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安徽省 A10 联盟 2024-2025 学年高二（下）3 月阶段考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
𝑓(𝑥 +𝛥𝑥)−𝑓(𝑥 )
1.已知函数𝑓(𝑥)在𝑥 =𝑥 处可导，且lim 0 0 =3，则𝑓′(𝑥 )=( )
0 𝛥𝑥→0 3𝛥𝑥 0
A. −9 B. 9 C. −1 D. 1
2.下列求导运算错误的是( )
A. (2𝑥)′=2𝑥ln2 B. (sin2𝑥)′=2cos2𝑥
1 ln𝑥 1+ln𝑥
C. (√ 𝑥)′= D. ( )′=
2√ 𝑥 𝑥 𝑥2
𝑆
3.设等比数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，且𝑎 +𝑎 恰为𝑎 和𝑎 的等差中项，则 8 =( )
𝑛 𝑛 3 4 5 6 𝑆
4
A. 4 B. 5 C. 16 D. 17
4.“点𝑀(𝑎,𝑏)在圆𝑂:𝑥2+𝑦2 =4外”是“直线𝑎𝑥+𝑏𝑦 =1与圆𝑂相交”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
(𝑛+1)𝜋
5.在数列{𝑎 }中，𝑎 =1，𝑎 −𝑎 =cos ，记𝑆 为数列{𝑎 }的前𝑛项和，则𝑆 =( )
𝑛 1 𝑛+1 𝑛 2 𝑛 𝑛 10
A. 5 B. 6 C. 9 D. 10
6.已知[−3,5]上的可导函数𝑓(𝑥)的图象如图所示，则不等式(𝑥−2)𝑓′(𝑥)>0的解集为( )
A. (−3,−1)∪(4,5) B. (1,2)∪(4,5) C. (1,2)∪(3,5) D. (−1,1)∪(2,3)
7.记等差数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，公差为𝑑，若𝑎 +𝑎 >0，𝑆 <0，则下列结论错误的是( )
𝑛 𝑛 3 12 15
𝑎
A. 𝑎 >0 B. 𝑎 +𝑎 <0 C. 𝑑 <0 D. 1 ∈(−8,−7)
6 6 10 𝑑
8.若函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥，且𝑓(𝑎𝑥)≤𝑒𝑥，则实数𝑎的取值范围是( )
1
A. (1,𝑒) B. (0, ] C. (0,𝑒] D. (0,1]
𝑒
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2(𝑥+2)，则( )
第1页，共7页A. 𝑓(𝑥)有3个零点 B. 𝑓(𝑥)的极大值为4
C. 当𝑥 >1时，𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥2) D. 𝑓(𝑥)的图象关于点(0,2)中心对称
10.已知数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，下列说法正确的是( )
𝑛 𝑛
A. 若𝑏2 =𝑎𝑐，则𝑎，𝑏，𝑐成等比数列
B. 若{𝑎 }为等差数列，则{
𝑆𝑛}为等差数列
𝑛 𝑛
C. 若{𝑎 }为等比数列，则{lg𝑎 }为等差数列
𝑛 𝑛
D. 若𝑎 =1，𝑎 =2，3𝑎 =𝑎 +2𝑎 (𝑛∈𝑁∗)，则{𝑎 −𝑎 }为等比数列
1 2 𝑛+1 𝑛 𝑛+2 𝑛+1 𝑛
11.已知𝑂为坐标原点，抛物线𝐸:𝑦2 =4𝑥的焦点为𝐹，抛物线𝐸的准线为𝑙，点𝑃在抛物线𝐸上，直线𝐴𝐵过点
𝑀(4,0)且与𝐸交于𝐴，𝐵两点，则( )
A. 若点𝑇的坐标为(2,2)，则|𝑃𝑇|+|𝑃𝐹|的最小值为3
B. 以线段𝐴𝐵为直径的圆与直线𝑙相离
C. 点𝑃到直线𝑥−𝑦+2=0的最小距离为√ 2
D. △𝐴𝑂𝐵可能为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
𝜋
12.已知𝑓(𝑥)=sin𝑥+𝑓′(0)cos𝑥，则𝑓( )= ．
4
13.已知各项均不为零的数列{𝑎 }，其前𝑛项和是𝑆 ，且𝑆 =𝑎 𝑎 (𝑛=1,2,⋯).若{𝑎 }为递增数列，𝑎 =𝑎，
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛+1 𝑛 1
则𝑎的取值范围是 ．
2
14.过点𝑃(1,1)作曲线𝐶:𝑦 = 的两条切线，切点分别为𝐴，𝐵，则直线𝐴𝐵的方程为 ．
𝑥
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−(2𝑎+1)𝑥+𝑎ln𝑥，𝑎 ∈𝑅
(1)当𝑎 =−1时，求𝑓(𝑥)的最小值;
(2)若𝑎 >0，试讨论𝑓(𝑥)的单调性．
16.(本小题12分)
已知函数𝑓(𝑥)=sin𝑥(sin𝑥+cos𝑥)．
(1)求函数𝑓(𝑥)的单调递增区间;
(2)如果函数𝑓(𝑥)的导数为𝑓′(𝑥)，且𝑓′(𝑥)在(0,+∞)上的零点从小到大排列后构成数列{𝑎 }，求{𝑎 }的前20项
𝑛 𝑛
和．
第2页，共7页17.(本小题12分)
如图，在正四棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑆𝐴=√ 2𝐴𝐵 =2，𝑃为侧棱𝑆𝐷的中点．
(1)求证：𝐴𝐶 ⊥𝑆𝐷;
(2)求点𝐵到平面𝑃𝐴𝐶的距离;
(3)求平面𝑆𝐵𝐶与平面𝑃𝐴𝐶夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
𝑥+1
已知函数𝑓(𝑥)= ．
𝑒𝑥
(1)若方程𝑓(𝑥)=𝑚有两个不同的实数根，求实数𝑚的取值范围;
(2)是否存在过原点的曲线𝑦 =𝑓(𝑥)的切线?若存在，求出切线方程;若不存在，说明理由;
(3)求证：当𝑎 ≥1时，𝑓(𝑥)≥1−𝑎𝑥2对∀𝑥 ∈(−1,+∞)恒成立．
19.(本小题12分)
已知数列{𝑎 }满足𝑎 =2，𝑎 =4，𝑎 =4(𝑎 −𝑎 ).
𝑛 1 2 𝑛+2 𝑛+1 𝑛
(1)求数列{𝑎 }的通项公式;
𝑛
2𝑛−1
(2)令𝑏 = ，求数列{𝑏 }的前𝑛项和𝑇 ;
𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑛
1
(3)令𝑐 = ，记数列{𝑐 }的前2𝑛项和中所有奇数项的和为𝑆 ，求证：𝑆 0，𝑓′(𝑥)=2𝑥+1− = ，
𝑥 𝑥
1 1
令𝑓′(𝑥)>0，解得𝑥 > ;令𝑓′(𝑥)<0，解得0<𝑥 < ，
2 2
1 1
所以𝑓(𝑥)在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增，
2 2
1 3
所以𝑓(𝑥) =𝑓( )= +ln2.
min 2 4
(2𝑥−1)(𝑥−𝑎)
(2)由题意得，𝑥 >0，𝑓′(𝑥)= ．
𝑥
1 1 1
当0<𝑎 < 时，令𝑓′(𝑥)>0，解得𝑥 <𝑎或𝑥 > ;令𝑓′(𝑥)<0，解得𝑎 <𝑥 < ，
2 2 2
1 1
所以函数𝑓(𝑥)在(0,𝑎)和( ,+∞)上单调递增，在(𝑎, )上单调递减;
2 2
1
当𝑎 = 时，𝑓′(𝑥)≥0恒成立，所以函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增;
2
1 1 1
当𝑎 > 时，令𝑓′(𝑥)>0，解得𝑥 < 或𝑥 >𝑎;令𝑓′(𝑥)<0，解得 <𝑥 <𝑎，
2 2 2
1 1
所以函数𝑓(𝑥)在(0, )和(𝑎,+∞)上单调递增，在( ,𝑎)上单调递减．
2 2
第4页，共7页16.【答案】解：(1)𝑓(𝑥)=sin𝑥(sin𝑥+cos𝑥)=sin2𝑥+sin𝑥cos𝑥
1−cos2𝑥 1 √ 2 𝜋 1
= + sin2𝑥 = sin(2𝑥− )+ ，
2 2 2 4 2
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 3𝜋
令− +2𝑘𝜋≤2𝑥− ≤ +2𝑘𝜋(𝑘 ∈𝑍)，解得− +𝑘𝜋 ≤𝑥 ≤ +𝑘𝜋(𝑘 ∈𝑍)，
2 4 2 8 8
𝜋 3𝜋
因此函数𝑓(𝑥)的单调递增区间是[− +𝑘𝜋, +𝑘𝜋](𝑘 ∈𝑍)；
8 8
𝜋
(2)由题意得，𝑓′(𝑥)=√ 2cos(2𝑥− )，
4
𝜋 𝜋 3𝜋 𝑘𝜋
令2𝑥− = +𝑘𝜋(𝑘 ∈𝑍)，解得𝑥 = + (𝑘 ∈𝑍)，
4 2 8 2
3𝜋 𝜋
所以数列{𝑎 }是以 为首项， 为公差的等差数列，
𝑛 8 2
3𝜋 20×19 𝜋 205𝜋
所以𝑎 +𝑎 +⋯+𝑎 +𝑎 = ×20+ × = ．
1 2 19 20 8 2 2 2
17.【答案】解：(1)连接𝐵𝐷，交𝐴𝐶于点𝑂，连接𝑆𝑂，
由正四棱锥的性质，得𝐴𝐶 ⊥𝐵𝐷，𝑆𝑂 ⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐶 ⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，
所以𝑆𝑂 ⊥𝐴𝐶.又𝑆𝑂∩𝐵𝐷 =𝑂，𝑆𝑂，𝐵𝐷 ⊂平面𝑆𝐵𝐷，所以𝐴𝐶 ⊥平面𝑆𝐵𝐷．
因为𝑆𝐷 ⊂平面𝑆𝐵𝐷，所以𝐴𝐶 ⊥𝑆𝐷．
(2)以点𝑂为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则𝐴(0,−1,0)，𝐵(1,0,0)，𝐶(0,1,0)，𝐷(−1,0,0)，𝑆(0,0,√ 3)，𝑃(− 1 ,0, √ 3 )，
2 2
所以𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(1,1,0)，𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =(0,2,0)，𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ =(− 1 ,1, √ 3 ).
2 2
2𝑦=0
𝑛⃗⃗ ⋅𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =0
设平面𝑃𝐴𝐶的法向量为𝑛⃗ =(𝑥,𝑦,𝑧)，则{ ，即{
1 √ 3
，
𝑛⃗⃗ ⋅𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ =0 − 𝑥+𝑦+ 𝑧 =0
2 2
令𝑥 =√ 3，得平面𝑃𝐴𝐶的一个法向量为𝑛⃗⃗ =(√ 3,0,1)，
所以点𝐵到平面𝑃𝐴𝐶的距离𝑑 = |𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗ ⋅𝑛⃗⃗ | = √ 3 ．
|𝑛⃗⃗ | 2
(3)由(2)得，𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =(−1,1,0)，𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝑆 =(−1,0,√ 3)，
𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =0 −𝑎+𝑏 =0
设平面𝑆𝐵𝐶的法向量为𝑚⃗⃗ =(𝑎,𝑏,𝑐)，则{ ，即{ ，
𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝑆 =0 −𝑎+√ 3𝑐 =0
令𝑐 =1，得平面𝑆𝐵𝐶的一个法向量为𝑚⃗⃗⃗ =(√ 3,√ 3,1)．
𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗⃗ 4 2√ 7
所以cos<𝑚⃗⃗ ，𝑛⃗⃗ >= = = ，
|𝑚⃗⃗⃗ ||𝑛⃗⃗ | √ 7×2 7
第5页，共7页即平面𝑆𝐵𝐶与平面𝑃𝐴𝐶夹角的余弦值为2√ 7．
7
𝑥
18.【答案】解：(1)由题意得，𝑓′(𝑥)=− ，则当𝑥 <0时，𝑓′(𝑥)>0;当𝑥 >0时，𝑓′(𝑥)<0，
𝑒𝑥
所以𝑓(𝑥)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，故𝑓(𝑥) =𝑓(0)=1．
max
因为当𝑥 <−1时，𝑓(𝑥)<0;当𝑥 >−1时，𝑓(𝑥)>0，所以当方程𝑓(𝑥)=𝑚有两个不同的实数根时，𝑚的取
值范围为(0,1)
(2)不存在，
𝑥 +1 𝑥
理由：假设曲线𝑦=𝑓(𝑥)存在过原点的切线，设切点坐标为(𝑥 , 0 )，则该切线斜率为𝑓′(𝑥 )=− 0，即
0 𝑒𝑥0 0 𝑒𝑥0
𝑥 +1 𝑥
该切线方程为𝑦− 0 =− 0 (𝑥−𝑥 )，
𝑒𝑥0 𝑒𝑥0 0
𝑥 +1 𝑥
若切线经过原点，则0− 0 =− 0 (0−𝑥 )，整理得𝑥2+𝑥 +1=0，该方程无解，故过原点不存在曲线
𝑒𝑥0 𝑒𝑥0 0 0 0
𝑦 =𝑓(𝑥)的切线．
𝑥+1 𝑥 1
(3)设𝑔(𝑥)= +𝑎𝑥2−1，则𝑔′(𝑥)=− +2𝑎𝑥 =𝑥(2𝑎− )).令𝑔′(𝑥)=0，得𝑥 =0或𝑥 =−ln(2𝑎)．
𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥
若𝑎 ≥1，则−ln(2𝑎)<0，当𝑥 <−ln(2𝑎)或𝑥 >0时，𝑔′(𝑥)>0，当−ln(2𝑎)<𝑥 <0时，𝑔′(𝑥)<0，所以𝑔(𝑥)
在(−∞,−ln(2𝑎))和(0,+∞)上单调递增，在(−ln(2𝑎),0)上单调递减，因为𝑔(0)=0，所以𝑔(𝑥)≥0在[0,+∞)
上成立．
若𝑎 ≥1，则𝑔(−1)=𝑎−1≥0.
𝑒
当1≤𝑎 < ，−ln(2𝑎)>−1，则𝑔(𝑥)在(−1,−ln(2𝑎))上单调递增，在(−ln(2𝑎),0)上单调递减，此时𝑔(𝑥)>0
2
在(−1,0)上成立．
𝑒
当𝑎 ≥ ，−ln(2𝑎)≤−1，则𝑔(𝑥)在(−1,0)上单调递减，此时𝑔(𝑥)>0在(−1,0)上成立．
2
综上，当𝑎 ≥1时，𝑓(𝑥)≥1−𝑎𝑥2对∀𝑥 ∈(−1,+∞)恒成立．
第6页，共7页19.【答案】解：(1)因为𝑎 =4(𝑎 −𝑎 )，所以𝑎 −2𝑎 =2(𝑎 −2𝑎 )，
𝑛+2 𝑛+1 𝑛 𝑛+2 𝑛+1 𝑛+1 𝑛
因为𝑎 −2𝑎 =0，所以𝑎 −2𝑎 =𝑎 −2𝑎 =⋯=𝑎 −2𝑎 =0，即𝑎 =2𝑎 ．
2 1 𝑛+2 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 2 1 𝑛+1 𝑛
因为𝑎 =2≠0，所以数列{𝑎 }是以2为首项以2为公比的等比数列．
1 𝑛
所以𝑎 =2×2𝑛−1 =2𝑛．
𝑛
2𝑛−1 1
(2)由(1)得，𝑏 = =(2𝑛−1)⋅( )𝑛，
𝑛 2𝑛 2
1 1 1 1
则𝑇 =1× +3×( )2+5×( )3+⋯+(2𝑛−1)⋅( )𝑛，
𝑛 2 2 2 2
1 1 1 1 1
𝑇 =1×( )2+3×( )3+5×( )4+⋯+(2𝑛−1)⋅( )𝑛+1，
2 𝑛 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
相减得 𝑇 =1× +2×( )2+2×( )3+⋯2⋅( )𝑛−(2𝑛−1)⋅( )𝑛+1
2 𝑛 2 2 2 2 2
1 1 𝑛
1 2× ×[−( ) ] 1 3 1 1
=− + 2 2 −(2𝑛−1)⋅( )𝑛+1 = −( )𝑛−1−(2𝑛−1)( )𝑛+1，
2 1− 1 2 2 2 2
2
1 1 1
所以𝑇 =3−( )𝑛−2−(2𝑛−1)⋅( )𝑛 =3−(2𝑛+3)⋅( )𝑛．
𝑛 2 2 2
1 1 1 1
(3)由题意得，𝑐 = = = − ，
𝑛 log
2
𝑎𝑛⋅log
2
𝑎
𝑛+1
𝑛(𝑛+1) 𝑛 𝑛+1
1 1 1 1 1
则𝑐 =1− ，𝑐 = − ，⋯，𝑐 = − ，
1 2 3 3 4 2𝑛−1 2𝑛−1 2𝑛
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则𝑆 =1− + − +⋯+ − =1+ + + +⋯+ + −2( + + +⋯+ )=1+ +
𝑛 2 3 4 2𝑛−1 2𝑛 2 3 4 2𝑛−1 2𝑛 2 4 6 2𝑛 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ +⋯+ + −(1+ + +⋯+ )= + +⋯+ + ．
3 4 2𝑛−1 2𝑛 2 3 𝑛 𝑛+1 𝑛+2 2𝑛−1 2𝑛
1 1−𝑥
构造函数𝑓(𝑥)=1− −ln𝑥，𝑥 >1，则𝑓′(𝑥)= <0，
𝑥 𝑥2
∴𝑓(𝑥)在(1,+∞)上单调递减，∴𝑓(𝑥)<𝑓(1)=0，
1 1
∴当𝑥 >1时，1− −ln𝑥 <0，即1−
