文档内容
2024 届高三年级 TOP 二十名校冲刺一
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
4．本卷命题范围：高考范围．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若复数 满足 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
2. 已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
3. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数 与直线 相切于点 ，则点 的横坐标为（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
5. 设 ，则（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
6. 在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7. 如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数关系式是
，其中 ，振幅为2，则前3秒该质点走过
的路程为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点 在水平面 内，从 出发的三条两两垂直的线段 位于 的同侧，若 到
的距离分别为 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病 真否有关，调查了400人，得到如图所示的 列联表，其中
，则（ ）
患疾病 不患疾病 合计
过量饮酒
不过量饮酒
合计 400
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学科网（北京）股份有限公司参考公式与临界值表：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
A. 任意一人不患疾病 的概率为0.9
B. 任意一人不过量饮酒的概率为
C. 任意一人在不过量饮酒 的条件下不患疾病 的概率为
D. 依据小概率值 的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病 有关
10. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，将 上所有点的横坐标与纵坐标分
别伸长到原来的 倍得到椭圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 的离心率分别为 ，则
C. 若 的周长分别为 ，则
D. 若 的四个顶点构成的四边形面积为 ，则 的离心率为
11. 将圆柱 的下底面圆 置于球 的一个水平截面内，恰好使得 与水平截面圆的圆心重合，圆柱
的上底面圆 的圆周始终与球 的内壁相接（球心 在圆柱 内部）．已知球 的半径为3，
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学科网（北京）股份有限公司．若 为上底面圆 的圆周上任意一点，设 与圆柱 的下底面所成的角为 ，圆柱
的体积为 ，则（ ）
A. 可以取到 中的任意一个值
B.
C. 的值可以是任意小的正数
.
D
三､填空题：本题共3小题；每小题5分，共15分．
12. 若 ，则 的值为__________．
13. 如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上､下底的面积分别为 和 ，高为 .
现在搜集到的雨水平面与上､下底面的距离相等，则该地的降雨量为______ .（降雨量等于集雨器中积
水体积除以集雨器口的面积）
14. 若点 在抛物线 上运动，点 在圆 上运动， ，则 的最小
值为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．
15. 在直四棱柱 中，底面为矩形， ， 分别为底面的中
心和 的中点，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 所成角 的余弦值．
16. 某公司拟从水平相当的普通程序员中篮选出若干高级程序员，方法如下：首轮每位普通程序员被要求
设计难度相同的甲､乙､丙､丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为 ，其中四种设计
全部合格直接晋升为高级程序员；至少有两种（包括两种）“不合格”的直接被淘汰，否则被要求进行二轮
设计：在 三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，且抽取的两种设计都合格方可晋升为高
级程序员．已知每位普通程序员设计 合格的概率分别为 ，同一普通程序员不同的设计相互
不影响．
（1）已知 设计合格的得分分别为 ，不合格得0分，若二轮设计中随机抽取到 的得
分为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率．
17. 在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ，以 为圆心作一个半径为4的圆，
点 是圆上一动点，线段 的重直平分线与直线 相交于点 ．
（1）求 的轨迹 的方程；
（2）已知 ，点 是轨迹 在第一象限内的一点， 为 的中点，若直线 的斜率为 ，
求点 的坐标．
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： .
19. 在等差数列 中，已知 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 是否为等比数列？若是求其前 项和，若不是，请说明理由；
（3）设 ，且 ，求 所有取值．
的
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