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通州区 2024—2025 学年第一学期高三年级期中质量检测
数学试卷
2024年11月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.
【详解】因为 ，又 ，
所以 ，
故选：D.
2. 设复数 ，则复数 在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的四则运算和复数对应点的特征求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，
故复数 在复平面内对应的点的坐标是 ，故C正确.
故选：C
3. 下列函数中，在 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】选项A和D，对函数求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可判断选项A和D的正误，选项
B和C，根据常见函数的单调性即可求解.
【详解】对于选项A，由 ，得 恒成立，则 在 上
单调递增，所以选项A正确，
对于选项B，因为 在 上单调递减，所以选项B错误，
对于选项C，因为 在 上单调递减，所以选项C错误，
对于选项D，由 ，得到 ，当 时， ，
当 时， ，
所以 在 单调递减，在 上单调递增，故选项D错误，
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司4. 已知角 终边经过点 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，以及 ，求得 ，再求 即可.
【详解】根据三角函数定义可得： ，故可得 ，
则 .
故选：A.
5. 设 ， 为非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】 ， 为非零向量，“ ”平方后展开，进而判断出结论.
【详解】 ， 为非零向量，“ ”展开为：
∴“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题.
6. 在 中， ， ， ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形的性质得到 ，由正弦的和角公式得 ，再利用正弦定理，即可
求解.
【详解】因为 ， ，得到 ，
又 ， ，
由正弦定理得 ，所以 ，
故选：D.
7. 沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有 的细沙，细沙从中间小
孔由上方慢慢漏下，经过 时剩余的细沙量为 ，且 （b为常数），经过 时，上方
还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的 ，需经过的时间为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】依题意有 ，解得 ， ，由此能得出结果．
【详解】依题意有 ，即 ，
两边取对数得 ，所以 ，得到 ，
当容器中只有开始时 的时，则有 ，所以 ，
两边取对数得 ，所以 ，
故选：C．
8. 设函数 ，已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 根 据 条 件 ， 利 用 的 性 质 ， 得 到 和
，从而得到 ，即可求解.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，得到 ①
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学科网（北京）股份有限公司又 ，则 ，得到 ②，
由①②得到， ，即 ，又 ，所以 的最小值为 ，
故选：B.
9. 设集合 ，则（ ）
A. 对任意实数a， B. 对任意实数a，
C. 当且仅当 时， D. 当且仅当 时，
【答案】C
【解析】
【分析】利用 的取值，反例判断是否成立即可．
【详解】对A，若 ，则 ，
将 代入不全部满足，此时可知 ，故A错误；
对B，当 时，则 ，
将 代入全部满足，此时可知 ，故B错误；
对C，若 ， ，解之可得 ，所以C正确；
对D，当 ，则 ，将 代入不全满足，
所以 ，故D错误.
故选：C
10. 已知 是 的重心，过点 作一条直线与边 ， 分别交于点 ， （点 ， 与所在边
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学科网（北京）股份有限公司的端点均不重合），设 ， ，则 的最小值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量的基本定理得到 的等式，再用基本不等式求得最小值.
【详解】如图：
取 中点 ，则 ， ，
，
∵ 三点共线，∴ ，即 ，
∴ ，
当且仅当 时，取等号；
故选：B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数 的定义域是___________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，则 且 ，
故 的定义域是 .
故答案为： .
12. 已知向量 在正方形网格中 的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为 ，则
________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，得到 ，且 ，再利用数积的定义及运算律，即可求解.
【详解】由图知， ，且 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
13. 已知等差数列 的首项为 ，设其前 项和为 ，且 ，则过点 和 ，且
满足 的直线的斜率是________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用等差数列的性质求解通项公式，再结合斜率公式求解即可.
【详解】设公差为 ，因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ，
故直线斜率为 .
故答案为：2
14. 设函数
①若 ，则函数 的零点个数有________个.
②若函数 有最小值，则实数a的取值范围是________.
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】①，由 来求得零点的个数.
②，对 进行分类讨论，结合二次函数的性质求得 的取值范围.
【详解】①，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司由 解得 ；
由 ，解得 或 .
综上所述， 的零点个数有 个.
②，当 时， 在区间 上单调递增，
值域为 ，无最值.
当 时， ，
开口向上，对称轴为 ， ，
当 时， ，
则 ， ①，
的开口向上，对称轴为 ，
，则①不成立.
当 时， ，
则 ，解得 .
综上所述， .
故答案为： ；
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知无穷数列 满足 ， ，给出下列四个结论：
① ， ；
②数列 为单调递减数列；
③ ，使得 ；
④ ，均有 .
其中正确结论的序号是________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据 以及 即可得 ，进而得 ，即可判断①②③，
利用 ，利用累加法求和即可判断④.
【详解】由 ， ，
进而可得 ，结合 ，以此类推可得 ，
故 ，故 ，故①②正确，③错误，
由 可得 ，故
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学科网（北京）股份有限公司由于 ，故 ，进而可得 ， 故
，
因此 ，
累加 ，故 ，
当 时， ，故 ，故④正确，
故答案为：①②④
【点睛】关键点点睛： ，利用累加法求和.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知函数 ， .
（1）求 的最小正周期及 的值；
（2）直线 与函数 ， 的图象分别交于 两点，求 的最大值.
【答案】（1）最小正周期为 ，
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简三角函数，求解最小正周期和函数值即可.
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学科网（北京）股份有限公司（2）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ， 的最小正周期为 .
【小问2详解】
由题意可知， 两点的坐标为 ， ，
则 ，即 ，
故
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以|MN|在 时的最大值为 .
17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， .
（1）求 及 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一，求
的面积.
条件①： ；
条件②： ；
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学科网（北京）股份有限公司条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解
答计分.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和边长即可.
（2）首先证明条件①不符合题意，选择条件②和条件③时利用余弦定理结合给定条件求解面积即可.
【小问1详解】
由 和余弦定理可得 .
因为 为 的内角，所以 ，故 ，
由 变形得 ，由正弦定理得 .
【小问2详解】
选择条件①： ，
由正弦定理得 ，解得 ，
因为 为 的内角，所以 ，故 ，
与 相互矛盾，故不存在这样的三角形，
所以我们不选择条件①，
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学科网（北京）股份有限公司选择条件②： ，
因为 ， ，所以 ，
解得 ，由余弦定理得 ，
化简得 ，解得 或 （舍），
所以 .
选择条件③： ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，化简得 .
解得 或 ，当 时， 是直角三角形，与题干不符，故排除，
所以 .
18. 已知 为数列 的前 项和，满足 ， ．数列 是等差数列，且 ，
．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 求数列 的前 项和．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）先由数列 的前 项和 和通项 的关系式求出相邻项之间的关系，
判断出数列 的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解；
（2）利用分组求和法及公式法进行求和即可．
【小问1详解】
解：因为 ， ，①
所以有 ， ．②
② ①得 ．
所以数列 成以 为首项，以 为公比的等比数列．
所以 ．
又数列 是等差数列，且 ， ．
所以 ， ．
所以 ．
【小问2详解】
因为
设数列 的前 项和为 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司．
19. 设函数 ，若函数 在 处取得极小值8.
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值，以及相应x的值；
（3）证明：曲线 是中心对称图形.
【答案】（1） ， .
（2） ，最小值为8， ，最大值为24.
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据极值点及极值可求 的值；
（2）根据导数可得单调性，从而可求何时取何最值；
（3）可证曲线上任意点关于 的对称的点仍在曲线上，从而可得曲线的对称性.
【小问1详解】
，
由题意函数 在 处取得极小值8得，
解得 ， .
此时 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 或 时，f′(x)>0，当 时，f′(x)<0，
故 为 的极小值点，故 ， 满足条件.
【小问2详解】
由（1）分析列表得：
x 0 (0,2) 2 (2,3) 3
- 0 +
24 单调递减 8 单调递增 15
所以当 时 取得最小值为8， 时 取得最大值为24.
【小问3详解】
曲线 的对称中心为 ，证明如下：
设点 为曲线 上任意一点，则点 关于(0，24)的对称点为 ，
因为 在 图象上，
所以 .
又 .
所以点 也在 的图象上.
所以曲线 是中心对称图形.
20. 已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）证明：当 ，曲线 的切线不经过点 ；
（3）当 时，若曲线 与直线 在区间 上有两个不同的交点，求实数a的取值范
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学科网（北京）股份有限公司围.
【答案】（1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数研究单调性即可；
（2）将 ，利用导数求出切线方程，利用反证法证明即可；
（3）将问题转化为 在区间 上有两个不同的解，即 在区间 上有两个
不同的解，设 ，利用导数求解即可.
【小问1详解】
当 时， ， 的定义域为 .
，
令 ，解得 .
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
【小问2详解】
当 时， ， .
设曲线 的切点为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则切线方程为 ，
假设切线过原点，则有 ，
整理得： .
令 ，则 .
所以当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以对任意 ， ，
所以方程 无解.
综上可知，曲线 在点的 切线不过原点.
【小问3详解】
曲线 与直线 在区间 上有两个不同的交点，
等价于 在区间 上有两个不同的解，
即 ， 在区间 上有两个不同的解，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
当 ， ，所以 单调递增；
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学科网（北京）股份有限公司当 ， ，所以 单调递减；
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
要使 在区间 上有两个不同的解，
只需使 即可.
所以实数a的取值范围是 .
21. 已知数列 的通项公式为 （ 表示不超过实数x的最大整数），数列 的通项公式为
.
（1）写出数列 的前6项；
（2）试判断 与 是否为数列 中的项，并说明理由；
（3）证明：数列 与数列 的公共项有无数多个.
【答案】（1） ， ， ， ， ， .
（2） 是数列 中的项， 不是数列 中的项，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据数列 的通项公式求得正确答案.
（2）根据数列 、 的通项公式以及单调性进行判断.
（3）首先假设存在有限个正整数 使得数列中的某些项满足条件，然后通过反正法证明了这一假设不成
立，因此得出数列与的公共项有无数多个.
【小问1详解】
依题意，数列 的通项公式为 ，
所以 ， ， ， ， ， .
【小问2详解】
是数列 中的项， 不是数列 中的项.
；
下面证明 不是数列 中的项
因为 ，
所以数列 不单调递减，
， ，
所以 不是数列 中的项.
【小问3详解】
先证明存在无穷多个正整数k使得 ，（其中 表示x的小数部分）
假设只有有限个正整数k使得 ，
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学科网（北京）股份有限公司不妨设 是使 成立的最大正整数，
则有
即 ①.
因为 是正的常数，故当m足够大时，有 ，与①矛盾.
所以存在无穷多个正整数k使得 .
对于每个满足 的正整数k，令 ，
则有
所以有 .
即 .
从而 .
所以数列 与数列 的公共项有无数多个.
【点睛】思路点睛：通过通项公式计算数列项值：利用通项公式直接代入求解数列的前几项，从而得到数
列的具体表现形式，这一步奠定了解题的基础.
分类讨论和特性判断：对于判断某数是否为数列的项，先利用数列的性质进行分类讨论，再结合特性得出
结论.
利用反正法进行推理：通过假设公共项数量有限，最终推导出与题意矛盾，从而得出公共项无穷多个的结
论,这是一种巧妙的逻辑推理方式.
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学科网（北京）股份有限公司
