四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学+答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年09月试卷_0912四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期开学考试

树德中学高2022级高三开学数学考试试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1“. ∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是( ) A.∃x ∈R，使得x2+2x +1≤0 B.∀x∈R，x2+2x+1<0 0 0 0 C.∃x ∈R，使得x2+2x +1<0 D.∀x∈R，x2+2x+1≤0 0 0 0 2.已知全集U=1,2,3,4,5,6,7  ，集合A=1,2,3,4,5  ，B=3,4,5,6  ， 则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 3.已知等差数列a n  的公差为d，前n项和为S ，则“d≥0”是“S n n  是递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在同一平面直角坐标系中，直线mx-y+1=0(m∈R)与圆x2+y2=2的位置不可能为( ) 5.一堆苹果中大果与小果的比例为9:1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果 的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面 随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( ) 855 857 171 9 A. B. C. D. 857 1000 200 10 6.某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、 物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B+，B，C+，C， D+，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%， 16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分 别转换到91,100  ，81,90  ，71,80  ，61,70  ，51,60  ，41,50  ，31,40  ，21,30  八个分数区间，得到考生的 等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X~N50,256  ，那么B+等级的原始分最低大约 为( ) 参考数据：对任何一个正态分布X~Nμ,σ2  X-μ 来说，通过Z= 转化为标准正态分布Z~N0,1 σ  ，从而查标 准正态分布表得到PX≤X 1  =PZ≤Z 0  ．可供查阅的(部分)标准正态分布表： Z 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0 PZ≤Z 0  0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 Z 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 0 PZ≤Z 0  0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 A.57 B.64 C.71 D.777.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性 质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中 于它的焦点．已知一束平行于反射镜对称轴的入射光线与抛物线 y2=2px的交点为A4,4  ，则反射光线所在直线被抛物线截得的 弦长为 ( ) 27 21 A. B. 4 4 25 29 C. D. 4 4 8.若对任意的x 1 ,x 2 ∈-1,0  x ex1-xex2 ,x b>0，则 < B.若ac2>bc2，则a>b a a+c a+b 1 2a2+3 C.若a>b>0， ≥ D. 的最小值为2 2 a+2 2ab 2 a2+1 11.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系 xOy中，把到定点F 1-a,0  ，F 2a,0  距离之积等于a2 a>0  的点的轨迹称为双纽线，已知点Px,y  是a=1 的双纽线C上一点，下列说法正确的是( ) A.若直线F 1 F 2 交双纽线C于A，B，O三点(O为坐标原点)，则AB  =2 2 B.双纽线C上满足PF 1  =PF 2  的点有2个 1 C.△PFF 的面积的最大值为 1 2 2 D.△PF 1 F 2 的周长的取值范围为4,2+2 2  三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． a +a 12.若(x-2)4=a x4+a x3+a x2+ax+a ，则a = ； 1 3 = . 4 3 2 1 0 0 a +a +a 0 2 4 13.若不等式x-3  ≤a成立的一个充分不必要条件是-1≤x≤7，则实数a的取值范围为 ． 14.设函数fx  =x3-x，正实数a,b满足fa  +fb  =-2b，若a2+λb2≤1，则实数λ的最大值为四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.已知函数fx  =x+1,gx  =x2-1. (1)若a∈R，求不等式afx  +gx  <0的解集； (2)若b≤3，对∀x 1 ∈1,2  ,∃x 2 ∈4,5  ，使得bfx 1  +fx 2  =gx 1  +b+8成立，求b的取值范围. 16.2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力 情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方 图. 年级名次 1~100 101~1000 是否近视 近视 40 30 不近视 10 20 (1)若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数(精确到0.01)； (2)该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对 抽取的100名学生名次在1~100名和101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的 数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? (3)在(2)中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人 中任取2人，至少有1人的年级名次在1~100名的概率. PK2≥k  0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 n(ad-bc)2 K2= ，其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 17.在三棱台DEF-ABC中，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，且BA=BC，AC=2DF，M为AC的中点，P是 CF MC CF上一点，且 = =λ(λ>1). DF CP (1)求证：CD⊥平面PBM； 6 (2)已知CP=1，且直线BC与平面PBM的所成角的正弦值为 时， 6 求平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值.x2 y2 x2 y2 18.如图，双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点F，F 分别为双曲线C : - =1的左、右顶 1 a2 b2 1 2 2 4a2 4b2 点，过点F 的直线分别交双曲线C 的左、右两支于A,B两点，交双曲线C 的右支于点M(与点F 不重合)，且 1 1 2 2 △BFF 与△ABF 的周长之差为2. 1 2 2 (1)求双曲线C 的方程； 1 (2)若直线MF 交双曲线C 的右支于D,E两点. 2 1 ①记直线AB的斜率为k ，直线DE的斜率为k ，求kk 的值； 1 2 1 2 ②试探究：DE  -AB  是否为定值？并说明理由. 19.设实系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0  ①，有两根x 1 ,x 2 ，则方程可变形为ax-x 1  x-x 2  =0， 展开得ax2-ax 1 +x 2  x +x =-b, x+ax 1 x 2 =0②，比较①②可以得到   x 1 x = 2 c, a 这表明，任何一个一元二次方程的 1 2 a 根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次 项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达 定理. 设方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0  x +x +x =-b  1 2 3 a  有三个根x,x ,x ，则有 xx +x x +x x =c ③ 1 2 3  1 2 2 3 3 1 a   xx x =-d 1 2 3 a (1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理； (2)已知函数fx  =ax3+bx2+x+1(a<0)恰有两个零点. (i)求证：fx  的其中一个零点大于0，另一个零点大于-2且小于0； (ii)求a+b的取值范围.树德中学高2022级高三开学数学考试试题 参考答案 1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 6. C 7.C 8.D 9.ACD 10.BC 11.ACD x ex1-xex2 8．【详解】因为x 1 ax 1 -x 2 1 2  ， 整理得x ex1+ax >xex2+ax ，因为xx >0，所以 ex1 + a > ex2 + a ， 2 2 1 1 1 2 x x x x 1 1 2 2 令fx  ex a = + ，则函数fx x x  在-1,0  上单调递减， 则fx  ex x-1 =  -a ≤0在-1,0 x2  上恒成立，所以ex x-1  ≤a在-1,0  上恒成立， 令gx  =ex x-1  ，则gx  =ex x-1  +ex=xex<0在-1,0  上恒成立， 则gx  =ex x-1  在-1,0  上单调递减，所以gx  ≤g-1  2 =- ， e 2 2 故a≥- ，所以a得最小值为- . e e 11．【详解】由双纽线的定义可得：PF 1  ⋅PF 2  = x+a  2+y2⋅ x-a  2+y2=a2， 即 x+a   2+y2  ⋅ x-a   2+y2  =a4，化简得：x2+y2  2=2a2 x2-y2  ， 当a=1时，点P的轨迹方程为x2+y2  2=2x2-y2  ， 令y=0，解得x=± 2或x=0，所以AB  =2 2，故A正确； 因为F 1-a,0  ，F 2a,0  ，若满足PF 1  =PF 2  ，则点P在y轴上， 在方程中x2+y2  2=2x2-y2  令x=0，解得y=0， 所以满足PF 1  =PF 2  的点P为P0,0  ，只有一个，故B错误； 1 S △F1PF2 = 2 PF 1  PF 2  1 1 sin∠FPF = sin∠FPF ≤ ，故C正确； 1 2 2 1 2 2 因为C △PF1F2 =PF 1  +PF 2  +F 1 F 2  =2+PF 1  +PF 2  ， 又PF 1  PF 2  =1，且PF 1  +PF 2  >F 1 F 2  =2，所以C △PF1F2 =2+PF 1  +PF 2  >4， 接下来先证明PO  ≤ 2a： 在△F 1 PF 2 中，由余弦定理可得F 1 F 2  2=PF 1  2+PF 2  2-2PF 1  ⋅PF 2  ⋅cos∠FPF， 1 2 所以PF 1  2+PF 2  2=4a2+2a2cos∠FPF. 1 2     又因为2PO=PF +PF，所以2PO 1 2    2=PF+PF 1 2  2  =PF 1   2+PF 2     2+2PF ⋅PF =PF 1 2 1   2+PF 2   2+2PF 1   ⋅PF 2  cos∠FPF. 1 2 所以 2PO    2+F 1 F 2   2=PF 1   2+PF 2   2+2PF 1   ⋅PF 2  cos∠F 1 PF 2 +PF 1  2+PF 2  2-2PF 1  ⋅ PF 2  ⋅cos∠F 1 PF 2 =2 PF 1  2+PF 2  2   ，即4PO  2+4a2=2×4a2+2a2cos∠F 1 PF 2  ， 整理可得|PO|2=a2+a2cos∠F 1 PF 2 ≤2a2，所以PO  ≤ 2a；所以PO  ≤ 2， 如图以PF、PF 为邻边作平行四边形PFGF， 1 2 1 2 则GF 1  =PF 2  ，所以PF 1  +PF 2  =PF 1  +GF 1  <PG  =2PO  ≤2 2， 所以C △PF1F2 =2+PF 1  +PF 2  <2+2 2， 即△PF 1 F 2 的周长的取值范围为4,2+2 2  ，故D正确. 40 12． 16 - 13．4,+∞ 41  14．2+2 2 14【. 详解】因为fx  =x3-x，所以fa  =a3-a，fb  =b3-b， 又fa  +fb  =-2b，所以a3-a+b3-b=-2b，即a3+b3=a-b，a3+b3 因为a>0，b>0，所以a3+b3>0，所以a>b>0，所以 =1， a-b 又a2+λb2≤1，即a2+λb2≤ a3+b3 ，所以λb2≤ b3+a2b ，所以λ≤ b2+a2 = 1+ a b a-b a-b ab-b2  2 ， a-1 b 1+ a 令t= a ，则t>1，所以 b b  2 1+t2 t2-1+2 2 = = =t+1+ a-1 t-1 t-1 t-1 b =t-1  2 + +2≥2 t-1 t-1  2 ⋅ +2=2+2 2， t-1 2 当且仅当t-1= ，即t= 2+1时取等号， t-1 b2+a2 所以 ab-b2  =2 2+1 min  ，所以λ≤2+2 2，则实数λ的最大值为2+2 2. 15.(1)a<2时，不等式的解集为{x∣-12时，不等式的解集为{x∣1-a3.841 50×50×70×30 21 因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系 (3)依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在1~100名和101~1000名 的分别有2人和4人，从6人中任意抽取2人的基本事件共15个至少有1人来自于1~100名 9 3 的基本事件有9个，所以至少有1人的年级名次在1~100名的概率为P= = . 15 5 17．(1)∵BA=BC，且M是AC的中点，则BM⊥AC. ∵CF⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴CF⊥BM. 又CF∩AC=C,CF,AC⊂平面ACFD，∴BM⊥平面ACFD， 因为DC⊂平面ACFD，∴DC⊥BM.① CF MC π ∵ = ,∠CFD=∠MCP= ，∴△CFD∽△MCP，则∠PMC=∠FCD. DF CP 2 π π ∵∠ACD+∠FCD= ，∴∠PMC+∠ACD= ，∴在平面ACFD中DC⊥PM.② 2 2 ∵BM∩PM=M,BM,PM⊂平面PBM，∴由①②知DC⊥平面PBM. (2)由题意得DM⎳CF，CF⊥平面ABC， ∴DM⊥平面ABC.由(1)可知BM⊥AC，故M为坐标原点. 如图，以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.CF DF ∵ = =λ，CP=1∴CM=DF=λ，DM=CF=λ2. DF CP ∴M0,0,0  ，Bλ,0,0  ，C0,λ,0  ，D0,0,λ2  .∵AC=2DF，    ∴由棱台的性质得BC=2EF,BC=-λ,λ,0   λ λ ，∴ME= , ,λ2 2 2  .   由(1)可知平面PBM的一个法向量为CD，且CD=0,-λ,λ2  . 6 ∵直线BC与平面PBM的所成角的正弦值为 ， 6   ∴cosBC,CD    BC⋅CD =   BC   ⋅CD  6 = (λ>0)， 6 -λ2 即  6 = ，解得λ= 2. λ 2⋅λ λ2+1 6   ∴平面PBM的一个法向量为CD，且CD=0,- 2,2  .  平面EFM的法向量为n=x,y,z  .  2 2 ∵ME= , ,2 2 2   ，MF=0, 2,2  ，    n   ⋅M  E  = 2 2x+ 2 2y+2z=0 ，即  y x = = - - 2 2 z z ，当z=-1时，x= 2，y= 2. n⋅MF= 2y+2z=0  ∴平面MEF的一个法向量为n= 2, 2,-1    .cosn,CD    n⋅CD =   n   CD  2+2 2 30 = = . 6× 5 15 2 30 ∴平面EFM与平面PBM所成夹角的余弦值 . 15 18．(1)解：设F 1 F 2  =2c，因为△BFF 与△ABF 的周长之差为2， 1 2 2 所以BF 1  +F 1 F 2  -AB  -AF 2  =2，即2c-2a=2， x2 y2 又因为F,F 分别为双曲线C : - =1的左、右顶点，所以c=2a， 1 2 2 4a2 4b2 联立方程组  c-a=1 ，解得a=1,c=2，所以b2=c2-a2=1， c=2a y2 故双曲线C 的方程为x2- =1. 1 3 x2 y2 (2)解：①由(1)知，双曲线C 2 的方程为 4 - 12 =1,F 1-2,0  ,F 22,0  ， x2 y2 设M(x ,y )，则 0 - 0 =1，可得y2=3(x2-4)， 0 0 4 12 0 0 y y y2 则k ⋅k = 0 ⋅ 0 = 0 =3. 1 2 x +2 x -2 x2-4 0 0 0 ② DE  -AB  为定值4. 理由如下： 由(1)得直线AB的方程为y=k 1x+2  ， y=k 1x+2 联立方程组    x2- y2 =1 ，整理得3-k2 1 3  x2-4k2x-4k2-3=0， 1 1 设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  4k2 -4k2-3 ，则x +x = 1 ,xx = 1 ， 1 2 3-k2 1 2 3-k2 1 1-4k2-3 因为A,B位于双曲线的左、右两支，所以xx = 1 <0，即k2<3， 1 2 3-k2 1 1 可得AB  = 1+k2 1  x 1 +x 2   2-4xx 1 2  = 361+k2 1  2 3-k2 1  = 61+k2 1 2  ， 3-k2 1 3 又因为k 1 ⋅k 2 =3，所以直线DE的方程为y= k x-2 1  ， 根据双曲线的对称性，同理可得DE  6 1+ 3 k = 1  2   3- 3 k 1  2   = 29+k2 1  ， 3-k2 1 所以DE  -AB  = 29+k2 1  - 61+k2 1 3-k2 1  =4，故DE 3-k2 1  -AB  为定值4. 19．(1)证明：因为方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0  有三个根x,x ,x ， 1 2 3 所以方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0  即为ax-x 1  x-x 2  x-x 3  =0， 变形为ax3-ax 1 +x 2 +x 3  x2+ax 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1  x-axx x =0， 1 2 3 x +x +x =-b  1 2 3 a  比较两个方程可得 xx +x x +x x =c .  1 2 2 3 3 1 a   xx x =-d 1 2 3 a (2)(i)证明：∵fx  有两个零点， ∴fx  =0有一个二重根x 1 ，一个一重根x 2 ，且   x x 1 ≠ ≠ 0 0 , , 2 2x +x =-b  1 2 a  由(1)可得 x2+2xx =1 ，由x2+2xx = 1 <0可得xx <0.  1 1 2 a 1 1 2 a 1 2   x2x =-1 1 2 a 1 由x2⋅x =- >0可得x >0，∴x <00,x <0∴x >-2，综上-20，当t<- 时，gt 2  >0， ∴gt  1 在-∞,- 2  上单调递增，∴gt  1