专题09间接法模型_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_0816新高考数学题型全归纳之排列组合（20个专题）

专题 9 间接法模型 例1．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地 至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工 作，则不同的分配方法总数为（ ） A．18 B．24 C．30 D．36 例2．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和 丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（ ） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 例3．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要 求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A．240 B．320 C．180 D．120 例4．某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的 选课方案有（ ） A．96种 B．84种 C．78种 D．16种 例5．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数 为 A．100 B．110 C．120 D．180 例6．某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能 连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ） A．474种 B．77种 C．462种 D．79种 例7．从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作，若其中乙和 丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有( ) A．36种 B．12种 C．18种 D．24种 例8．某教育局公开招聘了4名数学老师，其中2名是刚毕业的“新教师”，另2名是有了一段教学时间的“老 教师”，现随机分配到A、B两个学校任教，每个学校2名，其中分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老 教师”的概率是（ ） 1 1 1 2 A． B． C． D． 4 3 2 3 例9．某校教师迎春晚会由6个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第 1一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A．112种 B．120种 C．144种 D．180种 例10．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁 金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A．96 B．120 C．48 D．72 例11．2019年4月23日中国人民海军建军70周年.为展现人民海军70年来的辉煌历程和取得的巨大成就， 我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演，要求2 艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇 分配方案的方法种数为（ ） A．1296 B．648 C．324 D．72 例12．现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视 频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（ ）种. A．24 B．36 C．72 D． 144 例13．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取 方式的种数为（ ） A．60 B．75 C．105 D．120 例14．某部门在一周的7天内给3名实习生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这3名 实习生不能安排在连续的3天，则不同的安排方案的种数为（ ）． A．30 B．120 C．180 D．210 例15．我省某医院呼吸科要从2名男医生，3名女医生中选派3人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3 人中至少有1名男医生，则选派方案有（ ） A．60种 B．12种 C．10种 D．9种 例16．有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少 有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N ，则下列等式能成为N 的算式是（ ）. A．C 5 C 1C 4； B．C 2C 3 C 3C 2 C 4C 1C 5； 13 7 6 7 6 7 6 7 6 7 C．C 5 C 1C 4 C 5； D．C 2C 3； 13 7 6 6 7 11 例17．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则( ) A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有A1C2 种 2 98 2B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C1C2 +C2C1 种 2 98 2 98 C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C1C2 C2C1 种 2 98 2 98 D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C3 C3 种 100 98 例18．新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其 中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有_______种不同安排方法．（用数字作答） 例19．某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天. 若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有____________种. 例20．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用 数字作答）. 例21．中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、 狗、猪）形象化代表人的出生年份，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位属相不同的小朋友依次每人选一 个，则三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有________种． 例22．从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作___________个不同的平面，从正方体的8个顶点 中选4个点作一个四面体，可作___________个四面体. 例23．由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数. （1）共可以组成多少个五位数？ （2）其中奇数有多少个？ （3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由. 3专题 9 间接法模型 例1．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地 至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工 作，则不同的分配方法总数为（ ） A．18 B．24 C．30 D．36 【解析】 因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家， 先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和 其余二个看成三个元素的全排列共有：C2A3种； 4 3 又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作， 所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有A3种， 3 所以不同的分配方法种数有：C2A3  A3 36630 4 3 3 故选：C 例2．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和 丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（ ） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 【解析】 第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，有C2 10（种）不同选法， 5 第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6名教师中选4名，有C4 15（种）不同选法， 6 所以不同的选派方案共有(10+15)A4 600（种）. 4 故选B. 例3．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要 求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A．240 B．320 C．180 D．120 【解析】 两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4， 1 C4  又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为C3  8 1A2 180.  8 A2  2 2 故选：C. 例4．某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的 选课方案有（ ） A．96种 B．84种 C．78种 D．16种 【解析】 先确定选的两门:C2 6 ,再确定学生选:42 214 ,所以不同的选课方案有61484,选B. 4 例5．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数 为 A．100 B．110 C．120 D．180 【解析】 试题分析：10人中任选3人的组队方案有C3 120， 10 没有女生的方案有C3 10， 5 所以符合要求的组队方案数为110种 例6．某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能 连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ） A．474种 B．77种 C．462种 D．79种 【解析】 试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下 午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有A3，那么连着上3节课 9 的情况有5A3种，则利用间接法可知所求的方法有A3 -5A3 =474，故答案为A. 3 9 3 例7．从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作，若其中乙和 丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有( ) A．36种 B．12种 C．18种 D．24种 【解析】 利用分类加法原理，对所选的3人中分三种情况： 2乙和丙有2人，对两个人进行排列，第三项工作再从乘下的3人中选1人，即A2C1； 2 3 乙和丙有1人，则有2种情况，这个人可以从两项工作中任取一项有2种情况，则乘下的两项工作由3个 人来排列，即22A2； 3 乙和丙都没有，三项工作就由其他3个人来进行排列，即A3； 3 ∴N  A2C122A2  A3 36. 2 3 3 3 故选：A 例8．某教育局公开招聘了4名数学老师，其中2名是刚毕业的“新教师”，另2名是有了一段教学时间的“老 教师”，现随机分配到A、B两个学校任教，每个学校2名，其中分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老 教师”的概率是（ ） 1 1 1 2 A． B． C． D． 4 3 2 3 【解析】 2 1 分配给学校A两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和为  . C2 3 4 1 2 故分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是1  . 3 3 故选：D 例9．某校教师迎春晚会由6个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第 一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A．112种 B．120种 C．144种 D．180种 【解析】 利用间接法求解，先考虑将丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，共有A2A5 240 2 5 种. 若甲排在第一位和最后一位，且丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，此时，排法 种数为C1A2A4 96. 2 2 4 综上所述，符合条件的排法种数为24096144（种）. 故选：C. 例10．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁 3金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种 A．96 B．120 C．48 D．72 【解析】 使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A3种， 3 然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有A3种， 4 根据分步乘法计数原理有A3A3，扣除郁金香在两边， 3 4 排2盆虞美人、1盆郁金香有2A2种， 2 再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有A3， 3 根据分步计数原理有2A2A3， 2 3 所以共有A3A32A2A3 120种. 3 4 2 3 故选:B. 例11．2019年4月23日中国人民海军建军70周年.为展现人民海军70年来的辉煌历程和取得的巨大成就， 我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演，要求 2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰 艇分配方案的方法种数为（ ） A．1296 B．648 C．324 D．72 【解析】 由题意可得：2艘攻击型核潜艇一前一后，有A2种方法排列， 2 6艘舰艇的任意排列，有A6种方法排列， 6 6艘舰艇每侧3艘且同侧是同种舰艇，有A3A32种方法排列， 3 3 6艘舰艇每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，有A6 A3A32种方法排列， 6 3 3 舰艇分配方案的方法种数有：A2  A6  A3A32  2 72072 1296 2 6 3 3 故选：A 例12．现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和 4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（ ） 4种. A．24 B．36 C．72 D．144 【解析】 根据题意，分2步进行分析： ①，在4个视频中任选2个进行学习，有C2 6种情况， 4 ②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有A4 24种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况 4 有A2A3 12种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种， 2 3 则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有61272种； 故选：C 例13．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取 方式的种数为（ ） A．60 B．75 C．105 D．120 【解析】 试题分析：由题可从反面处理，即从选法中减去全是女生的选法，则可得有； C5 C5 1266120种选法． 9 6 例14．某部门在一周的7天内给3名实习生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这3名 实习生不能安排在连续的3天，则不同的安排方案的种数为（ ）． A．30 B．120 C．180 D．210 【解析】 由题意，将3名实习生随机安排在一周的7天内，共有A3种安排方案， 7 将3名实习生安排在连续的3天的安排方案有5A3种， 3 所以满足题意的不同安排方案有A3 5A3 180（种）． 7 3 故选：C． 例15．我省某医院呼吸科要从2名男医生，3名女医生中选派3人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3 人中至少有1名男医生，则选派方案有（ ） A．60种 B．12种 C．10种 D．9种 【解析】 5根据题意，有2名男医生，3名女医生，共5名医生中选派3人，有C3 10种选法， 5 其中没有男医生，即全部为女医生的选法有C3 1种， 3 则有1019种不同的选法； 故选：D． 例16．有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少 有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N ，则下列等式能成为N 的算式是（ ）. A．C 5 C 1C 4； B．C 2C 3 C 3C 2 C 4C 1C 5； 13 7 6 7 6 7 6 7 6 7 C．C 5 C 1C 4 C 5； D．C 2C 3； 13 7 6 6 7 11 【解析】 解：13名医生，其中女医生6人，男医生7人． 利用直接法，2男3女：C2C3；3男2女：C3C2；4男1女：C4C1；5男：C5，所以N C2C3 C3C2 C4C1C5； 7 6 7 6 7 6 7 7 6 7 6 7 6 7 利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即N C5 C1C4 C5； 13 7 6 6 所以能成为N 的算式是BC． 故选：BC． 例17．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则( ) A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有A1C2 种 2 98 B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C1C2 +C2C1 种 2 98 2 98 C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C1C2 C2C1 种 2 98 2 98 D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C3 C3 种 100 98 【解析】 由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品, 则包括一件不合格品和两件合格品, 共有A1C2 种结果，则选项A正确，B不正确； 2 98 根据题意,"至少有1件不合格品"可分为"有1件不合格品"与"有2件不合格品"两种情况, "有1件不合格品"的抽取方法有C1C2 种, 2 98 6"有2不合格次品"的抽取方法有C2C1 种, 2 98 则共有C1C2 C2C1 种不同的抽取方法,选项C正确； 2 98 2 98 "至少有1件不合格品"的对立事件是"三件都是合格品"， "三件都是合格品"的抽取方法有C3 种, 98 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C3 C3 ，选项D正确； 100 98 故选：ACD. 例18．新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其 中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有_______种不同安排方法．（用数字作答） 【解析】 先考虑没有限制条件下的排法种数，将5人分为三组，三组的人数分别为3、1、1或2、2、1，此时，所  C2C2  有的排法种数为C3  5 3 A3 150.  5 A2  3 2   其次考虑甲、乙两人安排在同一路口时的排法种数，此时有 C1C2 A3 36种排法. 3 3 3 综上所述，共有15036114种. 故答案为：114. 例19．某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天. 若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有____________种. 【解析】 解：根据题意，不同的安排方法的数目为： 所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法， 即C2C2 2C1C2 C1C1 42， 6 4 5 4 4 3 故答案为：42． 例20．从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用 数字作答）. 【解析】 从数字0，1，2，3，4，5，6中任取3个，共有C3 35，乘积为奇数只有1,3,5一种情况 7 故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种. 7故答案为：34 例21．中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、 狗、猪）形象化代表人的出生年份，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位属相不同的小朋友依次每人选一 个，则三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有________种． 【解析】 解：三位小朋友选择的总情况共有A3 1211101320（种）． 12 ①三人都选与自己属相相同的吉祥物，有1种选法； ②三人中有二人选与自己属相相同的吉祥物，选法共有9C2 27（种）； 3 ③三人中有一人选与自己属相相同的吉祥物，选法有C1 1099 273（种）， 3 所以三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有1320 127273 1019（种）． 故答案为：1019 例22．从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作___________个不同的平面，从正方体的8个顶点 中选4个点作一个四面体，可作___________个四面体. 【解析】 正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，共有正方体的6个面和6个对角面，共12个不同平面，故可作 C4 1258个四面体. 8 故答案为：12；58. 例23．由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数. （1）共可以组成多少个五位数？ （2）其中奇数有多少个？ （3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由. 【解析】 （1）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A 5＝120个五位数 5 （2）∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数的奇数， ∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C 1种结果， 3 其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A 4种结果， 4 根据分步计数原理得到共有C 1A 4＝72； 3 4 8（3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A 5＝120种情况，即一共有 5 120个五位数， 再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论： 1、5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A 4＝24个， 4 2、4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A 3＝6个， 3 3、4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A 2＝2个， 2 4、43215，43251，43152，共3个 故不大于43125的五位数有120﹣（24+6+2+3）＝85个， 即43125是第85项． 9