文档内容
2003 年辽宁高考数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1
1. （2003▪辽宁）与曲线y 关于原点对称的曲线为
x1
1 1 1 1
A.y B.y C.y D.y
1x 1x 1x 1x
4
2. （2003▪辽宁）已知x( ，0)，cosx ，则tan2x
2 5
7 7 24 24
A. B. C. D.
24 24 7 7
1 3i
3. （2003▪辽宁）
( 3i)2
1 3 1 3 1 3 1 3
A. i B. i C. i D. i
4 4 4 4 2 2 2 2
4. （2003▪辽宁）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP
2
A.(AB AD)，(0，1) B.(ABBC)，(0， )
2
2
C.(ABAD)，(0，1) D.(ABBC)，(0， )
2
2x 1(x0)
5. （2003▪辽宁）设函数 f(x) ，若 f(x ) 1，则x 的取值范围是
1 0 0
x2(x0)
A.(1，1) B.(1，)
C.(，2) (0，) D.(，1) (1，)
1
6. （2003▪辽宁）等差数列{a }中，已知a ，a a 4，a 33，则n为
n 1 3 2 5 n
A.48 B.49 C.50 D.51
x1
7. （2003▪辽宁）函数y ln ，x(1，)的反函数为
x1
ex 1 ex 1
A.y ，x(0，) B.y ，x(0，)
ex 1 ex 1
ex 1 ex 1
C.y ，x(，0) D.y ，x(，0)
ex 1 ex 1
8. （2003▪辽宁）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
a3 a3 a3 a3
A. B. C. D.
3 4 6 12
9. （2003▪辽宁）设a 0， f(x)ax2 bxc，曲线y f(x)在点P(x ， f(x ))处的切线的倾斜
0 0
角的取值范围为[0， ]，则P到曲线y f(x)对称轴距离的取值范围为
4
1 1 b b1
A.[0， ] B.[0， ] C.[0，| |] D.[0，| |]
a 2a 2a 2a
10. （2003▪辽宁）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7，0)，直线y x1与其相交于M、N 两
2
点，MN 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是
3
第1页 | 共16页x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
3 4 4 3 5 2 2 5
11. （2003▪辽宁）已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1).一质点从AB的
中点P 沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P后，依次反射到CD、DA和AB上的点P ，P 和
0 1 2 3
P （入射角等于反射角）.设P 的坐标为(x ，0)，若1 x 2，则tan的取值范围是
4 4 4 4
1 1 2 2 1 2 2
A.( ，1) B.( ， ） C.( ， ) D.( ， )
3 3 3 5 2 5 3
12. （2003▪辽宁）一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
A.3 B.4 C.3 3 D.6
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
1
13. （2003▪辽宁）(x2 )9展开式中x9的系数是________________.
2x
14. （2003▪辽宁）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的
产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______、
__________、__________辆.
15. （2003▪辽宁）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色
的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_________种．（以数字
作答）
16. （2003▪辽宁）对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB AC ，BDCD，则
BC AD；②若ABCD，AC BD，则BC AD；③若AB AC，BDCD，则BC AD；
④若ABCD，BD AC，则BC AD.其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序
号）
三、解答题（共6小题，满分12+12+12+12+14+12=74分）
17. （2003▪辽宁）已知正四棱柱ABCDABC D ，AB1，AA 2，点E为CC 中点，点F 为BD
1 1 1 1 1 1 1
中点.
⑴证明EF 为BD 与CC 的公垂线；
1 1
⑵求点D 到面BDE的距离.
1
18. （2003▪辽宁）已知函数 f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函数，其图象关于点
3
M( ，0)对称，且在区间[0， ]上是单调函数，求和的值.
4 2
19. （2003▪辽宁）设a 0，求函数 f(x) x ln(xa)，x(0，)的单调区间.
20. （2003▪辽宁）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A，A ，A ，B
1 2 3
队队员是B ，B ，B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
1 2 3
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
第2页 | 共16页2 1
A对B
1 1 3 3
2 3
A 对B
2 2 5 5
2 3
A 对B
3 3 5 5
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为、.
⑴求、的概率分布；
⑵求E，E.
21. （2003▪辽宁）设a 为常数，且a 3n12a (nN*).
0 n n1
1
⑴证明对任意n1，a [3n (1)n1•2n](1)n•2na ；
n 5 0
⑵假设对任意n 1有a a ，求a 的取值范围.
n n1 0
22. （2003▪辽宁）已知常数a 0，向量c (0，a)，i (1，0)，经过原点O以ci 为方向向量的
直线与经过定点A(0，a)以i 2c为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两
个定点E、F，使得|PE||PF |为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
第3页 | 共16页2003年辽宁省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2003•辽宁）与曲线 关于原点对称的曲线为（ ）
A． B． C． D．
【分析】题目中：“曲线 关于原点对称的曲线”，只要将原函数式中的x换成﹣x，y换成﹣y，
即可得到新曲线的函数解析式．
【解答】解：∵曲线 关于原点对称的曲线，
∴只要将原函数式中的x换成﹣x，y换成﹣y，
即可得到新曲线的函数解析式，
即﹣y= ，整理，得 ．
故选A．
【点评】本题考查函数图象的变换，由于使用了数形结合的方法，使问题便迎刃而解，且解法简
捷．
2．（5分）（2003•全国）已知x∈（﹣ ，0），cosx= ，则tan2x等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x．
【解答】解：∵cosx= ，x∈（﹣ ，0），
∴sinx=﹣ ．∴tanx=﹣ ．
∴tan2x= = =﹣ × =﹣ ．
故选D．
【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．
3．（5分）（2003•天津） =（ ）
A． B． C． D．
【分析】化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即可求得结果．
【解答】解： =
故选B．
【点评】复数代数形式的混合运算，是基础题．
4．（5分）（2003•辽宁）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则 =
第4页 | 共16页（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先过P分别作AD、AB的平行线，可得 ， ，运用向量的加法运算可得
=λ（ + ），λ∈（0，1）．
【解答】解：设P是对角线AC上的一点（不含A、C），过P分别作AD、AB的平行线，则可得．
设 ，则λ∈（0，1）且 ．于是 =λ（ + ），λ∈（0，1）．
故选A．
【点评】本题主要考查向量的线性运算和向量加法的几何意义．属基础题．
5．（5分）（2003•全国）设函数 若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件
进行合并．
【解答】解：当x0≤0时， ，则x0＜﹣1，
当x0＞0时， 则x0＞1，
故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选D．
【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，
属于常规题．
6．（5分）（2003•天津）等差数列{an}中，已知a1= ，a2+a5=4，an=33，则n为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an的表达式，然后令an=33，解方程
即可．
【解答】解：设{an}的公差为d，
∵ ，a2+a5=4，
∴ +d+ +4d=4，即 +5d=4，
解得d= ．
∴an= + （n﹣1）= ，
令an=33，
即 =33，
解得n=50．
故选C．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用．
第5页 | 共16页7．（5分）（2003•天津）函数 ，x∈（1，+∞）的反函数为（ ）
A． ，x∈（0，+∞） B． ，x∈（0，+∞）
C． ，x∈（﹣∞，0） D． ，x∈（﹣∞，0）
【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域等函数知
识和方法；
将 ，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反
函数的定义域．
【解答】解：由已知 ，解x得 ，
令 ，
当x∈（1，+∞）时，m∈（1，+∞），
则 ，
∴函数 ，x∈（1，+∞）的反函数为 ，x∈（0，+∞）
故选B．
【点评】这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答时注意两点，一是
借助指数式和对数式的互化求x，二是函数 ，x∈（1，+∞）值域的确定，这里利用”常数
分离法“和对数函数的性质推得．
8．（5分）（2003•天津）棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积
为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积．
【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的．
一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是 ，高为 ，
所以八面体的体积为： ．
故选C．
【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础
题．
第6页 | 共16页9．（5分）（2003•天津）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的
倾斜角的取值范围为[0， ]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（ ）
A．[0， ] B．[0， ] C．[0，| |] D．[0，| |]
【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围．
【解答】解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是[0， ]，
∴f′（x0）=2ax0+b∈[0，1]，
∴P到曲线y=f（x）对称轴x=﹣ 的距离d=x0﹣（﹣ ）=x0+
∴x0∈[ ， ]．∴d=x0+ ∈[0， ]．
故选：B．
【点评】本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心．
10．（5分）（2003•全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ ，0），直线y=x﹣1与其相交于
M、N两点，MN中点的横坐标为﹣ ，则此双曲线的方程是（ ）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定
理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最
后解a、b的方程组即得双曲线方程．
【解答】解：设双曲线方程为 ﹣ =1．
将y=x﹣1代入 ﹣ =1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．
由韦达定理得x1+x2= ，则 = =﹣ ．
又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，
所以双曲线的方程是 ．
故选D．
【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．
11．（5分）（2003•全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质
点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD．DA和AB上的点
P2．P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（ ）
A．（ ，1） B．（ ， ）C．（ ， ）D．（ ， ）
【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tanθ= ，用排除法
解答．
【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，
此时容易求出tanθ= ，由题设条件知，1＜x4＜2，
第7页 | 共16页则tanθ≠ ，排除A．B．D，
故选C．
【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案．
12．（5分）（2003•全国）棱长都为 的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．3 D．6π
【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为 的四面体的四个顶点在同一球
面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=
，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．
【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：
（1）一个正方体可以内接一个正四面体；
（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．
则球的半径R= ，
∴球的表面积为3π，
故答案选A．
【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为 a，外接球直径等于长方体的对角线长
a．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2003•全国）在 的展开式中，x3的系数是 ﹣ （用数字作答）
【分析】首先根据题意，写出 的二项展开式，可得9﹣2r=3，解可得r=3，将其代入二项展
开式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，对于 ，
有Tr+1=C99﹣r•x9﹣r•（﹣ ）r=（﹣ ）r•C99﹣r•x9﹣2r，
令9﹣2r=3，可得r=3，
当r=3时，有T4=﹣ x3，
故答案﹣ ．
【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．
14．（4分）（2003•天津）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为
检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6
辆、 30 辆、 10 辆．
【分析】由题意先求出抽样比例即为 ，再由此比例计算出在三种型号的轿车抽取的数目．
【解答】解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为 = ，
而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按 比例，
故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆．
故答案为：6，30，10．
第8页 | 共16页【点评】本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容
量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．
15．（4分）（2003•天津）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4
种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 120
种．（以数字作答）
【分析】由题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手
分类求．②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，③与⑤同色，则②④或⑥④同色，②与④且③与⑥
同色，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：从题意来看6部分种4种颜色的花，
又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．
（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，
所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；
（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，
所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；
（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种．
∴共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种．
故答案为：120
【点评】这是一道理科的高考题，本题还可以这样解：记颜色为A，B，C，D四色，先安排1，2，3
有A43种不同的栽法，
不妨设1，2，3已分别栽种A，B，C，则4，5，6栽种方法共5种，
由以下树状图清晰可见．
根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A43×5=120．
16．（4分）（2003•辽宁）对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；
②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．
其中真命题的序号是 ①④ ．（写出所有真命题的序号）
【分析】证明线线垂直一般采用线面垂直来证线线垂直．①的证明可转借化证明BC⊥面AHD．④的证
明可转化为证垂心，然后再证明BC⊥面AED来证明BC⊥AD．②③条件下不能求出两线的夹角，也无
法保证一个线垂直于另一个线所在的平面，故不对．
【解答】证明：如图
对于①取BC的中点H，连接AH与DH，可证得BC⊥面AHD，进而可得BC⊥AD，故①对；
对于②条件不足备，证明不出结论；
对于③条件不足备，证明不出结论；
对于④作AE⊥面BCD于E，连接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出DE⊥
BC，进而可证得BC⊥面AED，即可证出BC⊥AD．
综上知①④正确，故应填①④．
第9页 | 共16页【点评】本题在判断时有一定的难度，需要构造相关的图形，在立体几何中，构造法是一个常 用的方
法，本题用其来将线线证明转化线面证明，
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2003•天津）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1
中点．
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离．
【分析】（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四
边形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．
（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．求
解即得．
【解答】解：（1）取BD中点M．
连接MC，FM．
∵F为BD1中点，
∴FM∥D1D且FM= D1D．
又EC CC1且EC⊥MC，
∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．
∴EF⊥面DBD1．
∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．
故EF为BD1与CC1的公垂线．
（Ⅱ）解：连接ED1，有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，
设点D1到面BDE的距离为d．
则 ．
∵AA1=2，AB=1．
∴ ， ，
第10页 | 共16页∴ ．
∴
故点D1到平面DBE的距离为 ．
【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．
18．（12分）（2003•天津）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，
其图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数，求φ和ω的值．
【分析】由f（x）是偶函数可得的值，图象关于点 对称可得函数关系
，可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．
【解答】解：由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x），
即sin（﹣ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依题设0≤φ≤π，所以解得φ= ，
由f（x）的图象关于点M对称，
得 ，
取x=0，得f（ ）=sin（ ）=cos ，
∴f（ ）=sin（ ）=cos ，
∴cos =0，
又w＞0，得 = +kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω= （2k+1），k=0，1，2，…
当k=0时，ω= ，f（x）=sin（ ）在[0， ]上是减函数，满足题意；
第11页 | 共16页当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+ ）=cos2x，在[0， ]上是减函数，满足题意；
当k=2时，ω= ，f（x）=sin（ x+ ）在[0， ]上不是单调函数；
所以，综合得ω= 或2．
【点评】本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能
力．
19．（12分）（2003•天津）设a＞0，求函数f（x）= ﹣ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间．
【分析】由题意函数f（x）= ﹣ln（x+a），首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的
关系对a的大小进行分类讨论．
【解答】解：由题意得 ，
令f′（x）=0，
即x2+（2a﹣4）x+a2=0，
其中△=4（a﹣2）2﹣4a2=8﹣8a，
（i）当a＞1时，△＜0成立，
对所有x＞0，有x2+（2a﹣4）+a2＞0．
即f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（ii）当a=1时，△=0成立，
对x≠1，有x2+（2a﹣4）x+a2＞0，
即f′（x）＞0，
此时f（x）在（0，1）内单调递增，且在（1，+∞）内也单调递增，
又知函数f（x）在x=1处连续，
因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（iii）当0＜a＜1时，△＞0成立，
令f′（x）＞0，
即x2+（2a﹣4）x+a2＞0，
解得x＜2﹣a﹣2 或x＞2﹣a+2 ，
因此，函数f（x）在区间 ， 内也单调递增．
令f′（x）＜0，
即x2+（2a﹣4）x+a2＜0，
解得 ，
因此，函数f（x）在区间 内单调递减．
【点评】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．
20．（12分）（2003•天津）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，
A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵 A队队员胜的 A队队员负的
队员 概率 概率
A1对
B1
A2对
B2
A3对
B3
第12页 | 共16页现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η．
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη．
【分析】（1）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，根据相互独立事件同时发生的概率做出变量
ξ的分布列，根据两者之间和为3，得到另一个变量的分布列．
（2）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，两个变量的期望之间也有这种关系，两个变量的期
望的和是3，解出一个，另一个用做差来解．
【解答】解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0．
，
，
．
根据题意知ξ+η=3，
∴P（η=0）=P（ξ=3）= ，
P（η=1）=P（ξ=2）= ，
P（η=2）=P（ξ=1）= ，
P（η=3）=P（ξ=0）= ．
（2） ，
∵ξ+η=3，
∴ ．
【点评】本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能
力，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量
也不大．
21．（14分）（2003•天津）设an为常数，且an=3n﹣1﹣2an﹣1（n∈N*）．
（1）证明对任意n≥1，有 ；
（2）假设对任意n≥1有an＞an﹣1，求a0的取值范围．
【分析】（1）选择利用数学归纳法为妥，需要注意的是有归纳假设ak到ak+1的变形，利用归纳假设，
注意目标的形式就能得到结果；另外可以利用递推数列来求得通项公式，当然需要对递推数列的
an+1=pan+f（n）这种形式的处理要合适；这种形式的一般处理方法是：两边同时除以pn+1或者是构
造一个等比数列，构造法有一定的技巧，如本题可设an﹣a3n=﹣2（an﹣1﹣a3n﹣1），
（2）由（1）的结论可作差an﹣an﹣1＞0并代入运算，由于含有（﹣1）n的形式要注意对n=2k﹣1
和n=2k进行讨论，只需取k=1，2时得到a0的取值范围即可，另外一个思路是只需取n=1，2时得到
a0的范围，然后分n=2k﹣1和n=2k进行证明an﹣an﹣1＞0．具体解法参见参考答案．
【解答】解：（1）证法一：
（i）当n=1时，由已知a1=1﹣2a0，等式成立；
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，
则 ，
第13页 | 共16页那么
= ．
也就是说，当n=k+1时，等式也成立．
根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立．
证法二：如果设an﹣a3n=﹣2（an﹣1﹣a3n﹣1），
用an=3n﹣1﹣2an﹣1代入，可解出 ．
所以 是公比为﹣2，
首项为 的等比数列．
∴ ．
即 ．
（2）解法一：由an通项公式 ．
∴an＞an﹣1（n∈N）等价于 ．①
（i）当n=2k﹣1，k=1，2，时，
①式即为
即为 ．
②式对k=1，2，都成立，
有 ．
（ii）当n=2k，k=1，2时，
①式即为 ．
即为 ．
③式对k=1，2都成立，有 ．
综上，①式对任意n∈N*，成立，有 ．
故a0的取值范围为 ．
解法二：如果an＞an﹣1（n∈N*）成立，
特别取n=1，2有a1﹣a0=1﹣3a0＞0．a2﹣a1=6a0＞0．
因此 ．下面证明当 ．时，
对任意n∈N*，an﹣an﹣1＞0．
由an的通项公式5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1+（﹣1）n﹣13×2n﹣1+（﹣1）n5×3×2n﹣1a0．
第14页 | 共16页（i）当n=2k﹣1，k=1，2时，
5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1+3×2n﹣1﹣5×3×2n﹣1a0＞2×2n﹣1+3×2n﹣1﹣5×3×2n﹣1=0
（ii）当n=2k，k=1，2时，
5（an﹣an﹣1）=2×3n﹣1﹣3×2n﹣1+5×3×2n﹣1a0＞2×3n﹣1﹣3×2n﹣1≥0．
故a0的取值范围为 ．
【点评】本题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活综合运用数学知识分析问
题和解决问题的能力．对递推数列的an+1=pan+f（n）这种形式的考查是一个难点，同时除以pn+1得
到 ，然后用累加法得到 的等式可得结果，或者是构造一个等比数列an+1+kf（n）
=p（an+kf（n））（不具有普适性）．
22．（12分）（2003•天津）已知常数a＞0，向量 =（0，a）， =（1，0），经过原点O以 +λ 为方
向向量的直线与经过定点A（0，a）以 ﹣2λ 为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是
否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】根据 和 ，求得 +λ 和 ﹣2λ 进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，
y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当 时，方程为圆不符合题意；
当 时和当 时，P的轨迹为椭圆符合两定点．
【解答】解：∵ =（0，a）， =（1，0），
∴ +λ =（λ，a）， ﹣2λ =（1，﹣2λa）．
因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y﹣a=﹣2λax．
消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y﹣a）=﹣2a2x2．
整理得 ．①
因为a＞0，所以得：
（i）当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当 时，方程①表示椭圆，焦点 和 为合乎
题意的两个定点；
（iii）当 时，方程①也表示椭圆，焦点 和
为合乎题意的两个定点．
【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲
线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．
第15页 | 共16页第16页 | 共16页
