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辽宁省实验中学 2023-2024 学年度高考适应性测试（二）
高 三 数 学
考生注意：
1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，19小题，共4页
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）
1．帕普斯：（Pappus）古希腊数学家，3﹣4世纪人，伟大的几何学家，著有《数学汇编》．此书对数学史具有重
大的意义，是对前辈学者的著作作了系统整理，并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学证明的资
料．如图1，图2，利用帕普斯的几何图形直观证明思想，能简明快捷地证明一个数学公式，这个公式是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数 的图象如图，且 在 与 处取得极值，给出下列判断，其中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
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学科网（北京）股份有限公司D．函数 在 区间上是减函数.
3．已知双曲线C的离心率为 ，焦点为 ，点A在C上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．将边长为 的正方形 沿对角线 折起，使得 ，则异面直线 和 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
5．设数列 满足 ，若 ，且数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．129
7．已知函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．过双曲线 的左焦点作直线 交双曲线于A，B两点，若实数 使得 的直线 恰有3条，则
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题6分，共18分）
9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做
了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
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学科网（北京）股份有限公司D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
10．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin
双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球 ，球 切
于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球 ，球 的半径分别为4和1，球心距 ，则
（ ）
A．椭圆C的中心不在直线 上
B．
C．直线 与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数 有两个不相等的实根 ，其中
.在函数 图象上横坐标为 的点处作曲线 的切线，切线与 轴交点的横坐标为 ；用 代替 ，
重复以上的过程得到 ；一直下去，得到数列 .记 ，且 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． （其中 ） B．数列 是递减数列
C． D．数列 的前 项和
三、填空题（每题5分，共15分）
12．方程 在区间 上的所有解的和为 .
13．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全
相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为2，侧面积均为 ，记过两个
圆锥轴的截面为平面 ，平面 与两个圆锥侧面的交线为 ．已知平面 平行于平面 ，平面 与两个圆
锥侧面的交线为双曲线 的一部分，且 的两条渐近线分别平行于 ，则该双曲线 的离心率为
．
14．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，
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学科网（北京）股份有限公司每天截取一半，永远都截不完.已知长度为 的线段 ，取 的中点 ，以 为边作等边三角形（如图
1），该等边三角形的面积为 ，再取 的中点 ，以 为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等
边三角形的面积之和为 ，以此类推，则 ， .
四、解答题
15．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的值域；
(2)在 中，内角 的对边分别为 为 的平分线，若 的最小正周期是
，求 的面积．
16．已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， 的前 项和为 ，求 .
17．已知函数 ．
(1)若 ，当 时，证明： ．
(2)若 ，证明： 恰有一个零点．
18．已知离心率为 的双曲线 ： 过椭圆 ： 的左，右顶点A，B.
(1)求双曲线 的方程；
(2) 是双曲线 上一点，直线AP，BP与椭圆 分别交于D，E，设直线DE与x轴交于
，且 ，记 与 的外接圆的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
高三数学 第 4 页
学科网（北京）股份有限公司19．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设 且 ．若 ，则称a与b关于模
m同余，记作 （“|”为整除符号）．
(1)解同余方程： ；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列 ，其中 ．
①若 ，数列 的前n项和为 ，求 ；
②若 ，求数列 的前n项和 ．
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