2003年北京高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

2003 年北京高考理科数学真题及答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的. 1．（5分）设集合A{x|x2 10}，B{x|log x0|}，则A B等于( ) 2  A．{x|x1} B．{x|x0} C．{x|x1} D．{x|x1或 x1} 1 2．（5分）设y 40.9，y 80.48，y ( )1.5，则( ) 1 2 3 2 A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 3 2 3 5 3．（5分）“cos2 ”是“2k ,kZ ”的( ) 2 12 A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 4．（5分）已知，是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是( ) A．若m//， n，则m//n B．若m//n，m，则n  C．若m，m，则// D．若m，m，则 5．（5分）极坐标方程2cos22cos1表示的曲线是( ) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 6．（5分）若zC，且|z22i|1，则|z22i|的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 7．（5分）如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) 3 2 3 1 A．2 B．  C．  D．  2 3 2 8．（5分）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块 土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有( ) A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 第1页 | 共17页3n 2n (1)n(3n 2n) 9．（5 分）若数列{a }的通项公式是a  ，n1，2，，则 n n 2 lim(a a a )等于( ) 1 2 n n 11 17 19 25 A． B． C． D． 24 24 24 24 10．（5分）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举 权，他们的编号分别为1，2，，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”， 1,第i号同学同意第j号同学当选. 令a  其中i1，2，，k，且 j1，2，，k， ij 0,第i号同学不同意第j号同学当选. 则同时同意第1，2号同学当选的人数为( ) A．a a a a a a 11 12 1k 21 22 2k B．a a a a a a 11 21 k1 12 22 k2 C．a a a a a a 11 12 21 22 k1 k2 D．a a a a a a 11 21 12 22 1k 2k 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. x2 x1  11．（4分）函数 f(x)lg(1x2)，g(x)0 |x|„1，h(x)tan2x中， 是偶函  x2 x1. 数． x2 y2 12．（4分）已知双曲线方程为  1，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛 16 9 物线方程为 ． 13．（4分）如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 ． 14．（4分）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与 圆的面积之和最小，正方形的周长应为 ． 第2页 | 共17页三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数 f(x)cos4 x2sinxcosxsin4 x （Ⅰ）求 f(x)的最小正周期；  （Ⅱ）求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值． 2 16．（13分）已知数列{a }是等差数列，且a 2，a a a 12． n 1 1 2 3 （1）求数列{a }的通项公式； n （2）令b a xn(xR)，求数列{b }前n项和的公式． n n n 17．（15分）如图，三棱柱ABCABC 的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA 垂直于底 1 1 1 1 3 3 面ABC，AA  ，D是CB延长线上一点，且BDBC． 1 2 （1）求证：直线BC //平面ABD； 1 1 （2）求二面角B ADB的大小； 1 （3）求三棱锥C ABB 的体积． 1 1 18．（15 分）如图，已知椭圆的长轴 AA 与x轴平行，短轴BB 在 y轴上，中心M(0， 1 2 1 2 r)(br0 （Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率； （Ⅱ）设直线 yk x与椭圆交于C(x ， y )，D(x ， y )(y 0)，直线 yk x与椭圆次于 1 1 1 2 2 2 2 k xx k x x G(x ，y )，H(x ，y )(y 0)．求证： 1 1 2  1 3 4 ； 3 3 4 4 4 x x x x 1 2 3 4 （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在C，D，G，H ，设CH 交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求 证：|OP||OQ| 第3页 | 共17页（证明过程不考虑CH 或GD垂直于x轴的情形） 19．（14分）有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且AB AC a，BC 2b，今 计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建 立坐标系如图）． （Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？ （Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？ 20．（14分）设y f(x)是定义在区间[1，1]上的函数，且满足条件，① f(1) f （1） 0，②对任意的u、v[1，1]，都有| f(u) f(v)|„ |uv| （Ⅰ）证明：对任意x[1，1]，都有x1„ f(x)„1x （Ⅱ）证明：对任意的u，v[1，1]都有| f(u) f(v)|„1 （ Ⅲ ） 在 区 间 [1， 1]上 是 否 存 在 满 足 题 设 条 件 的 奇 函 数 y f(x)且 使 得  1 | f(u) f(v)||uv|uv[0, ]   2  ；若存在请举一例，若不存在，请说明理由． 1 | f(u) f(v)||uv|uv[ ,1]  2 第4页 | 共17页一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的. 1．（5分）设集合A{x|x2 10}，B{x|log x0|}，则A B等于( ) 2  A．{x|x1} B．{x|x0} C．{x|x1} D．{x|x1或 x1} 【解答】解：根据题意：集合A{x|x1或x1}，集合B{x|x1} A B{x|x1}．  故选：A． 1 2．（5分）设y 40.9，y 80.48，y ( )1.5，则( ) 1 2 3 2 A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 3 2 1 【解答】解：y 40.9 220.9 21.8，y 80.48 230.48 21.44，y ( )1.5 21.5． 1 2 3 2 因为函数y2x在定义域上为单调递增函数，所以y  y  y ． 1 3 2 故选：D． 3 5 3．（5分）“cos2 ”是“2k ,kZ ”的( ) 2 12 A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 3 5 5 【解答】解：由cos2 ，得22k ，即k ,kZ ， 2 6 12 5 5 所以k ,kZ ，是“2k ,kZ ”的必要不充分条件． 12 12 3 5 故“cos2 ”是“2k ,kZ ”的必要不充分条件． 2 12 故选：A． 4．（5分）已知，是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是( ) A．若m//， n，则m//n B．若m//n，m，则n  C．若m，m，则// D．若m，m，则 第5页 | 共17页【解答】解：对于A，若m//，m， n，则m//n  但条件中缺少“m”，故不一定有m//n成立，故A不正确； 对于B，根据两条平行线与同一个平面所成角相等，可得 若m//n，m，则n，故B正确； 对于C，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得 若m，m，则//，故C正确； 对于D，若直线与平面垂直，则直线与平面内所有直线都垂直 故若m，m，则，故D正确 因此，不正确的命题只有A 故选：A． 5．（5分）极坐标方程2cos22cos1表示的曲线是( ) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【解答】解：极坐标方程2cos22cos1可化为：2(cos2sin2)2cos1， x2  y2 2x1，即(x1)2  y2 2，它表示中心在(1,0)的双曲线． 极坐标方程2cos22cos1表示的曲线是双曲线． 故选：D． 6．（5分）若zC，且|z22i|1，则|z22i|的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：由题意知，|Z 22i|1表示：复平面上的点到(2,2)的距离为1的圆， 即以(2,2)为圆心，以1为半径的圆， |Z 22i|表示：圆上的点到(2,2)的距离的最小值， 即圆心(2,2)到(2,2)的距离减去半径1， 则|2(2)|13 故选：B． 7．（5分）如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( 第6页 | 共17页) 3 2 3 1 A．2 B．  C．  D．  2 3 2 【解答】解： 圆台的母线与底面成60角，  设上底圆半径为r ，下底面圆半径为R，母线为l，可得l 2(Rr) 因此，圆台的侧面积为S rRl 2  R2 r2 侧 又 圆台的高h 3(Rr)  1 圆台的轴截面面积为S  2r2Rh 3  R2 r2 轴 2 由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为 2 3 2(R2 r2): 3(R2 r2) 3 故选：C． 8．（5分）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块 土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有( ) A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 【解答】解： 黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C2种，  3 在不同土质的三块土地上种植的方法是A3， 3 种法共有C2 A3 18种， 3 3 故选：B． 3n 2n (1)n(3n 2n) 9．（5 分）若数列{a }的通项公式是a  ，n1，2，，则 n n 2 lim(a a a )等于( ) 1 2 n n 11 17 19 25 A． B． C． D． 24 24 24 24 第7页 | 共17页3n 2n   3n 2n  n为奇数 【解答】解：a    2 n 3n 2n 3n 2n n为偶数   2 2n n为奇数 即a  n 3n (n为偶数). a a a (2123 25)(32 34 36)． 1 2 n 1 1 21 32 2 9 19 lim(a a a )     ．， n 1 2 n 122 132 1 1 24 1 1 4 9 故选：C． 10．（5分）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举 权，他们的编号分别为1，2，，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”， 1,第i号同学同意第j号同学当选. 令a  其中i1，2，，k，且 j1，2，，k， ij 0,第i号同学不同意第j号同学当选. 则同时同意第1，2号同学当选的人数为( ) A．a a a a a a 11 12 1k 21 22 2k B．a a a a a a 11 21 k1 12 22 k2 C．a a a a a a 11 12 21 22 k1 k2 D．a a a a a a 11 21 12 22 1k 2k 【解答】解：第1，2，，k名学生是否同意第1号同学当选依次由a ，a ，a ，， 11 21 31 a 来确定(a 1表示同意，a 0表示不同意或弃权），是否同意第2号同学当选依次由 k1 ij ij a ，a ，，a 确定， 12 22 k2 而是否同时同意1，2号同学当选依次由a a ，a a ，，a a 确定， 11 12 21 22 k1 k2 故同时同意1，2号同学当选的人数为a a a a a a ， 11 12 21 22 k1 k2 故选：C． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 第8页 | 共17页x2 x1  11．（4分）函数 f(x)lg(1x2)，g(x)0 |x|„1，h(x)tan2x中， f(x)、g(x)  x2 x1. 是偶函数． 【解答】解： f(x)lg[1(x)2]lg(1x2) f(x)，  f(x)为偶函数． 又 1当1„ x„1时，1„ x„1，  g(x)0． 又g(x)0，g(x)g(x)． 2当x1时，x1， g(x)(x)2x2． 又 g(x)x2，g(x)g(x)．  3当x1时，x1， g(x)(x)2x2． 又 g(x)x2，g(x)g(x)．  综上，对任意xR都有g(x)g(x)． g(x)为偶函数． h(x)tan(2x)tan2xh(x)， h(x)为奇函数． x2 y2 12．（4分）已知双曲线方程为  1，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛 16 9 物线方程为 y2 36(x4) ． 【解答】解：根据双曲线方程可知a4，b3 c a2 b2 5， 左顶点坐标为(4,0)，右焦点坐标为(5,0)， 抛物线顶点为双曲线的左顶点，焦点为右焦点，  第9页 | 共17页p18，焦点在顶点的右侧，在x轴上 抛物线方程y2 36(x4)． 故答案为：y2 36(x4)． 13．（4分）如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 1 a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 r2(ab) ． 2 【解答】解：取两个相同的几何体，倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体． 1 1 所求几何体的体积： r2(ab) r2(ab) 2 2 1 故答案为： r2(ab) 2 14．（4分）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与 4 圆的面积之和最小，正方形的周长应为 ． 4 1x 【解答】解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1x，半径r  ． 2 x x2 1x2 S ( )2  ，S  ． 正 4 16 圆 42 4x2 8x4 S S  (0x1)． 正 圆 16 4 当x 时有最小值． 4 4 答案： 4 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数 f(x)cos4 x2sinxcosxsin4 x （Ⅰ）求 f(x)的最小正周期；  （Ⅱ）求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值． 2 【解答】解：（Ⅰ）由题意知， f(x)cos4 x2sinxcosxsin4 x 第10页 | 共17页(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2x  cos2xsin2x 2cos(2x ) 4 2 f(x)的最小正周期T  ． 2    5 （Ⅱ） 0„ x„ ， „ 2x „  2 4 4 4   2 当2x  时， f(x)取最大值为 ， 4 4 2  当2x 时， f(x)取最小值为1 4   f(x) 2cos(2x )的最大值为1，最小值为 2 4 16．（13分）已知数列{a }是等差数列，且a 2，a a a 12． n 1 1 2 3 （1）求数列{a }的通项公式； n （2）令b a xn(xR)，求数列{b }前n项和的公式． n n n 【解答】解：（1）设数列{a }的公差为d， n 则a a a 3a 3d 12． 1 2 3 1 又a 2，得d 2． 1 a 2n． n （2）当x0时，b 0，S 0， n n 当x0时，令S b b b ， n 1 2 n 则由b a xn 2nxn，得 n n S 2x4x2 (2n2)xn12nxn，① n xS 2x2 4x3 (2n2)xn 2nxn1．② n 当x1时，①式减去②式，得 (1x)S 2(xx2 xn)2nxn1 n 2x(1xn)  2nxn1． 1x 2x(1xn) 2nxn1 S   ． n (1x)2 1x 第11页 | 共17页当x1时，S 242nn(n1)． n 综上可得，当x1时，S n(n1)； n 2x(1xn) 2nxn1 当x1时，S   ． n (1x)2 1x 17．（15分）如图，三棱柱ABCABC 的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA 垂直于底 1 1 1 1 3 3 面ABC，AA  ，D是CB延长线上一点，且BDBC． 1 2 （1）求证：直线BC //平面ABD； 1 1 （2）求二面角B ADB的大小； 1 （3）求三棱锥C ABB 的体积． 1 1 【解答】解：（1） CB//CB ，且BDBC BC ，  1 1 1 1 四边形BDBC 是平行四边形，可得BC //DB ． 1 1 1 1 又BD平面ABD，BC  平面ABD， 1 1 1 1 直线BC //平面ABD 1 1 （2）过B作BE  AD于E，连接EB 1 BB 平面ABD，BE是BE在平面ABD内的射影  1 1 结合BE  AD，可得BE  AD， 1 BEB是二面角B ADB的平面角． 1 1 BDBC  AB，  1 3 E 是AD的中点，得BE 是三角形ACD的中位线，所以BE AC  ． 2 2 第12页 | 共17页3 3 BB 2 在Rt△BBE 中，tanBEB 1   3 1 1 BE 3 2 BEB60，即二面角B ADB的大小为60 1 1 （3）过A作AF BC于F ， BB 平面ABC，BB 平面BBCC  1 1 1 1 平面BBCC 平面ABC 1 1 AF BC，平面BBCC 平面ABC BC  1 1 AF 平面BBCC，即AF 为点A到平面BBCC的距离． 1 1 1 1 3 3 3 正三角形ABC中，AF  3 ，  2 2 1 9 3 3 3 27 三棱锥C ABB 的体积V V     ． 1 1 C1ABB1 AC1BB1 3 4 2 8 18．（15 分）如图，已知椭圆的长轴 AA 与x轴平行，短轴BB 在 y轴上，中心M(0， 1 2 1 2 r)(br0 （Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率； （Ⅱ）设直线 yk x与椭圆交于C(x ， y )，D(x ， y )(y 0)，直线 yk x与椭圆次于 1 1 1 2 2 2 2 k xx k x x G(x ，y )，H(x ，y )(y 0)．求证： 1 1 2  1 3 4 ； 3 3 4 4 4 x x x x 1 2 3 4 （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在C，D，G，H ，设CH 交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求 证：|OP||OQ| （证明过程不考虑CH 或GD垂直于x轴的情形） 第13页 | 共17页【解答】（Ⅰ）解： 椭圆的长轴AA 与x轴平行，短轴BB 在y轴上，中心M(0,r)，  1 2 1 2 x2 (yr)2 椭圆方程为  1 a2 b2 焦点坐标为F( a2 b2,r)，F ( a2 b2,r) 1 2 a2 b2 离心率e a x2 (yr)2 （ Ⅱ ） 证 明 ： 将 直 线 CD的 方 程 yk x代 入 椭 圆 方 程  1， 得 1 a2 b2 b2x2 a2(k xr)2 a2b2 1 整理得(b2 a2k2)x2 2ka2rx(a2r2 a2b2)0 1 1 2ka2r a2r2 a2b2 根据韦达定理，得x x  1 ，xx  ， 1 2 b2 a2k2 1 2 b2 a2k2 1 1 xx r2 b2 所以 1 2  ① x x 2kr 1 2 1 x2 (yr)2 x x r2 b2 将直线GH 的方程yk x代入椭圆方程  1，同理可得 3 4  ② 2 a2 b2 x x 2k r 3 4 2 k xx r2 b2 k x x 由 ①、②得 1 1 2   2 3 4 x x 2r x x 1 2 3 4 所以结论成立 （Ⅲ）证明：设点P(p,0)，点Q(q,0) x  p k x 由C、P、H 共线，得 1  1 1 x  p k x 4 2 4 (k k )xx 解得 p 1 2 1 4 k x k x 1 1 2 4 第14页 | 共17页x  p k x 由D、Q、G共线，同理可得 2  1 2 x  p k x 3 2 3 (k k )x x q 1 2 2 3 k x k x 1 2 2 3 k xx k x x (k k )xx (k k )x x 由 1 1 2  2 3 4 变形得 1 2 1 4  1 2 2 3 x x x x k x k x k x k x 1 2 3 4 1 1 2 4 1 2 2 3 所以| p||q| 即|OP||OQ| 19．（14分）有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且AB AC a，BC 2b，今 计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建 立坐标系如图）． （Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？ （Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？ 【解答】解：（Ⅰ）由题设条件ab0，设P的坐标为(0,y)，则P至三镇距离的平方和 为 f(y)2(b2  y2)( a2 b2  y)2 3y2 2 a2 b2ya2 b2 a2 b2 所以，当y 时，函数 f(y)取得最小值． 3 第15页 | 共17页a2 b2 答：点P的坐标是(0, ) 3 （Ⅱ）记h a2 b2   b2  y2,当 b2  y2… h y P至三镇的最远距离为gx  h y ,当 b2  y2  h y. h2 b2 h2 b2 由 b2  y2… |h y|解得y… ，记y*  ， 2h 2h   b2  y2,当y…y* 于是gx  h y ,当y y*. h2 b2 当y*  …0，即h…b时， 2h 因为 b2  y2 在[y*，)上是增函数，而|h y|在(，y*]上是减函数． h2 b2 所以y y*时，函数g(y)取得最小值．点P的坐标是(0, ) 2h h2 b2 当y*  0，即hb时，因为 b2  y2 在[y*，)上当y0函数g(y)取得最小值b， 2h 而|h y|在(， y*]上是减函数，且|h y|b，所以 y0时，函数 g(y)取得最小 值． h2 b2 答：当h…b时，点P的坐标是(0, )；当hb时，点P的坐标是(0,0)，其中h a2 b2 2h 20．（14分）设y f(x)是定义在区间[1，1]上的函数，且满足条件，① f(1) f （1） 0，②对任意的u、v[1，1]，都有| f(u) f(v)|„ |uv| （Ⅰ）证明：对任意x[1，1]，都有x1„ f(x)„1x （Ⅱ）证明：对任意的u，v[1，1]都有| f(u) f(v)|„1 （ Ⅲ ） 在 区 间 [1， 1]上 是 否 存 在 满 足 题 设 条 件 的 奇 函 数 y f(x)且 使 得 第16页 | 共17页 1 | f(u) f(v)||uv|uv[0, ]   2  ；若存在请举一例，若不存在，请说明理由． 1 | f(u) f(v)||uv|uv[ ,1]  2 【解答】（Ⅰ）证明：由题设条件可知， 当x[1，1]时，有| f(x)|| f(x) f （1）|„ |x1|1x，即x1„ f(x)„1x． （Ⅱ）证明：对任意的u，v[1，1]， 当|uv|„1时，有| f(u) f(v)|„ |uv|„1 当|uv|1时，u v0，不妨设u[1，0)，v(0，1]，则vu1  从而有| f(u) f(v)|„ | f(u) f(1)|| f(v) f （1）|„ |u1||v1|2(vu)1 综上可知，对任意的u，v[1，1]，都有| f(u) f(v)|„1 （Ⅲ）解：这样满足所述条件的函数不存在．理由如下： 假设存在函数 f(x)满足条件，则由| f(u) f(v)||uv|． 1 1 1 1 u,v[ ,1]得| f( ) f(1)|| 1| 2 2 2 2 1 1 又 f （1）0，所以| f( )| ① 2 2 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(0)0， 由条件| f(u) f(v)||uv|． 1 1 1 1 1 u,v[0, ]得| f( )|| f( ) f(0)|| 0| 2 2 2 2 2 1 1 所以| f( )| ② 2 2 ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/27 22:54:30；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156 第17页 | 共17页