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射洪中学高 2022 级高二（下）期末模拟考试
数学参考答案
1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C
【详解】对任意的 ， ，且 ， ，易知 ，
则 ，所以 ，即 .令
，则函数 在 上单调递减.因为 ，由 ，可得
，
所以函数 的单调递减区间为 ，所以 ，故 ，
即实数 的取值范围为 .故选：C.
9.AC 10.BCD 11.ACD
【详解】由函数 ，可得其定义域为 .A中：当 时，
，可得 ，所以 ，所以曲线 在点
处的切线方程为 ，即 ，所以A正确；B中：由
，
当 时， ，故 在 上恒成立，故函数 在 上单调递增，
无极值点，所以B错误； C中：设切点为 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，又切线过原点
，所以 ，即 ，即 ，所以
，设 （ 且 ），则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， ；当
时， ，且 的极大值为 ， 由题意可知，函数 的图象与
直线 有两个不同的交点，可得 ，所以 ，所以 ，所以
C正确；D中：要使 有两个零点，则方程 有两个解，即方程 有两个解，
高二数学 第 1 页 共 5 页即方程 有两个解，设 ，则 ，当 时， ；当
时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ，又因为 ，当 时， ，当 时，
，
所以 ，解得 ，所以D正确.故选：ACD.
12. 13.54
14. 【详解】 ，则
，
若函数 存在唯一极值点，则 在 上有唯一的根，所以由
可得 ，则 有唯一的根，直线 与函数
的图象有一个交点（非切点），又
，所以当 时， ， 单调递增，当 时，
， 单调递减，所以，函数 的极大值为 ，且当
时， ，当 时， ，则函数 得图象如右图所
示：
所以，当 时，即当 时，直线 与函数
的图象有一个交点（非切点），因此，实数 的取值范围是 .故答案为： .
15.【详解】（1）（1） 列联表，如图所
示：
假设 岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢
性疾病无关.
则
，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎
与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支
原体肺炎的频率为 ，由已知得，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
高二数学 第 2 页 共 5 页所以 , .
16.(1)60（2）2.02
【详解】（1）由题意可知： ，则 的展开式通项为
，令 ，解得 ，
所以展开式中的常数项为 .
（2）因为 展开式的通项为 （ 且 ），
根据题意得 ，即 ①.
的展开式中 的系数为 .
将①变形为 代入上式得 ，解得 或 ，
所以 或 ，则 ，
所以 .
17.(1)增区间为 和 ，减区间为 ，极大值为-1，极小值为
(2) .
【详解】（1） ，该函数的定义域为 ，
则 ，列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
极小
增 极大值 减 增
值
所以，函数 的增区间为 和 ，减区间为 ，
函数 的极大值为 ，极小值为 .
（2）当 时，由 可得 ，令 ，其中 ，
则 ，由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的增区间为 ，减区间为 ，所以， ，
所以， ，故实数 的取值范围是 .
18.(1) 更适宜， ；(2)分布列见解析.
高二数学 第 3 页 共 5 页【详解】（1）根据散点图的形状，判断 更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回
归方程类型，将 两边同时取自然对数，得 ，
依题意， ， ，
因此 ，则 ，
于是z关于x的线性回归方程为 ，所以y关于x的回归方程为 .
（2）依题意，X的可能值为 ， ，
，所以X的分布列为：
0 1 2 3
19.(1)证明见解析(2)证明见解析 (3)1
【详解】（1）设 ，则 ，当 时， ；当 时，
，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.因此 ，即 ；
（2）由泰勒公式知 ①，于是
②，由①②得
， ，
所以 ，即 ；
（3）由（2）知 ，所以当 时， ，
由此可知，当 时，有 对 恒成立，
下面证明：当 时， 对 不恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，即 ，
高二数学 第 4 页 共 5 页解得 或 .
因为当 时， ，故 舍去，
所以当 时， ，得 在 上单调递减，
故 ，即 ，
从而 在 上单调递减，故 ，
即 ，
因此 在 上单调递减，所以 ，矛盾，
所以当 时， 对 不恒成立，综上， 的最大值是1.
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