文档内容
河北区 2024-2025 学年度高三年级第一学期期中质量检测
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第
卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.
第I卷（选择题共45分）
注意本项：
1.答第I卷前，考生务必将自已的姓名､准考号､科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试
用条形码.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
如果事件 互斥，那么 圆柱的侧面积公式
圆锥的侧面积公式
如果事件 相互独立，那么
其中 表示底面圆的半径 表示母线的
长
一､选择题：在每年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式求得集合 ，再求 ，最后求 即可.
【详解】由 ，可得 ，即 ，
则 或 ，故 .
故选：C.2. 设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：若直线 与直线 平行，则 且 ，解得 ，
所以 推得出直线 与直线 平行，即充分性成立；
由直线 与直线 平行推不出 ，即必要性不成立；
故“ ”是“直线 与直线 平行”的充分不必要条件.
故选：A
3. 函数 在 上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据奇偶性排除CD,再代入特值验证即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ,
且 ,
所以函数 是偶函数,其函数图像关于 轴对称,排除CD.
又 ,排除B.故选:A.
4. 某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间[17.5，30]内，
将所得的数据分成5组：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如图
所示的频率分布直方图，则自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为（ ）
A. 240 B. 180 C. 96 D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】算出所求区间的频率乘以总人数即可估计.
【详解】由频率分布直方图可知，自习时间在区间[22.5，27.5）内的频率为 ，
所以自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为 ．
故选：A．
5. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
的
【分析】利用指数函数和对数函数 性质比较大小即可.
【详解】因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ，
所以 .故选：B.
6. 如图，圆锥 的底面直径和高均是4，过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一
个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面积可
求得剩下几何体的表面积.
【详解】设圆柱的高为 ，底面半径为 ，可知 ，
则圆锥的母线长为 ，
所以剩下几何体的表面积为 .
故选：B.
7. 已知双曲线 ： 的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线 ，M，N分别是
与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段 的中点，则C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】
【分析】设双曲线的右焦点F(c,0)，求出点 和 的坐标，利用中点坐标公式列式计算得 关系，进
而可得渐近线方程.
【详解】设双曲线的右焦点F(c,0)，过第一象限的渐近线方程为 ，
当 时， ，即 ，又 ，
因为M是线段 的中点，所以 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以C的渐近线方程为 .
故选：C.
8. 若函数 的图象关于点 对称，则 的单调递增区
间为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式将 的表达式化简，根据图象关于点 对称，求出 的值，然后根据正弦函数的单调增区间求函数 的单调增区间．
【详解】
，
∵ 图象关于点 对称，
∴ ,
∴ ，（ ），
∵ ，∴ ，
∴ ，
由 （ ），
解得： （ ），
∴函数 的增区间为 ．
故选：C．
9. 已知函数 ，若函数 恰有5个不同的零点，则实数 的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，作出
函数的简图，将函数 分解因式，根据零点定义，结合图象，确定 有两个根，转化为
有3个零点，由图即得参数范围.
【详解】函数 的定义域为 ，
若 时，由 求导得， ，
故当 时，f′(x)<0，当 时，f′(x)>0，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
当 时， ，当 时， ；
若 时，由 求导得， ，
因 ，故恒有f′(x)>0，即 在 上单调递增，
且当 时， ，当 时， ，即 时，恒有 .
作出函数 的大致图象如图所示.
又由 可得 或 ，由图知 有两个根，此时 有2个零点；
要使函数 恰有5个不同的零点，
需使 有3个零点，由图知，需使 ，即 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数由函数的零点个数求参问题，属于难题.解题的关键在于将函
数按照定义域分类讨论，通过求导作出函数的图象；第二个关键是，将函数的零点个数转化为两个函数的
图象交点个数问题解决.
第Ⅱ卷（非选择题）
二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.
10. 复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的四则运算化简计算求得复数 ，即得其对应的点的坐标.
【详解】因 ，
故复数 在复平面内对应点的坐标是 .
故答案为： .
11. 二项式 的展开式中的常数项为__________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意，写出二项式的通项 ，由 求得 值代入即得.【详解】二项式 的通项为 ，
由 可得 ，即得二项展开式中的常数项为 .
故答案为：
12. 若直线 与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是___________.
【答案】 .
【解析】
【分析】结合已知条件分别求出A、B的坐标，然后分别求出圆心和半径即可求解.
【详解】不妨设直线 与 轴和 轴的交点分别为A，B，
令 ，得 ，即 ；再令 ，得 ，即 ，
从而线段AB的中点为 ，且为所求圆的圆心，
又因为 ，所以所求圆的半径为 ，
从而以线段AB为直径的圆的方程是 .
故答案为： .
13. 将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则函数 在区间
上的值域______.
【答案】【解析】
【分析】先根据平移变换的原则求出函数 的解析式，再根据余弦函数的性质即可得解.
【详解】由题意 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 在区间 上的值域为 .
故答案为： .
14. 为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则
在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表
示抽取的三人中女志愿者的人数，则 ________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】令事件 “抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件 “抽取的3人中全是男志愿者”，由条件
概率公式得出第一空，由X的可能取值以及对应概率得出期望.
【详解】设事件 “抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件 “抽取的3人中全是男志愿者”
，则 ，
即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 .
X可取 ，，
则
故答案为： ；
15. 已知 中，点 分别是 的重心和外心，且 ，则边 的长为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据重心和外心性质，通过转化法利用数量积可得 ，再由三角形法则计算可求
出 的长为 .
【详解】延长 交 于点 ，连接 ，作 于点 ，则 分别为 的中点，如
下图所示：
易知 ，
同理可得 ，
由重心性质可知
；所以 ；
又 ，即 ，可得 ；
所以 ，可得 ；
因此 ，即 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于要充分利用重心和外心的性质，将数量积通过转化得出三角形边长之
间的关系，再由 即可得出结果.
三､解答题：本大题共5小题，共5分､解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ， 的面积为
.
（1）求角 的大小；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知式，再由余弦值求角即得；
（2）由 的面积为 推出 ，利用 求得 ，最后利用余弦定理求得边 ；（3）由余弦定理求得 ，继而求得 ，再利用差角的余弦公式计算即得.
【小问1详解】
因 和正弦定理， ，
又B∈(0,π)，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
；
【小问2详解】
因 ，解得 ，
又因 ，即 ，代入上式可得： ，解得 ，故 ，
由余弦定理得， ，
故得 ；
【小问3详解】
由（2）已得 ， ， ，
由余弦定理，可得
因 且B∈(0,π)，故 ,
所以17. 如图，在直三棱柱 中， ， 分别为
的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值；
（3）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出 与平面 的法向量垂直，又因为 平面 ，
可证 平面
（2）求出平面 的法向量，利用向量夹角公式，求出平面 与平面 的夹角的余弦值.
（3）求出 的坐标与平面 的法向量，利用向量点乘求出点 到平面 的距离.
【小问1详解】
如图，以 为原点， 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系则.
设平面 的法向量为 ，
则 取
所以 所以
又因为 平面 ，所以 平面
【小问2详解】
设平面 的法向量为
则 取
设平面 与平面 的夹角为
则所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
【小问3详解】
设点 到平面 的距离为
所以点 到平面 的距离为 .
18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，过点 作两条直线
，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．
（1）求 的方程；
（2）若 的面积为 ，求 的方程；
（3）若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
【答案】（1）
（2） 或 ．
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义求得 ，即可求解；
（2）由题意设 ，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出 ，结合的面积建立方程，计算即可求解；
（3）由（2）可得 ，进而 ，则
，结合基本不等式计算即可求解.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为 ，由题意知 ，所以 ，
的周长为 ，所以 ，
所以 ，
故 的方程为 ．
【小问2详解】
易知 的斜率不为0，设 ，
联立 ，得 ，
所以 ．
所以 ，
由 ，
解得 ，
所以 的方程为 或 ．
【小问3详解】由（2）可知 ，
因为 的斜率是 的斜率的2倍，所以 ，
得 ．
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 ．
19. 已知函数 在 处取得极小值.
的
（1）求 值；
（2）求函数 在点 处的切线方程；
（3）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数 ，由 ，求解验证即可；
（2）根据导数的几何意义求解切点坐标与切线斜率，即可得切线方程；
（3）构造函数 ，求导得到函数的单调性，即可求解最值求解．
【小问1详解】
由 ，可得 ，
由 ，解得 ，此时 ，
时， 单调递减，
x∈(0,+∞)时， 单调递增，
故 是函数的极小值点，符合题意，所以 .
【
小问2详解】
由题可得： ，
在点(1,f (1))处的切线方程为 即
【小问3详解】
由 恒成立，
则 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当x∈(0,+∞)时， ，
所以当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
20. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若方程 有两个不同的根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．
【答案】（1） 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减；
（2）（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求函数 的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单
调区间；
（2）方程 可化为 ，结合（1）确定函数 的性质，由条件确定 的取值
范围；
（3）设 ，由（i） ，由已知 ，法一：先证明 时结论成立，构
造函数 ， ，并证明 ，由此可得 ，结合 的单调性证明 ，再结合基本不等式证明当 时，结论成立；法二：构造函数
，证明当 时，h(x)<0，由此可证 ，结合 的单调性证
明 ，再结合基本不等式证明结论.
【小问1详解】
由题意得 ，x∈(0,+∞)，则 ，
由 ，解得 ．
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减；
综上， 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+∞)内单调递减；
【小问2详解】
（i）由 ，得 ，
设 ，
由（1）得 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+∞)内单调递减，
又 ，当 时，g(x)>0，且当 时， ，
所以当 时，方程 有两个不同的根，即方程 有两个不同的根，
故 的取值范围是(0,1)．
（ii）不妨设 ，则 ，且 ．法一：
当 时，结合（i）知 ，即 ；
当 时， ．
设
则
所以 在区间(0,1)内单调递增，
则 ，即 ，
所以
又 在区间(1,+∞)内单调递减，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
故 ，所以 ，得证．
法二：
设 ，x∈(0,+∞)，
则 ，
所以h(x)在区间(0,+∞)内单调递增，又h(1)=0，
所以 ，即 ．又 ，所以 ，
又 在区间(1,+∞)内单调递减．
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，得证．
【点睛】方法点睛：导函数中常用 的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不
等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单
调性、极(最)值问题处理．
