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汕头市潮阳实验学校 学年度第⼀学期第⼆次⽉考考试
2025~2026
⾼⼆数学试卷
⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A [2，4] B. C. D.
2. 已知复数 满⾜ ，则复数 在复平⾯内对应的点位于（ ）
A. 第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知向量 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A. B.2 C. D.8
4. 已知等差数列 的公差为1， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 若 ，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知过球⾯上 三点的截⾯和球⼼的距离等于球半径的⼀半，且 ，则球⾯积是
A. B. C. D.
8. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是⽤陶⼟烧制的，⼀种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，
已知半椭圆 （ 且为常数）和半圆 组成的曲线C如图2所
示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意⼀点，当点M的坐标为
时， 的⾯积最⼤，则半椭圆的⽅程是（ ）
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A B.
C. D.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知⼀组数据8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的（ ）
A. 众数 12 B. 平均数为14 C. 中位数为14.5 D. 第25百分位数为12
10. 如图，在正三棱柱 中， 为棱 的中点， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 直线 与⾯ 所成⻆为
C. 线段 D. 直线 ⾯
11. 双曲线的光学性质：从双曲线的⼀个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延⻓线经过双
曲线的另⼀个焦点.已知双曲线 ： 的离⼼率为 ，左、右焦点分别为 ， .点
在 上，点 ，点 在直线AB上，则下列说法正确的是（ ）
附：双曲线 （ ， ）在其上⼀点 处的切线⽅程为 .
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A.
B.
C. 作 于点 ，则 （ 为坐标原点）
D. 若 延⻓线交 于点 ，则 的内⼼在定直线上
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知抛物线 的准线 与双曲线 相切，则双曲线 的离⼼率 ________．
13. 已知圆⼼为 ，直线 与圆 相切于点 ，则圆 的半径⻓为_____．
14. 在斜 中， 为锐⻆，且满⾜ ，则 的最⼩值为
______.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 袋⼦中有5个⼤⼩质地完全相同的球，其中2个红球，3个⻩球．
（1）若这5个球分别标有数字 ， ， ， ， ，现从袋中每次任取⼀个球，每次取出后不放回，连续取
两次，求两个⼩球所标数字之和为3的倍数的概率；
（2）若从中摸出⼀个球，观察颜⾊后放回，再摸出⼀个球，求两球颜⾊恰好不同的概率．
16. 如图1，在直⻆梯形 中， ， ，且 ，现以 为⼀边向
梯形外作正⽅形 ，然后沿边 将正⽅形 折叠，使 ， 为 中点，如图2.
（1）求证： 平⾯ ；
（2）求证：平⾯ 平⾯ ；
（3）求点 到平⾯ 的距离.
17. 的内⻆ ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）若 ， ，求 的⾯积；
（2）若⻆ 为钝⻆，求 的取值范围.
18. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调增区间（写出结论即可）；
（2）在（1）的条件下，当 时， 恒成⽴，求实数 的取值范围．
（3）当 ，求函数 在 上的最⼩值 ．
19. 如图，已知椭圆的标准⽅程为 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点，点 为椭圆上⼀动点，
且在 轴上⽅，延⻓ ， 分别交椭圆于点 ， .
（1）证明： 的周⻓⼤于 ；
（2）若 ，求直线BC的⽅程；
（3）设 ，⽤ 表示 的⾯积.
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司汕头市潮阳实验学校 学年度第⼀学期第⼆次⽉考考试
2025~2026
⾼⼆数学试卷
⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A.[2，4] B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集的定义计算即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C.
2. 已知复数 满⾜ ，则复数 在复平⾯内对应的点位于（ ）
A. 第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利⽤复数的除法运算求出 可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
则复数 在复平⾯内对应的点为 ，
复数 在复平⾯内对应的点位于第⼆象限.
故选：B.
3. 已知向量 ， ，且 ，则 值为（ ）
A. B.2 C. D.8
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示运算求解即可.
【详解】因为向量 ， ，且 ，
第1⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司则 ，解得 ，
所以 的值为 .
故选：A.
4. 已知等差数列 的公差为1， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知关系，应⽤等差数列的通项公式求基本量，再写出通项公式.
【详解】若数列公差为 ，因为 ，所以 ，
⼜ ，解得 ，所以 .
故选：C
5. 若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利⽤指数函数单调性即可⽐较得出三个数的⼤⼩.
【详解】由函数 在 上为单调递增函数，可知 ，即 ；
⼜函数 在 上为单调递减函数，可知 ，即 ;
所以可得 .
故选：D
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】代⼊⼆倍⻆公式，以及诱导公式，即可求解.
第2⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】由条件可知， ，
⽽ .
故选：C
7. 已知过球⾯上 三点的截⾯和球⼼的距离等于球半径的⼀半，且 ，则球⾯积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵ D是正△ABC的中⼼，∴ AD是△ABC的外接圆半径.
∵ AD＝ ，
⼜OD＝ ＝ OA，OA ＝OD ＋AD ，∴ R ＝ ，
∴ R ＝ ，∴ 球的表⾯积S＝4πR ＝ .
故选C
8. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是⽤陶⼟烧制的，⼀种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，
已知半椭圆 （ 且为常数）和半圆 组成的曲线C如图2所
示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意⼀点，当点M的坐标为
时， 的⾯积最⼤，则半椭圆的⽅程是（ ）
A. B.
第3⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由点 在半圆上，可求 ，再根据已知 的⾯积最⼤的条件可知， ，
即 ，代⼊可求 ，进⽽可求椭圆⽅程
【详解】由点 在半圆上，所以 ，
由椭圆可知图中 ，
要使 的⾯积最⼤，可平⾏移动AG，当AG与半圆相切于 时，
M到直线AG的距离最⼤， 此时 ，即 ，
⼜
，
所以半椭圆的⽅程为
故选：D.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
第4⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司9. 已知⼀组数据8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的（ ）
A. 众数为12 B. 平均数为14 C. 中位数为14.5 D. 第25百分位数为12
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据众数、平均数、中位数、百分位数的定义和计算公式⼀⼀计算即可.
【详解】对A，由题意可知，16出现的次数最多，则众数应为16，故A错误；
对B，平均数为 ，故B正确；
对C，中间两个数为13和16，则中位数为: ，故C正确；
对D， ，所以第25百分位数是从⼩到⼤排列后第三个数字，即为12，故D正确.
故选：BCD.
10. 如图，在正三棱柱 中， 为棱 的中点， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 直线 与⾯ 所成⻆为
C 线段 D. 直线 ⾯
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利⽤线⾯垂直的判定定理与性质定理即可得证；对于B，利⽤线⾯⻆的定义即可得解；对
于C，正 中求解即可；对于D，利⽤线⾯平⾏的判定理证得即可.
【详解】对于A，因为在正三棱柱 中， ⾯ ，⽽ ⾯ ，所以
，
因为底⾯ 是正三⻆形， 为棱 的中点，所以 ，
⼜ ⾯ ，所以 ⾯ ，
因为 ⾯ ，所以 ，故A正确；
对于B，因为在正三棱柱 中， ⾯ ，所以 为直线 与⾯ 所成⻆，
第5⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 ⾯ ，所以 ，⼜ ，
所以 ，则 ，故B正确；
对于C，在正 中， ，则 ，
所以 ，故C错误；
对于D，记 的中点为 ，连接 ，如图，
因为 是 的中点，⼜易知四边形 是平⾏四边形，所以 ，
因为 ，所以 ，所以四边形 是平⾏四边形，则
，
⼜ ⾯ ， ⾯ ，所以直线 ⾯ ，故D正确.
故选：ABD.
11. 双曲线的光学性质：从双曲线的⼀个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延⻓线经过双
曲线的另⼀个焦点.已知双曲线 ： 的离⼼率为 ，左、右焦点分别为 ， .点
在 上，点 ，点 在直线AB上，则下列说法正确的是（ ）
附：双曲线 （ ， ）在其上⼀点 处的切线⽅程为 .
A.
B.
C. 作 于点 ，则 （ 为坐标原点）
D. 若 的延⻓线交 于点 ，则 的内⼼在定直线上
第6⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】BD
【解析】
【分析】设点 在第⼀象限，根据离⼼率求出 ，可得选项 A错误；根据 得
，结合双曲线⽅程可得B正确；分析得直线 与双曲线 相切， 是切点，结合等腰三
⻆形性质及双曲线定义可得选项C错误；分析得直线 是双曲线的切线，切点分别为点 ，联⽴两
切线⽅程表示点 坐标可得选项D正确.
【详解】设双曲线 的半焦距为 .根据双曲线的对称性，不妨设点 在第⼀象限.
对于A，由题意得， ， ，解得 ，
故 ， ，A错误.
对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为 ，故 ，则 ，
∴直线 的斜率存在，
∵点 在直线 上，∴ ，
∴ ，则 ，
∵ ，∴ ，故 ，解得 ，故B正确
对于C，由题意得，点 处的切线⽅程为 ，切线斜率为 ，
第7⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司∵ ，故直线 与双曲线 相切， 是切点.
由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意⼀点处的切线平分该点与两焦点连线的夹⻆，
则 平分 ，延⻓ ，与 的延⻓线交于点 ，连接 ，
则 为等腰三⻆形， ，
∵ 为 的中点， 为 的中点，
∴ ，故C错误.
对于D，记 的内⼼为 ，则 是 的平分线， 是 的平分线，
由选项C可得，直线 是双曲线的切线，切点分别为点 ，设 ，
则直线 的⽅程为 ，直线 的⽅程为 ，
联⽴两式，解得 ，
由 得， ，设直线 ，
则 式可化为 ，即点 在定直线 上，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知抛物线 的准线 与双曲线 相切，则双曲线 的离⼼率 ________．
第8⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】 ；
【解析】
【详解】抛物线 的准线 ，
依题意可得，直线 经过双曲线 的左顶点，
则 ，所以 ，
故
13. 已知圆⼼为 ，直线 与圆 相切于点 ，则圆 的半径⻓为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得直线 斜率为2，则 ，建⽴⽅程可求得 ，进⽽求解即可.
【详解】由题意，直线 的斜率为2，
则 ，解得 ，即 ，
则圆 的半径⻓为 .
故答案为： .
14. 在斜 中， 为锐⻆，且满⾜ ，则 的最⼩值为
______.
【答案】
【解析】
【分析】将已知变形为 ，⽤两⻆和（差）的正弦公式得到
，进⽽得到 与 的关系，代⼊ ⽤基本不等式
即可求最⼩值.
第9⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
⼜∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为锐⻆，∴
∴
,
当且仅当 ，即 时等号成⽴.
故答案为：
【点睛】⽅法点睛：本题关键是化“ 弦” 为“ 切” ，通过代⼊减元运⽤基本不等式求和的最⼩值.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 袋⼦中有5个⼤⼩质地完全相同的球，其中2个红球，3个⻩球．
（1）若这5个球分别标有数字 ， ， ， ， ，现从袋中每次任取⼀个球，每次取出后不放回，连续取
两次，求两个⼩球所标数字之和为3的倍数的概率；
（2）若从中摸出⼀个球，观察颜⾊后放回，再摸出⼀个球，求两球颜⾊恰好不同的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
第10⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利⽤古典概型求概率即可；
（2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利⽤古典概型求概率即可；
【⼩问1详解】
不放回连续取两次的样本空间 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，
记“ 两数之和为3的倍数” 为事件 ，则事件 ， ， ， ， ，
， ，
【⼩问2详解】
设5个球记为 ， ， ， ， ，则有放回地取出两个的样本空间
， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
记“ 两球颜⾊恰好不同的概率” 为事件 ，则 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
，
16. 如图1，在直⻆梯形 中， ， ，且 ，现以 为⼀边向
梯形外作正⽅形 ，然后沿边 将正⽅形 折叠，使 ， 为 的中点，如图2.
第11⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求证： 平⾯ ；
（2）求证：平⾯ 平⾯ ；
（3）求点 到平⾯ 的距离.
【答案】(1)证明⻅解析；(2) 证明⻅解析；(3) .
【解析】
【分析】(1)利⽤中位线构造平⾏四边形，证明线线平⾏，再利⽤线⾯平⾏ 判定定理证明线⾯平⾏；
(2)先证 平⾯ ，再根据⾯⾯垂直的判定定理得⾯⾯垂直；
(3)⼏何法求解点到平⾯的距离，先作出并证明表示所求距离的线段，再利⽤三⻆形⾯积公式求线段⻓.
【详解】证明：取 中点 ，连接 ， ．
在 中， ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，且 ．
由已知 ， ，所以 ，且 ．
所以四边形 为平⾏四边形．所以 ．
⼜因为 平⾯ ，且 平⾯ ，所以 平⾯ ．
（2）在正⽅形 中， ．⼜由题知 ，
直线 ， 在平⾯ 内，且相交于点 ，所以 平⾯ ，
⼜ 平⾯ ，所以平⾯ 平⾯ ，即平⾯ 平⾯ .
(3)在直⻆梯形 中， ， ，可得 ， ．
在 中， ，
所以 ．所以 ．
由(2)知，平⾯ 与平⾯ 垂直且交线为 ，所以 平⾯ ．
⼜因为 平⾯ ，所以平⾯ 平⾯ ．
第12⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司过点 作 的垂线交 于点 ，则 平⾯
所以点 到平⾯ 的距离等于线段 的⻓度
在直⻆三⻆形 中，
，
所以
所以点 到平⾯ 距离等于 ．
17. 的内⻆ ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）若 ， ，求 的⾯积；
（2）若⻆ 为钝⻆，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1) 利⽤正、余弦定理以及三⻆恒等变换可得 ，利⽤余弦定理可得 ，即可得；
(2) 利⽤正弦定理以及三⻆恒等变换可得 ,即可得解；
【⼩问1详解】
因为 ，
所以由余弦定理： ，
所以由正弦定理 ，
⼜因为 ，
第13⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由余弦定理 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 的⾯积 .
【⼩问2详解】
因为⻆ 为钝⻆，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
代⼊ 得 ,
因为 ，所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
18. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调增区间（写出结论即可）；
（2）在（1）的条件下，当 时， 恒成⽴，求实数 的取值范围．
（3）当 ，求函数 在 上的最⼩值 ．
【答案】（1） ，
（2）
第14⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（3）
【解析】
【分析】（1）将函数解析式表示为分段函数的形式，即可写出函数的单调递增区间；
（2）结合已知分离参数得 在 上恒成⽴，即可得到 的取值范围；
（3）对实数 的范围进⾏分类讨论，分析函数 在 上的单调性与最值，进⽽得到 的表达式.
【⼩问1详解】
当 时， ，
所以函数 的单调增区间为 ，
【⼩问2详解】
当 时， ，
化为 ，
即 在 上恒成⽴，
因为函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围为 ；
【⼩问3详解】
当 时， ，对称轴 ，
所以函数 在 上单调递增， ；
当 时， ，对称轴 ，
结合图象知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
第15⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当 时， ，对称轴 ，
因为此时 是开⼝向下的⼆次函数，所以 ，
即 ，
综上所述， .
【点睛】关键点点睛：本题第（1）问结合函数图象得出结论即可；第（2）问中，在分离参数的时候需注
意未知量系数的正负对不等号⽅向的影响，再结合恒成⽴思想得出未知量的取值范围；第（3）问在分类讨
论时，需要做到不重不漏，可⽤未知量的范围与定义域端点对⽐来决定分类讨论的区间，结合不同情况下
的图象得出最终结果.
19. 如图，已知椭圆的标准⽅程为 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点，点 为椭圆上⼀动点，
且在 轴上⽅，延⻓ ， 分别交椭圆于点 ， .
（1）证明： 的周⻓⼤于 ；
（2）若 ，求直线BC的⽅程；
（3）设 ，⽤ 表示 的⾯积.
【答案】（1）证明⻅解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)连接 ，由题可知 ，两边同时加上 即可；
第16⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司(2)设 ， ， ，由椭圆的定义和两点间距离公式计算得出 ，联⽴
，求得 ， ，根据两点求出直线 的⽅程；
(3)联⽴ 和 ⽅程，利⽤⻙达定理得出 和 ，再利⽤
⾯积⽐求出即可．
【⼩问1详解】
连接 ，注意到 ，
故 的周⻓为 .
【⼩问2详解】
设 ， ， ，
由 ，且 ，故 ，
⼜ ，则 ，即 ，
因此 ，故直线 的⽅程为： ，即 ，
直线 的⽅程为： ，联⽴ ，得 ，
则 ，即 ，因此 ，
⽽ ，因此 ，
故直线 的⽅程为： ，即 .
【⼩问3详解】
第17⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为点A在x轴上⽅，所以直线 斜率不为0，
设直线 ，直线 ， ， ， ， ，
联⽴ ，可得 ，则 ，
注意到 ，故 .
联⽴ ，可得 ，则 ，
注意到 ，故 .
则 ， .
注意到 ，因为 ， ，
所以 ，
则
.
第18⻚/共18⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
