文档内容
高二考试数学试卷参考答案
!!#!十三棱锥的顶点的个数为!$%!&!’!
* " #
(!)!依题意得 & & !解得"&$!#&+,!"+#&!(!
( ! +$
! !
$!-!!+"& "#+("#+ "#+(!#!)错误!#%(!+"&#%"%("!+"#!#错误!易得(#!"!!
( (
%"三个向量不共面!-正确!(#+!+("&("#+"#+!!.错误!
$$#
’!-!"$%"&槡((%"&+(#(%"&+$#(&槡(&(+!/&%!0!当&%"时!’"&#&(&(+!/&%
$$# $$#
!0为增函数!所以’"&#%’""#&!0!因为"$%"为整数!所以"$%"的最小值为槡("&"!
"!#!设该三棱锥的体积为(12$!表面积为)12(!该三棱锥的内切球的半径为*12!
! $( $槡( $槡(
则 *)&(!所以*& & !故该三棱锥的内切球的直径为(*& 12!
$ ) ’ (
*!.!设#与!的夹角为!!由#&!%"!得#+!&"!两边同时平方得#(+(#$!%!(&"(!所以!
!
+(3!3(145!%’&0!解得145!&+ !又!&%/6!!7/6&!所以!&!(/6!
(
0!.!如图!连接$+!%,!设$+’%,&-!连接)-!则)-(平面$%+,!取%+的中点.!连
接-.!).!则)).-为侧面与底面所成的角!
/
设$%&%+&/!则-.& !
(
)-
在89*)-.中!9:;)).-& &槡(!
-.
槡( 槡(
所以)-& /!又-%& /!所以)%&槡)-(%-%(&/!
( (
所以正四棱锥)0$%+,的每个侧面均为正三角形!
! ! (!
所以顶点)的每个面角均为 !故正四棱锥)0$%+,在顶点)处的曲率为(!+’3 & !
$ $ $
$$# $$# $$# $$# ( ! $$# $$# $$# ! $$# $$# $$# $$# !$$#
7!)!因为12&1$%$2&1$% 3 "$%%$+#&1$% "$1%1%%$1%1+#& 1$
$ ( $ $
!$$# !$$# $$# !$$# ! $$# $$# $$#
% 1%% 1+!所以1.& 12& "1$%1%%1+#!
$ $ ( *
$$# $$# $$# $$# $$# !$$# $$# !$$# !$$# !$$#
因为1,&"1$!13%!14& 1+!所以1.& 1,% 13% 14!
( *" *# $
! ! ! ! !
因为.!,!3!4四点共面!所以 % % &!!即 % &’!
*" *# $ " #
因为"%#& ! ""%# # "! % !# & !" (% # % "# +!!当且仅当"&#& ! 时!等号成立!所以
’ " # ’ " # (
"%# 的最小值为!!
,!)-!在长方体$%+,0$%+, 中!因为%+(平面$%%$!所以%+($%!所以)正
! ! ! ! ! ! !
!高二数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#$%&
书书书确!#错误!因为%,,%,!%+(+,!所以-正确!.错误!
! !
$$# $$#
!/!)#.!因为,%&%+&"+!!/!!#!所以%为线段+,的中点!所以点,在平面%-+内!)
正确!
因为-$&-%&-+&$%&$+&%+&槡(!所以四面体-$%+为正四面体!#正确!
槡$ 槡*
因为点%到直线-+的距离为槡(3 & !且%为线段+,的中点!所以点,到直线-+
( (
槡*
的距离为(3 &槡*!-错误!
(
$$#
.$$-$&"%5&/!
设平面$-+的法向量为$&""!#!5#!则- 令"&!!得$&"!!!!+!#!
$$#
/$$-+&#%5&/!
$$#
$$# "$$+," ’ ’槡$
因为+,&"+(!/!(#!所以点,到平面$-+的距离为 & & !.正确!
"$" 槡$ $
"!"#$ (0
!!!#-.!此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为 & !)错误!设容器内液体
(" !("
$
"6#$ ! !"槡’ !" !/
倒去一半后液体的高度为612!则 & !解得6& !#正确!因为 3 &$!
!" ( ( (" (
!"%" !/ !
3 &’!所以当容器内液体的高度增加"12时!需要增加的液体的体积为 3"3
(" ( $
"$(%$3’%’(#& !7"! 12$!-正确!当容器内沉入一个棱长为$ 槡!12的正方体铁块时!设
$
容器内液体的高度为712!体积(& ! 3$(3!"%"$ 槡!#$&’*!12$!则 ’*! & "7#$ !
$ ’"! !"
$ $
7&!"3槡 ’* &槡 ’* 3!"$&槡 $ $’"/12!.正确!
’" ’"
!(!+(!依题意得#$!&&%(<=(%<=("&&%<=’%<=("&&%<=!//&&%(&/!解得&&
+(!
$%
!$!’’*’!!设球-的半径为!!由正弦定理得(8& &7!则8&’!则点,到平面
5>;)$+%
$%+的距离的最大值为’!球-的表面积为’!8(&*’!!
7槡!/" $$# $$#
!’! !连接$+!%,!设$+’%,&-!以-为坐标原点!-+!-,的
!/"
方向分别为"!#轴的正方向!建立如图所示的空间直角坐标系!则
+"!!/!/#!,"/!(!/#!,"/!(!’#!3"/!+(!(#!
!
$$# $$# $$#
+,&"+!!(!’#!,3&"/!+’!(#!+,&"+!!(!/#!
!
$$# $$#
设与+,!,3都垂直的向量为%&""!#!5#!
!
$$# $$#
.+"%(#%’5&/!
则%$+,&%$,3&/!即-
!
/+’#%(5&/!
令5&(!得%&"!/!!!(#!
!高二数学"参考答案!第!!!!(页#共"页$%
!"#$%&$$#
"%$+," 7 7槡!/"
则线段.9的长度的最小值为 & & !
"%" 槡!/" !/"
!"!证明("!#连接$+!则-为$+的中点!……………………………………………………(分
因为7为棱1$的中点!所以7-,1+!…………………………………………………’分
因为7-0平面1+,!1+1平面1+,! …………………………………………………"分
所以7-,平面1+,!………………………………………………………………………*分
"(#因为3!4分别为$7!7-的中点!所以34,$-!…0分
因为340平面$%+,!$-1平面$%+,!所以34,平面
$%+,!………………………………………………………7分
$
因为点.在棱1,上!且1.&$.,!所以1.& 1,!
’
$
由题意易得13& 1$!则3.,$,! …………………!/分
’
因为3.0平面$%+,!$,1平面$%+,!所以3.,平面
$%+,! ……………………………………………………………………………………!!分
因为341平面34.!3.1平面34.!34’3.&3!所以平面34.,平面$%+,! …
…………………………………………………………………………………………!$分
6
!*!解("!#设该正四棱台的高为6!则 3"’(%’3*%*(#&0*槡$! ………………………’分
$
解得6&$槡$! ………………………………………………………………………………"分
"(#在正四棱台$%+,0$%+, 中!底面$%+,与底面$%+, 均为正方形!且对应边
! ! ! ! ! ! ! !
互相平行!……………………………………………………………………………………0分
$$# $$# $$# $$# $$# $$# $$#
所以$%$$+&$%$"$%%%+#&"$%"(&*’!"$%"&7!………………,分
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
$$# $$# !$$# $$# !$$# $$# $$# $$# ! $$# $$# $$# $$#
,+$$+& ,+$$+& $%$"$$%$,%,+#& "$%$$$%$%$$,%
! ( ! ! ! ( ! ! ! ( ! ! ! ! !
$$# $$# !$$# $$# ! $$#
$%$,+#& $%$$$% "$%"(! ……………………………………………!(分
! ! ( ! ! ! ’ ! !
7+’ $$#
过$作$3($%!垂足为3"图略#!易得$$&%%!所以$3& &(!所以$%$
! ! ! ! ! ( ! !
$$# $$# $$# $$# $$# $$#
$$&$%$"$3%3$#&$%$$3&!*!…………………………………………!’分
! ! ! ! ! ! !
$$# $$# ! !
故,+$$+& 3!*% 3*’&(’!……………………………………………………!"分
! ( ’
!0!"!#证明(?1$(底面$%+,!@1$(%+!………………………………………………!分
?%+($%!1$’$%&$!@%+(平面1$%!……………………………………………$分
?%+,平面1$,!平面1$,’平面$%+,&$,!@%+,$,!………………………’分
@$,(平面1$%!…………………………………………………………………………"分
又$,1平面1$,!@平面1$,(平面1$%!…………………………………………*分
"(#解(?%+,$,!@直线1,与直线%+所成的角为)1,$! ………………………0分
!高二数学"参考答案!第!!!!$页#共"页$%
!"#$%&1$ $ $
?1$(底面$%+,!@1$($,!@9:;)1,$& & !即1$& $,!
$, ( (
……………………………………………………………………………7分
设$,为(个单位长度!以$为原点!$%!$,!$1所在直线分别为"轴!
#轴!5轴!建立如图所示的空间直角坐标系!则$"/!/!/#!,"/!(!/#!
$$# $$#
+"(!$!/#!1"/!/!$#!@+,&"+(!+!!/#!,1&"/!+(!$#! ……!/分
$$#
.%$+,&+("+#&/!
设平面1+,的法向量为%&""!#!5#!则-
$$#
/%$,1&+(#%$5&/!
取"&+$!则#&*!5&’!得%&"+$!*!’#!……………………………………………!(分
$$#
易知平面1$%的一个法向量为$,&"/!(!/#!…………………………………………!$分
$$#
$$# $,$% !( *槡*!
则145)$,!%*& $$# & & !…………………………………………!’分
"$,""%" (3槡*! *!
"槡*!
故平面1$%与平面1+,所成二面角的正弦值为 !……………………………!"分
*!
!7!"!#解(以,$!,+!,, 所在直线分别为"轴!#轴!5轴建立如图所示
!
的空间直角坐标系!则,"/!/!/#!$"!!/!!#!%"!!!!/#!,"/!/!!#!
! !
…………………………………………………………………!分
$$# $$#
,%&"!!!!+!#!$,&"+!!/!/#!……………………………(分
! ! !
$$# $$# $$# $$# $$#
$1&$,%,1&$,%",%&""+!!"!+"#!……………$分
! ! ! ! ! ! !
$$#
所以$1(&""+!#(%("(&$"(+("%!!…………………………’分
!
+( ! $$#
当"&+ & 时!$1(取得最小值!…………………………………………………"分
(3$ $ !
$$# " ( ! !# $$#
此时$1& + ! !+ !因为,%&"!!!!/#!
! $ $ $
!
$$# $$# +
所以145)$ $$ ! # 1!, $$# %*& "$ $ $$ ! ! # 1 1" $ " , , $$# % %" & 槡* $ &+ 槡 * $ !……………………………………0分
3槡(
$
$$# $$#
"(#" 解($$ &,, & "/!/!!#!设平面 $$1 的法向量为$& ""!#!5#!则
! ! !
$$#
.$$$
!
1&/! .""+!#"%"#+"5&/!
- 即- …………………………………………………7分
/$$$ $$ $ # &/! /5&/!
!
令"&"!得$&""!!+"!/#!………………………………………………………………,分
$$#
$$# $$# $$# "$$%+" "
因为%+&$,&"+!!/!/#!所以"145)$!%+*"& $$# & ! ………!!分
"$""%+" 槡("(+("%!
! " ! ! 槡$+!
因为!& !所以 &5>; & !又/2"2!!所以"& !……………!$分
* 槡("(+("%! * ( (
$$# " "( !
#证明(由"知5>;!&"145)$!%+*"& !则5>;(!& ! &
槡("(+("%! ("(+("%!5>;(!
!高二数学"参考答案!第!!!!’页#共"页$%
!"#$%&("(+("%! !+("
&(% ! …………………………………………………………………!"分
"( "(
! :"+! ":+(#"
所以 % &(% !
5>;(! "( "(
! :"+!
所以存在常数:&(!使得 % 为定值!…………………………………………!*分
5>;(! "(
且该定值为(!………………………………………………………………………………!0分
!,!"!#证明(因为#3!&"#5+5#!5"+"5!"#+"##!所以!3#&"#5+5#!5"
! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ( ! ( ! ( ! ( !
+"5!"#+"##…………………………………………………………………………(分
( ! ( ! ! (
&+"#5+5#!5"+"5!"#+"##&+#3!!
! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ( !
所以+"!3##!!………………………………………………………………………’分
$$# $$#
"(#"证明(设-$&""!#!5#!-%&""!#!5#!
! ! ! ( ( (
$$# $$#
则-$3-%&"#5+5#!5"+"5!"#+"##!
! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ( !
$$# $$# $$#
所以-$$"-$3-%#&"#5+"5#%#5"+"#5%"#5+"#5&/!……*分
! ! ( ! ! ( ! ! ( ! ! ( ! ( ! ( ! !
$$# $$# $$#
-%$"-$3-%#&"#5+"5#%#5"+#"5%5"#+5"#&/!…………7分
( ! ( ( ! ( ( ! ( ( ! ( ( ! ( ( ( !
$$# $$# $$# $$# $$# $$# $$# $$#
所以-$("-$3-%#!-%("-$3-%#!所以-$3-%是平面$的一个法向量!………,分
#解(设- $$# $&""!#!5#!- $$# %&""!#!5#!则145)- $$# $!- $$# %*& " ! " ( %# ! # ( %5 ! 5 ( !
! ! ! ( ( (
槡"(%#(%5(槡"(%#(%5(
! ! ! ( ( (
5>;)- $$# $!- $$# %*&槡!+ "" ! " ( %# ! # ( %5 ! 5 ( #(
""(%#(%5(#""(%#(%5(#
! ! ! ( ( (
""(%#(%5(#""(%#(%5(#+"""%##%55#(
&槡! ! ! ( ( ( ! ( ! ( ! ( ! ……………………………!/分
""(%#(%5(#""(%#(%5(#
! ! ! ( ( (
""(%#(%5(#""(%#(%5(#&"("(%#(#(%5(5(%"(#(%"(5(%"(#(%#(5(%"(5(%#(5(!
! ! ! ( ( ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ( ! ! ( ( ! ( !
"""%##%55#(&"("(%#(#(%5(5(%(""##%(""55%(##55!所以
! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! (
5>;)- $$# $!- $$# %*&槡 "" ! # ( +" ( # ! #(%"" ! 5 ( +" ( 5 ! #(%"# ! 5 ( +# ( 5 ! #( !…………………!$分
""(%#(%5(#""(%#(%5(#
! ! ! ( ( (
$$# $$# $$# $$#
所以"-$3-%"& 槡"#5+5##(%"5"+"5#(%""#+"##( &"-$""-%"$
! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ( !
$$# $$#
5>;)-$!-%*!………………………………………………………………………………!’分
$$# $$# $$# $$#
所以-$3-%的几何意义为"-$3-%"等于以-$!-%为邻边所作的平行四边形的面积!
…………………………………………………………………………………………!*分
$$# $$#
且-$3-%的方向与平面$-%垂直!……………………………………………………!0分
!高二数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
!"#$%&
