四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学+答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年09月试卷_0912四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期开学考试

树德中学高2022级高三开学数学考试试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1“. ∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是( )
A.∃x ∈R，使得x2+2x +1≤0 B.∀x∈R，x2+2x+1<0
0 0 0
C.∃x ∈R，使得x2+2x +1<0 D.∀x∈R，x2+2x+1≤0
0 0 0
2.已知全集U=1,2,3,4,5,6,7  ，集合A=1,2,3,4,5  ，B=3,4,5,6  ，
则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( )
A.2 B.4
C.8 D.16
3.已知等差数列a
n
 的公差为d，前n项和为S ，则“d≥0”是“S
n n
 是递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在同一平面直角坐标系中，直线mx-y+1=0(m∈R)与圆x2+y2=2的位置不可能为( )
5.一堆苹果中大果与小果的比例为9:1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果
的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面
随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )
855 857 171 9
A. B. C. D.
857 1000 200 10
6.某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、
物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B+，B，C+，C，
D+，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，
16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分
别转换到91,100  ，81,90  ，71,80  ，61,70  ，51,60  ，41,50  ，31,40  ，21,30  八个分数区间，得到考生的
等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X~N50,256  ，那么B+等级的原始分最低大约
为( )
参考数据：对任何一个正态分布X~Nμ,σ2 
X-μ
来说，通过Z= 转化为标准正态分布Z~N0,1
σ
 ，从而查标
准正态分布表得到PX≤X 1  =PZ≤Z 0  ．可供查阅的(部分)标准正态分布表：
Z 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0
PZ≤Z
0
 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
Z 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
0
PZ≤Z
0
 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974
A.57 B.64 C.71 D.777.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性
质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中
于它的焦点．已知一束平行于反射镜对称轴的入射光线与抛物线
y2=2px的交点为A4,4  ，则反射光线所在直线被抛物线截得的
弦长为 ( )
27 21
A. B.
4 4
25 29
C. D.
4 4
8.若对任意的x 1 ,x 2 ∈-1,0 
x ex1-xex2
,x <x , 2 1 <a恒成立，则a的最小值为( ) 1 2 x -x
1 2
1 1 2 2
A.- B.- C.- D.-
e2 e e2 e
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下
数据：
单价x(元) 40 50 60 70 80 90
销量y(件) 50 44 43 m 35 28

由表中数据，求得线性回归方程为y=-0.4x+66，则下列说法正确的是( )
A.产品的销量与单价成负相关
B.为了获得最大的销售额(销售额=单价×销量)，单价应定为70元或80元
C.m=40
1
D.若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为
3
10.已知a，b，c∈R，则下列结论正确的是( )
b b+c
A.若a>b>0，则 < B.若ac2>bc2，则a>b
a a+c
a+b 1 2a2+3
C.若a>b>0， ≥ D. 的最小值为2 2
a+2 2ab 2 a2+1
11.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系
xOy中，把到定点F 1-a,0  ，F 2a,0  距离之积等于a2 a>0  的点的轨迹称为双纽线，已知点Px,y  是a=1
的双纽线C上一点，下列说法正确的是( )
A.若直线F 1 F 2 交双纽线C于A，B，O三点(O为坐标原点)，则AB  =2 2
B.双纽线C上满足PF 1  =PF 2  的点有2个
1
C.△PFF 的面积的最大值为
1 2 2
D.△PF 1 F 2 的周长的取值范围为4,2+2 2 
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
a +a
12.若(x-2)4=a x4+a x3+a x2+ax+a ，则a = ； 1 3 = .
4 3 2 1 0 0 a +a +a
0 2 4
13.若不等式x-3  ≤a成立的一个充分不必要条件是-1≤x≤7，则实数a的取值范围为 ．
14.设函数fx  =x3-x，正实数a,b满足fa  +fb  =-2b，若a2+λb2≤1，则实数λ的最大值为四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.已知函数fx  =x+1,gx  =x2-1.
(1)若a∈R，求不等式afx  +gx  <0的解集；
(2)若b≤3，对∀x 1 ∈1,2  ,∃x 2 ∈4,5  ，使得bfx 1  +fx 2  =gx 1  +b+8成立，求b的取值范围.
16.2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力
情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方
图.
年级名次
1~100 101~1000
是否近视
近视 40 30
不近视 10 20
(1)若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数(精确到0.01)；
(2)该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对
抽取的100名学生名次在1~100名和101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的
数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
(3)在(2)中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人
中任取2人，至少有1人的年级名次在1~100名的概率.
PK2≥k  0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
n(ad-bc)2
K2= ，其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
17.在三棱台DEF-ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且BA=BC，AC=2DF，M为AC的中点，P是
CF MC
CF上一点，且 = =λ(λ>1).
DF CP
(1)求证：CD⊥平面PBM；
6
(2)已知CP=1，且直线BC与平面PBM的所成角的正弦值为 时，
6
求平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值.x2 y2 x2 y2
18.如图，双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点F，F 分别为双曲线C : - =1的左、右顶
1 a2 b2 1 2 2 4a2 4b2
点，过点F 的直线分别交双曲线C 的左、右两支于A,B两点，交双曲线C 的右支于点M(与点F 不重合)，且
1 1 2 2
△BFF 与△ABF 的周长之差为2.
1 2 2
(1)求双曲线C 的方程；
1
(2)若直线MF 交双曲线C 的右支于D,E两点.
2 1
①记直线AB的斜率为k ，直线DE的斜率为k ，求kk 的值；
1 2 1 2
②试探究：DE  -AB  是否为定值？并说明理由.
19.设实系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0  ①，有两根x 1 ,x 2 ，则方程可变形为ax-x 1  x-x 2  =0，
展开得ax2-ax 1 +x 2 
x +x =-b,
x+ax 1 x 2 =0②，比较①②可以得到   x 1 x = 2 c, a 这表明，任何一个一元二次方程的
1 2 a
根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次
项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达
定理.
设方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0 
x +x +x =-b
 1 2 3 a

有三个根x,x ,x ，则有 xx +x x +x x =c ③ 1 2 3  1 2 2 3 3 1 a

 xx x =-d
1 2 3 a
(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；
(2)已知函数fx  =ax3+bx2+x+1(a<0)恰有两个零点.
(i)求证：fx  的其中一个零点大于0，另一个零点大于-2且小于0；
(ii)求a+b的取值范围.树德中学高2022级高三开学数学考试试题
参考答案
1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 6. C 7.C 8.D 9.ACD 10.BC 11.ACD
x ex1-xex2
8．【详解】因为x 1 <x 2 ，所以x 1 -x 2 <0，则 2 x -x 1 <a可化为x 2 ex1-x 1 ex2>ax 1 -x 2
1 2
 ，
整理得x ex1+ax >xex2+ax ，因为xx >0，所以
ex1
+
a
>
ex2
+
a
，
2 2 1 1 1 2 x x x x
1 1 2 2
令fx 
ex a
= + ，则函数fx
x x
 在-1,0  上单调递减，
则fx 
ex x-1
=
 -a
≤0在-1,0
x2
 上恒成立，所以ex x-1  ≤a在-1,0  上恒成立，
令gx  =ex x-1  ，则gx  =ex x-1  +ex=xex<0在-1,0  上恒成立，
则gx  =ex x-1  在-1,0  上单调递减，所以gx  ≤g-1 
2
=- ，
e
2 2
故a≥- ，所以a得最小值为- .
e e
11．【详解】由双纽线的定义可得：PF 1  ⋅PF 2  = x+a  2+y2⋅ x-a  2+y2=a2，
即 x+a   2+y2  ⋅ x-a   2+y2  =a4，化简得：x2+y2  2=2a2 x2-y2  ，
当a=1时，点P的轨迹方程为x2+y2  2=2x2-y2  ，
令y=0，解得x=± 2或x=0，所以AB  =2 2，故A正确；
因为F 1-a,0  ，F 2a,0  ，若满足PF 1  =PF 2  ，则点P在y轴上，
在方程中x2+y2  2=2x2-y2  令x=0，解得y=0，
所以满足PF 1  =PF 2  的点P为P0,0  ，只有一个，故B错误；
1
S △F1PF2 = 2 PF 1  PF 2 
1 1
sin∠FPF = sin∠FPF ≤ ，故C正确； 1 2 2 1 2 2
因为C △PF1F2 =PF 1  +PF 2  +F 1 F 2  =2+PF 1  +PF 2  ，
又PF 1  PF 2  =1，且PF 1  +PF 2  >F 1 F 2  =2，所以C △PF1F2 =2+PF 1  +PF 2  >4，
接下来先证明PO  ≤ 2a：
在△F 1 PF 2 中，由余弦定理可得F 1 F 2  2=PF 1  2+PF 2  2-2PF 1  ⋅PF 2  ⋅cos∠FPF， 1 2
所以PF 1  2+PF 2  2=4a2+2a2cos∠FPF. 1 2
   
又因为2PO=PF +PF，所以2PO
1 2

 
2=PF+PF
1 2
 2

=PF
1


2+PF
2

  
2+2PF ⋅PF =PF
1 2 1


2+PF
2


2+2PF
1


⋅PF
2
 cos∠FPF.
1 2
所以 2PO    2+F 1 F 2 

2=PF 1 

2+PF 2 

2+2PF 1 

⋅PF 2  cos∠F 1 PF 2 +PF 1  2+PF 2  2-2PF 1  ⋅
PF 2  ⋅cos∠F 1 PF 2 =2 PF 1  2+PF 2  2   ，即4PO  2+4a2=2×4a2+2a2cos∠F 1 PF 2  ，
整理可得|PO|2=a2+a2cos∠F 1 PF 2 ≤2a2，所以PO  ≤ 2a；所以PO  ≤ 2，
如图以PF、PF 为邻边作平行四边形PFGF，
1 2 1 2
则GF 1  =PF 2  ，所以PF 1  +PF 2  =PF 1  +GF 1  <PG  =2PO  ≤2 2，
所以C △PF1F2 =2+PF 1  +PF 2  <2+2 2，
即△PF 1 F 2 的周长的取值范围为4,2+2 2  ，故D正确.
40
12． 16 - 13．4,+∞
41
 14．2+2 2
14【. 详解】因为fx  =x3-x，所以fa  =a3-a，fb  =b3-b，
又fa  +fb  =-2b，所以a3-a+b3-b=-2b，即a3+b3=a-b，a3+b3
因为a>0，b>0，所以a3+b3>0，所以a>b>0，所以 =1，
a-b
又a2+λb2≤1，即a2+λb2≤
a3+b3
，所以λb2≤
b3+a2b
，所以λ≤
b2+a2
=
1+ a
b
a-b a-b ab-b2
 2
，
a-1
b
1+ a 令t= a ，则t>1，所以 b
b
 2 1+t2 t2-1+2 2 = = =t+1+
a-1 t-1 t-1 t-1
b
=t-1 
2
+ +2≥2 t-1
t-1

2
⋅ +2=2+2 2，
t-1
2
当且仅当t-1= ，即t= 2+1时取等号，
t-1
b2+a2
所以
ab-b2
 =2 2+1
min
 ，所以λ≤2+2 2，则实数λ的最大值为2+2 2.
15.(1)a<2时，不等式的解集为{x∣-1<x<1-a};
a=2时，不等式的解集为∅；
a>2时，不等式的解集为{x∣1-a<x<-1}；
5
(2) ≤b≤2 2；
2
16．【详解】(1)由图可知，第三组和第六组的频数为100×0.8×0.2=16人
第五组的频数为100×1.2×0.2=24人
所以前四组的频数和为100-24+16  =60人
而前四组的频数依次成等比数列
故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人
所以中位数落在第四组，设为x，
x-4.6 50-(4+8+16)
因此有 = (或1.6(x-4.6)=0.22)
0.2 32
解得x=4.7375所以中位数是4.74
100×(40×20-30×10)2
100
(2)因为K2= = ≈4.762,所以K2>3.841
50×50×70×30 21
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系
(3)依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在1~100名和101~1000名
的分别有2人和4人，从6人中任意抽取2人的基本事件共15个至少有1人来自于1~100名
9 3
的基本事件有9个，所以至少有1人的年级名次在1~100名的概率为P= = .
15 5
17．(1)∵BA=BC，且M是AC的中点，则BM⊥AC.
∵CF⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴CF⊥BM.
又CF∩AC=C,CF,AC⊂平面ACFD，∴BM⊥平面ACFD，
因为DC⊂平面ACFD，∴DC⊥BM.①
CF MC π
∵ = ,∠CFD=∠MCP= ，∴△CFD∽△MCP，则∠PMC=∠FCD.
DF CP 2
π π
∵∠ACD+∠FCD= ，∴∠PMC+∠ACD= ，∴在平面ACFD中DC⊥PM.②
2 2
∵BM∩PM=M,BM,PM⊂平面PBM，∴由①②知DC⊥平面PBM.
(2)由题意得DM⎳CF，CF⊥平面ABC，
∴DM⊥平面ABC.由(1)可知BM⊥AC，故M为坐标原点.
如图，以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.CF DF
∵ = =λ，CP=1∴CM=DF=λ，DM=CF=λ2.
DF CP
∴M0,0,0  ，Bλ,0,0  ，C0,λ,0  ，D0,0,λ2  .∵AC=2DF，
  
∴由棱台的性质得BC=2EF,BC=-λ,λ,0 

λ λ
，∴ME= , ,λ2
2 2
 .
 
由(1)可知平面PBM的一个法向量为CD，且CD=0,-λ,λ2  .
6
∵直线BC与平面PBM的所成角的正弦值为 ，
6
 
∴cosBC,CD 
 
BC⋅CD
=


BC 

⋅CD 
6
= (λ>0)，
6
-λ2
即
 6
= ，解得λ= 2.
λ 2⋅λ λ2+1 6
 
∴平面PBM的一个法向量为CD，且CD=0,- 2,2  .

平面EFM的法向量为n=x,y,z  .

2 2
∵ME= , ,2
2 2


，MF=0, 2,2  ，

  n   ⋅M  E  = 2 2x+ 2 2y+2z=0 ，即  y x = = - - 2 2 z z ，当z=-1时，x= 2，y= 2.
n⋅MF= 2y+2z=0

∴平面MEF的一个法向量为n= 2, 2,-1 


.cosn,CD 


n⋅CD
=

 n 

CD 
2+2 2 30
= = .
6× 5 15
2 30
∴平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值 .
15
18．(1)解：设F 1 F 2  =2c，因为△BFF 与△ABF 的周长之差为2， 1 2 2
所以BF 1  +F 1 F 2  -AB  -AF 2  =2，即2c-2a=2，
x2 y2
又因为F,F 分别为双曲线C : - =1的左、右顶点，所以c=2a，
1 2 2 4a2 4b2
联立方程组

c-a=1 ，解得a=1,c=2，所以b2=c2-a2=1，
c=2a
y2
故双曲线C 的方程为x2- =1.
1 3
x2 y2
(2)解：①由(1)知，双曲线C 2 的方程为 4 - 12 =1,F 1-2,0  ,F 22,0  ，
x2 y2
设M(x ,y )，则 0 - 0 =1，可得y2=3(x2-4)，
0 0 4 12 0 0
y y y2
则k ⋅k = 0 ⋅ 0 = 0 =3.
1 2 x +2 x -2 x2-4
0 0 0
② DE  -AB  为定值4.
理由如下：
由(1)得直线AB的方程为y=k 1x+2  ，
y=k 1x+2
联立方程组
 
 x2- y2 =1 ，整理得3-k2 1
3
 x2-4k2x-4k2-3=0， 1 1
设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2 
4k2 -4k2-3
，则x +x = 1 ,xx = 1 ， 1 2 3-k2 1 2 3-k2
1 1-4k2-3
因为A,B位于双曲线的左、右两支，所以xx = 1 <0，即k2<3，
1 2 3-k2 1
1
可得AB  = 1+k2 1  x 1 +x 2   2-4xx 1 2  = 361+k2 1  2 3-k2 1  = 61+k2 1 2  ， 3-k2 1
3
又因为k 1 ⋅k 2 =3，所以直线DE的方程为y= k x-2
1
 ，
根据双曲线的对称性，同理可得DE 
6 1+ 3
k = 1
 2  
3- 3
k
1
 2  
=
29+k2
1  ，
3-k2 1
所以DE  -AB  =
29+k2
1  -
61+k2
1
3-k2
1
 =4，故DE
3-k2
1
 -AB  为定值4.
19．(1)证明：因为方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0  有三个根x,x ,x ， 1 2 3
所以方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0  即为ax-x 1  x-x 2  x-x 3  =0，
变形为ax3-ax 1 +x 2 +x 3  x2+ax 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1  x-axx x =0， 1 2 3
x +x +x =-b
 1 2 3 a

比较两个方程可得 xx +x x +x x =c .
 1 2 2 3 3 1 a

 xx x =-d
1 2 3 a
(2)(i)证明：∵fx  有两个零点，
∴fx  =0有一个二重根x 1 ，一个一重根x 2 ，且   x x 1 ≠ ≠ 0 0 , ,
2
2x +x =-b
 1 2 a

由(1)可得 x2+2xx =1 ，由x2+2xx = 1 <0可得xx <0.
 1 1 2 a 1 1 2 a 1 2


x2x =-1
1 2 a
1
由x2⋅x =- >0可得x >0，∴x <0<x .
1 2 a 2 1 2
x
联立上两式可得x2+2xx =-x2⋅x ，解得x =- 1 ，
1 1 2 1 2 2 x +2
1
又x >0,x <0∴x >-2，综上-2<x <0<x .
2 1 1 1 2
a=- 1 = x 1 +2 = 1 + 2
 x2x x3 x2 x3
(ii)解：由(i)可得 1 2 1 1 1 ，
b= 2x 1 +x 2= 2 + 1 = -2x 1 -4 + 1 =-2 - 3
x2 1 x 2 x 1 x 2 x2 1 x2 1 x2 1 x 1 x2 1
2 2 2
∴a+b= - - .
x3 x2 x
1 1 1
1
令t= x ,∵x 1 ∈-2,0
1

1
,∴t∈-∞,- 2  ，则gt  =2t3-t2-t  ，
∵gt  =23t2-2t-1  =23t+1  t-1 
1
>0，当t<- 时，gt
2
 >0，
∴gt 
1
在-∞,-
2
 上单调递增，∴gt 
1
<g-
2

1
= ，
4
1
∴a+b∈-∞,
4
 .