)−12=−[f(−1)−(−1) 2 ]，
∴f(−1)=2−f(1)=−1．
21 1 21
14. a =S −S =(36−1)−(25− )= ，
2 6 6 5 2 2
.
1 1 1
15. 7+4√3解：由S =S +S ，得 acsin120∘= csin60∘+ asin60∘ ，得ac=a+c，即
△ABC △ABD △CBD 2 2 2
.
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3 11 1
+ =1．
a c
(1 1) 4a 3c
所以4a+3c=(4a+3c) + =7+ + ≥7+4√3，当且仅当c=2a时取等号．
a c c a
( 45)
16.6； 22, ．解：作出图象如下：可知当 m=ln2 时， y=m 与函
2
数 f (x) 有三个不同的交点，其中一根为2，另两根关于x=2对称 ，故这三
个根之和为4+2=6 ；
∵ 2<x<4 时， f (x)=f (4−x) ，
∴ f (x) 在 (2,4) 与 (0,2) 上的图象关于 x=2 对称，
可得 x +x =x +x =4 ， −lnx =lnx ，∴ x x =1 ．
1 4 2 3 1 2 1 2
∴ x = 1 ， x =4− 1 ， x =4−x ，∴ (x +x ) 2+x2+x2= 1 +x2+2+(4−x ) 2+ ( 4− 1 ) 2
1 x 4 x 3 2 1 2 3 4 x2 2 2 x
2 2 2 2
1 2 1 1 5
=2(x + ) −8(x + )+30 ， x ∈(1,2) ，令 t=x + ∈(2, ) ，
2 x 2 x 2 2 x 2
2 2 2
5 ( 5)
则原式化为： h(t)=2t2−8t+30 ， t∈(2, ) ，其对称轴 t=2 ，开口向上，故 h(t) 在 2, 递增，
2 2
∴ 22< ℎ(t)< 45 ，∴ (x +x ) 2+x2+x2 的取值范围是 ( 22, 45) ．故答案为：6； ( 22, 45) ．
2 1 2 3 4 2 2
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
π
17.解：(I)根据y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象知，
2
11π π 2π
最小正周期T= −(− )=π，∴ω= =2，且A=2． ……………2分
12 12 T
π π π
又(− ,0)在图像上，可得2⋅(− )+φ=kπ,k∈Z，∴φ= +kπ,k∈Z
12 12 6
π π
又∵|φ|< ， ∴φ= ， ……………4分
2 6
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4 1π
∴f (x)=2sin(2x+ ) ; ……………5分
6
(II)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，
π π
得到y=g(x)=2sin[2(x+θ)+ ]=2sin(2x+2θ+ )的图象， ……………6分
6 6
5π 5π π
若y=g(x)图象的一个对称中心为( ,0)，则2· +2θ+ =kπ,k∈Z．……………8分
6 6 6
kπ 11π
即θ= − ,k∈Z ……………9分
2 12
π
∵θ>0，∴取k=2，θ的最小值为 ． ……………10分
12
18.解：(1)设数列{a }的公差为d，d≠0，
n
由a =2，且a ,a ,a 成等比数列，可得a2=a a ， ……………1分
1 1 3 9 3 1 9
即(2+2d) 2=2(2+8d)，解得d=2或d=0(舍去) ……………3分
∴a =2n． ……………4分
n
1 1
(2)由(1)得 − =2n， ……………5分
b b
n n−1
1 1 1 1
∴ − =2(n−1),⋯, − =2×2，
b b b b
n−1 n−2 2 1
1 1 1
将它们累加得： − =n2+n−2, =n2+n. ……………7分
b b b
n 1 n
1
∴b = ，n≥2， ……………8分
n n2+n
1
易知n=1时，b = 也符合上式， ……………9分
1 2
1 1 1 1
所以b = = = − ，n∈N∗， ……………10分
n n2+n n(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 n
所以S =1− + − +⋯+ − =1− = ． ……………12分
n 2 2 3 n n+1 n+1 n+1
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5 1解：(1)证明：取AD的中点O，连接OB，OP，BD， ……………1分
∵19.PA=PD，∴OP⊥AD，∵BD=AB，∴OB⊥AD， ……………2分
又OP∩OB=O，OP、OB⊂平面POB，则AD⊥平面POB， ……………3分
∵PB⊂平面POB，∴AD⊥PB． ……………4分
(2)由(1)知P−AD−B的平面角为∠POB，∴∠POB=120°， ……………5分
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(1,0,0),B(0,√3,0),
√3 3
C(−2,√3,0),P(0,− , )， ……………6分
2 2
⃗
设平面PAB的法向量为n =(x ,y ,z ) ，
1 1 1 1
⃗ √3 3 ⃗
∵AP=(−1,− , ),AB=(−1,√3,0)，
2 2
{ ⃗ ⃗ √3 3
n ⋅AP=−x − y + z =0,
∴ 1 1 2 1 2 1
⃗ ⃗
n ⋅AB=−x +√3 y =0,
1 1 1
取x
1
=3可得n ⃗ =(3,√3,3) ， ……………8分
1
⃗ ⃗ ⃗ 3 3
设平面PBC的法向量为n =(x ,y ,z ) ，∵CB=(2,0,0),CP=(2,− √3, )，
2 2 2 2 2 2
⃗ ⃗
{
n ⋅CB=2x =0,
2 2
∴ ⃗ ⃗ 3 3
n ⋅CP=2x − √3 y + z =0,
2 2 2 2 2 2
取y
2
=1可得n ⃗ =(0,1,√3) ， ……………10分
2
⃗ ⃗
⃗ ⃗ n ⋅n √3+3√3 2√7
∴cos〈n ⋅n 〉= 1 2 = = ， ……………11
1 2 ⃗ ⃗ √21×2 7
|n |⋅|n |
1 2
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6 1分
√ (2√7) 2 √21
故二面角A−PB−C的正弦值为 1− = ． ……………12分
7 7
解： ， ， ……………1分
20.
又 函数 在 处的切线平行于 轴，
x
则 ，即 ，解得 ……………2分
此时 ，令 ，解得 ，
当 时 ， 单调递增 ……………3分
;
当 时 ， 单调递减 ……………4分
.
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ……………5分
令 ， ， ， ……………6分
令 ，得
当 时 ， 单调递增当 时 ， 单调递减，
;
故 在 处取得极大值 ……………8分
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7 1又 ， ……………9分
要使 在 上有两个零点，只需 ，即 ， ……………11分
解得 故实数 的取值范围为 ……………12分
a
( π)
21、解：(1)因为线段AA′与线段BC交于点D(异于B，C)，所以B，C∈ 0, ，
2
π 2π (π π)
又因为∠BAC= ，所以C= −B∈ , ， ……………1
3 3 6 2
分
(√3 )
即tanC∈ ,+∞ ， ……………2分
3
(2π )
sin −C
由正弦定理，AC sinB 3 1 √3 ，
= = = +
AB sinC sinC 2 2tanC
……………4分
1 √3 (1 ) AC (1 )
+ ∈ ,2 即 的取值范围为 ,2 ． ……………
2 2tanC 2 AB 2
6分
(2)易知AA′=2AD，
1 1
又由三角形ABC的面积S= BC⋅AD= AB⋅AC⋅sin∠BAC，
2 2
√3
可得AD= AB⋅AC， ……………7分
4
由余弦定理，得BC2=4=AB2+AC2−2AB·AC·cos∠BAC≥2AB·AC−AB·AC=AB·AC，…………9
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8 1分
解得AB·AC≤4，当且仅当AB=AC=2时，等号成立， ……………10分
√3
所以AD= AB⋅AC≤√3， ……………11分
4
即AA′的最大值为2√3． ……………12分
AC (1 )
答：(1) 的取值范围为 ,2 ；(2)AA′的最大值为2√3．
AB 2
22.(1)当 时，函数 ， ； ………………1分
时， ；
当 时， ， ； ………………2分
时，令 ,则 增， ………………3分
存在 ，又 ，
时， ， 减，有 ， 时， ， 增，亦有
，
所以 时，恒有 ，即 ；
即当 时， ， ………………5分
又 ， ，即当 时， ， ……6分
（2）因 ，当 时， ， ………………7分
令 ， ， ， ，
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9 1， . ………………8分
又 ， ，即当 时， . ………………9分
(3) 由（2）知，当 时，有 当且仅当 时等号成立，
， ……………………10分
则 ， ……………………11分
故 . ………………12分
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10 1
