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专题 4 分段数列
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现
的概率变大,由于分段数列问题大多涉及分类讨论思想,对能力要求更高,作为压轴题出现的频率更高,本专
题总结分段数列的常见类型及求解,供大家参考.
（一）分段数列求通项
分段数列求通项,关键是确定n在不同范围内取值时 与 的关系,恰当进行分类是求解的难点.
【例1】（2024届四川省成都石室中学高三下学期适应性考试）已知数列 满足 当 时,
(1)求 和 ,并证明当 为偶数时 是等比数列；
(2)求 及 .
【解析】（1）因为 当 时, ,
所以 , .
, ,又 ,
当 为偶数时, 是以 为首项,以 为公比的等比数列；
（2）由（1）知, ,
学科网（北京）股份有限公司设 ,则 为偶数时,
当 为奇数时,
；
设 , 为奇数时, ,
所以 .
.
（二）分段数列求和
对于分段数列求和,一般数列分几段,求和时也分几段,对于 型的数列求和,一定要
注意若 为偶数,则奇数项与偶数项各有 项,若n为奇数,则奇数项有 项,偶数项有 ,若 是公
差为 的等差数列,则 的奇数项是公差为 的等差数列,若 是公比为 的等比数列,则 的偶数
项是公比为 的等比数列.
【例2】（2024届广东省名校教研联盟高三下学期5月模拟）已知数列 是公差不为0的等差数列,其前
n项和为 , , , , 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 , ,求数列 的前100项和 ．
学科网（北京）股份有限公司【解析】（1）设数列 的首项为 ,公差为 ,
根据题意得 即
解得 或 ．
又因 ,所以 ．所以 的通项公式为 ．
（2）由（1）得 ．
即数列 的偶数项是以4为首项,4为公差的等差数列,
奇数项是以 为首项,16为公比的等比数列．
数列 的前100项中偶数项有50项,奇数项有50项,
数列 的前100项和 ．
,
．
所以 ．
【例3】（2024届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷）若各项均为正数的数列 满足
（ 为常数）,则称 为“比差等数列”.已知 为“比差等数列”,且
.
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的通项公式；
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由 为“比差等数列”,
得 ,从而 .
设 ,则 ,
所以数列 为等差数列.
因为 ,所以 为常数列,
因此, ,即 ,
所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,因此 .
（2）当 为偶数时,
；
当 为奇数时, .
综上, .
学科网（北京）股份有限公司（三） 型的分段数列
此类问题比较简单,求解时只需分n为偶数与奇数即可,求指定项时要注意区分该项在奇数项或偶数项中的位
置,求和时要注意奇数项与偶数项的项数.
【例4】已知数列 的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列.数列 前 项和为
,且满足
(1)求 ；
(2)求数列 的通项公式及数列 的前2k项和 ;
(3)在数列 中,是否存在连续的三项 ,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的
正整数 的值;若不存在,说明理由
【解析】（1）设等差数列的公差为 ,等比数列的公比为 ,
则 ,
因为 ,所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,即 ,
解得 ,
所以 ；
（2）由（1）知 ,
所以对于 ,有 , ,
所以 （ ）,
学科网（北京）股份有限公司（3）在数列 中,仅存在连续三项 按原来的顺序成等差数列,此时正整数 ,
下面说明：
若 ,则由 ,得 ,
化简得 ,
此式左边是偶数,右边是奇数,不可能成立,
若 ,则由 ,得 ,化简得 ,
令 ,则 ,
所以 ,所以只有 ,此时 ,
综上,在数列 中,仅存在连续三项 按原来的顺序成等差数列,此时正整数 .
（四） 型的分段数列
求解此题问题,一般是由已知条件推出 与 （或 与 , 与 ）的递推关系,再构造等
差（比）数列求通项.
【例5】设数列 满足： 是 的等比中项.
（1）求 的值；
（2）求数列 的前20项的和.
【解析】（1）由已知 , ,
又 是 的比例中项,所以 ,即 ,显然 且 ,故解得 ；
（2） 是奇数时, , , ,而 ,
学科网（北京）股份有限公司所以数列 是等比数列,
．
（五）相邻项和（积）为等差（比）数列型的分段数列
1.若 ,则当 时, ,两式相减得 ,即数列
与数列 均是公差为 的等差数列.
2.若 ,则 ,两式相除得 ,即数列 与数列 均是
公比为 的等比数列.
【例6】设数列 的前n项和为 ,且 ．
（1）求 ；
（2）若 对 恒成立,求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ,当 时, ,
两式相减得 ,则 ,
两式相减得 ．
当 时, ,则 ；当 时, ,则 ,
所以 .
（2）由（1）得 ．
要使 对 恒成立,则 即 解得 ,
学科网（北京）股份有限公司所以 的取值范围为 .
（六） 型的分段数列
求解此类问题,关键是确定分界点 .
【例7】（2023年高考全国乙卷数学真题）记 为等差数列 的前 项和,已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设等差数列的公差为 ,
由题意可得 ,即 ,解得 ,
所以 ,
（2）因为 ,
令 ,解得 ,且 ,
当 时,则 ,可得 ；
当 时,则 ,可得
；
综上所述： .
【例8】（2024届吉林省长春市东北师大附中高三第六次模拟）记集合 无穷数列 中存在有限
项不为零, ,对任意 ,设 ．定义运算 若 ,
学科网（北京）股份有限公司则 ,且 ．
(1)设 ,用 表示 ；
(2)若 ,证明： ：
(3)若数列 满足 ,数列 满足 ,设 ,
证明： ．
【解析】（1）因为 ,所以 ,
所以 ,
根据多项式的乘法可得： ．
（2）因为 ,
所以 ．
又 ,
所以 ,
所以
（3）对于 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
学科网（北京）股份有限公司所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以
(七)含 或 型的分段数列
求解含 或 型的分段数列问题,一般借助三角函数的周期性求解,求和时通常把一个周期内的项
求和后,构造新数列求解.
【例9】（2024届山东潍坊高三三模）已知正项等差数列 的公差为2,前 项和为 ,且
成等比数列.
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)若 求数列 的前 项和.
【解析】（1）因为 ,
所以 ,即 ,解得 或 ,
学科网（北京）股份有限公司又因为 ,所以 ,所以 .
（2） ,所以 ,
所以 为奇数时,
,
为偶数时,
,
所以前 项和 .
(八)当 时 型的分段数列
求解此类问题的关键是判断在每个范围内数列项的个数.
【例10】已知数列 是等差数列,其前 和为 , , ,数列 满足
(1)求数列 , 的通项公式；
(2)若对数列 , ,在 与 之间插入 个2（ ）,组成一个新数列 ,求数列 的前83项的
和 .
【解析】（1）设公差为 ,故 ,解得 ,
故 ,
故 ,①
学科网（北京）股份有限公司当 时, ,
当 时, ,②
式子①-②得, ,
即 ,当 时, 也满足上式,故 ；
（2）因为 ,所以在 中,从项 开始,到项 为止,
共有项数为 ,
当 时, ,当 时, ,
故数列 前 项是项 之后还有 项为2,
.
【例11】（2023年天津高考数学真题）已知 是等差数列, ．
(1)求 的通项公式和 ．
(2)设 是等比数列,且对任意的 ,当 时,则 ,
（Ⅰ）当 时,求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
【解析】（1）由题意可得 ,解得 ,
则数列 的通项公式为 ,
求和得
学科网（北京）股份有限公司.
（2）(Ⅰ)由题意可知,当 时, ,
取 ,则 ,即 ,
当 时, ,
取 ,此时 ,
据此可得 ,
综上可得： .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知： ,
则数列 的公比 满足 ,
当 时, ,所以 ,
所以 ,即 ,
当 时, ,所以 ,
所以数列的通项公式为 ,
其前 项和为： .
学科网（北京）股份有限公司【例1】（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列 , ,函数 ,其中
, 均为实数．
(1)若 , , , , ,
（ⅰ）求数列 的通项公式；
（ⅱ）设数列 的前 项和为 ,求证： ．
(2)若 为奇函数, , , 且 ,问：当 时,
是否存在整数 ,使得 成立．若存在,求出 的最大值；若不存在,请说明理由．（附： ,
）
【解析】（1）（ⅰ） , ,
由 ,
得 ,解得 ,
又 ,
,
学科网（北京）股份有限公司, 是以2为公比,2为首项的等比数列．
．
（ⅱ）令 ,则 ,
．
显然,当 时, 是递增数列, 在 时,单调递减,
可得 , ．
．
（2） 为奇函数,
．
,
又 , ,
, ．
,
由 得, ．
,
,
, ,
学科网（北京）股份有限公司在 上为增函数,
当 时, , ；
,
．
当 时, ．
时, ,又 ,
当 时, , ．
又 , 的最大值为5．
【例2】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为等差数列, ,记 , 分别为数
列 , 的前n项和, , ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时, ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ,而 ,
则 ,
于是 ,解得 , ,
所以数列 的通项公式是 .
学科网（北京）股份有限公司（2）方法1：由（1）知, , ,
当 为偶数时, ,
,
当 时, ,因此 ,
当 为奇数时, ,
当 时, ,因此 ,
所以当 时, .
方法2：由（1）知, , ,
当 为偶数时, ,
当 时, ,因此 ,
当 为奇数时,若 ,则
,显然 满足上式,因此当 为奇数时, ,
当 时, ,因此 ,
所以当 时, .
【例3】（2024年天津高考数学真题）已知数列 是公比大于0的等比数列．其前 项和为 ．若
．
(1)求数列 前 项和 ；
学科网（北京）股份有限公司(2)设 , ．
（ⅰ）当 时,求证： ；
（ⅱ）求 ．
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ,
因为 ,即 ,
可得 ,整理得 ,解得 或 （舍去）,
所以 .
（2）（i）由（1）可知 ,且 ,
当 时,则 ,即
可知 ,
,
可得 ,
当且仅当 时,等号成立,所以 ；
（ii）由（1）可知： ,
若 ,则 ；若 ,则 ,
当 时, ,可知 为等差数列,
学科网（北京）股份有限公司可得 ,
所以 ,
且 ,符合上式,综上所述： .
【例4】（2021年新高考1卷数学真题）已知数列 满足 ,
（1）记 ,写出 , ,并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【解析】（1）由题设可得
又 , ,故 即 即
所以 为等差数列,故 .
（2）设 的前 项和为 ,则 ,因为 ,
所以
.
【例5】（2024届湖南长沙高三下学期三模）若各项均为正数的数列 满足 （
为常数）,则称 为“比差等数列”.已知 为“比差等数列”,且 .
(1)求 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司(2)设 ,求数列 的前 项和 .
【解析】（1）由 为“比差等数列”,
得 ,
从而 .
设 ,则 ,
所以数列 为等差数列.
因为 ,
所以 为常数列,
因此, ,即 ,
所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,
因此 .
（2）当 为偶数时,
；
当 为奇数时, .
学科网（北京）股份有限公司综上, .
【例6】设 是数列 的前n项和,已知 ,
（1）证明： 是等比数列；
（2）求满足 的所有正整数n.
【解析】（1）由已知得 ,
所以 ,其中 , ,所以 是以 为首项, 为公比的等比数列；
（2）由（1）知 ,所以 , ,
所以 ,所以
,当 时, 单调递减,其中 , , ,
所以满足 的所有正整数n为1,2.
1.（2024届福建省厦门市高三第四次质量检测）设 为数列 的前 项和,已知 ,且 为等
差数列.
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的通项公式；
(2)若 ,求 的前 项和 .
2．（2024届重庆市第八中学校高三下学期5月月考）已知数列 满足 ,
．
(1)求 , , ,并求证： ；
(2)求数列 的前2n项和 ．
3．（2024届贵州省贵阳市第一中学等校高三下学期三模）已知正项数列 的前 项和为 ,且满足
.试求:
(1)数列 的通项公式;
(2)记 ,数列 的前 项和为 ,当 时,求满足条件的最小整数 .
4．（2024届天津市武清区杨村第一中学高考热身练）已知数列 是正项等比数列, 是等差数列,且
,
(1)求数列 和 的通项公式;
(2) ,求数列 的前 项和.
(3) 表示不超过 的最大整数, 表示数列 的前 项和,集合 共有
学科网（北京）股份有限公司4个元素,求 范围;
5．（2024届天津市第一中学高三第五次月考）已知数列 是等差数列, , ,数列
的前n项和为 ,且 ,
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若集合 中恰有四个元素,求实数 的取值范围；
(3)设数列 满足 , 的前n项和为 ,证明： ．
6．（2024届山西省高考三模）已知等差数列 的公差 ,前 项和为 ,且 , .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ,求数列 的前 项和 .
7．（2024届福建省厦门市高三第二次质检）已知 为等差数列 的前n项和, ,
, .
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 的前n项和,若 ,求n的最小值.
8．（2024届天津市十二区重点学校高三下学期联考）设 是等差数列,其前 项和 , 是等比数列,且
, , .
(1)求 与 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司(2)设 ,求数列 的前 项和 ；
(3)若对于任意的 不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
9．（2024届山东省烟台市高三二模）已知 是公差不为0的等差数列,其前4项和为16,且 成等
比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
10．已知等差数列 的前 项和为 , .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)求数列 的前 项和 .
11．已知 的前 项和是 ,且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 的前 项和 ．
12．已知正项数列 的前 项和为 ,且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 的前 项和为 ,求 .
13.已知等差数列{a}的前n项和为S,a＝－9,a 为整数,且a≤0,a≥0.
n n 1 2 5 6
学科网（北京）股份有限公司(1) 求{a}的通项公式；
n
(2) 设b
1
＝,b
n＋1
＝(n∈N*),求{b
n
}的前n项和T
n
.
14.（2020天津高考真题）已知 为等差数列, 为等比数列, ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（2）对任意的正整数 ,设 求数列 的前 项和．
2a 1,当n为奇数时
n
15.（2024届广东省广州实验中学校考）已知数列 满足a 1 ,且 的前100
a
n
n1
2
a
n
3,当n为偶数时
a
n
项和S 3775
100
a
a
(1)求 n 的首项 1；
1 3
(2)记 b n a 2n1 a 2n ,数列 b n 的前n项和为T n ,求证： T n 2.
16．（2024云南省昆明市五华区高三上学期第五次检测数学试题）已知数列 满足 ,
数列 满足 ．
(1)求 , 的值及数列 的通项公式；
(2)若 （ , ）,求 的取值范围；
(3)在数列 中,是否存在正整数 , ,使 , , （ , , ）构成等比数列？若存在,求符合条
件的一组 的值,若不存在,请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司
