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数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】阴影部分表示的集合为 ，根据补集、交集定义进行即可.
【详解】阴影部分表示的集合为 ，
又 ，
所以 .
故选：D.
2. 已知 ，则 （ ）
A. 10 B. 2 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出 再求模长可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
则 .
故选：C.
3. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的单调性，对比出 、 、 三者与特殊值0、1的大小关系，运用中间值法解决问题.
【详解】解：因为函数 为单调递增函数，
所以 ，即 ；
因为 为单调递增函数，
所以 ，即 ；
因为 单调递减，
所以 ，
即 ，
故 ，
故选：A.
4. 已知向量 ， ， ，则实数k的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】由题意可得： ，
所以 .
故选：B
5. 已知函数 是幂函数，且在 上单调递减，若 ，且
，则 的值（ ）
A. 恒大于0 B. 恒小于0
C. 等于0 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.
【详解】由 得 或 ，
时， 在 上是增函数，不合题意，
时， ，在 上是减函数，满足题意，
所以 ，
，则 ， ， 是奇函数，因此 ，
所以 ，即 ，
故选：B.
6. 若命题“对任意的 ， 恒成立”为假命题，则m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】根据原命题为真可得 ，即可得出命题为假命题时m的取值范围．
【详解】当原命题为真时， 恒成立，即
由命题为假命题，则 ．
故选：A.
7. 函数 的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先由函数的奇偶性判断出B,D错误，再结合当 时 得出答案．
【详解】设 ， ，
由 ，得 为奇函数，故B,D错误；
由 ，故A正确，C错误，
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司8. 将函数 的图像向左平移 个单位长度后，得到的图像关于 轴对称，且
函数 在 上单调递增，则 的取值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到平移后的解析式，根据对称性得到 ， ，从而求出 的取值集合，
再由 的取值范围求出 ，结合正弦函数的单调性，求出 的范围，即可得解.
【详解】 的图像向左平移 个单位长度后，得到 ，
因为 关于 轴对称，所以 ， ，解得 ， ，
因为 ，故当 时， ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
故 ，解得 ，因为 ，所以 ，故 .
故选：B
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 是等差数列
C. D. 对任意 ，都有
【答案】ABD
【解析】
【 分 析 】 设 等 差 数 列 的 公 差 为 ， 根 据 可 判 断 选 项 B ； 利 用
，可判断选项 C；根据 ， 可判断选项 C，根据 ，
可判断选项D．
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，得 ，
，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，选项B正确；
，即 ，选项C错误；
,由于 ，所以 ，A正确，
因为 ， ，所以当 时， 取得最大值，故对任意 ，恒有 ，选项D正
确．
故选：ABD
10. 设 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减， ，则（ ）
A. 在 上单调递增
B.
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学科网（北京）股份有限公司C. 不等式 的解集为
D. 的图象与 轴只有3个交点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质逐项分析判断作答.
【详解】函数 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减，
函数 在 上单调递减，A错误；
由 ，得 ，则 ，B正确；
当 时， ，则 ，当 时， ，则 ，
因此不等式 的解集为 ，C正确；
当 时，函数 的图象交x轴于点 ，当 时，函数 的图象交x轴于点 ，
而 ，则点 是函数 的图象与x轴的公共点，所以 的图象与 轴只有3个交点，D
正确.
故选：BCD
11. 已知函数 ,若关于 的方程 有四个不等实根 、 、 、
，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【 分 析 】 作 出 图 象 ， 计 算 出 、 的 值 ， 结 合 图 象 可 判 断 A 选 项 ； 解 不 等 式
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学科网（北京）股份有限公司，可判断B选项；由对数的运算性质可得出 ，求出 的取值范
围，结合双勾函数的单调性可判断C选项；利用韦达定理结合基本不等式可判断D选项.
【详解】作出函数 的图象如下图所示：
根据图象知： ， ，
因为直线 与函数 的图象有四个交点，则 ，A对；
对于B选项，由图可知， ，由 可得 ，
所以， ，B错；
对于C选项，由图可知， ，则 ，
由 得 ，即 ，
所以， ，化简得到 .
由 ，可得 ，
所以， ，
由双勾函数的单调性可知 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司所以， ，
且 ，当 时取等号，
所以， ，C错；
由 可得 ，
所以， 、 为方程 的两根，
由根与系数的关系可得 ，
所以，
，
当且仅当 时，即当 时等号成立，D对.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
12. 如图，在 中， ，延长 到点 ，使得 ，以 为斜边向外作等腰直
角三角形 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B.
C. 面积的最大值为
D. 四边形 面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项：利用余弦定理列等式即可；
B选项：由题意得 的范围，即可得到 的范围；
C选项：根据几何的知识得到当 时， 最大，利用三角形面积公式求面积即可；
D选项：将四边形 的面积转化成 ，得到面积 ，再利用辅助角公
式和三角函数的性质求最值即可.
【详解】在 中，由余弦定理得 ，A正确；
，则
，所以 ，B错误；
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学科网（北京）股份有限公司易得 当 时， 取最大值 ，C正确；
，其中 ，D
正确．
故选：ACD.
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数 是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由分段函数两端均为增函数及端点处函数值左小右大可得．
【详解】函数 是R上的增函数，则 在 上单调递增，
故 ，
在 上单调递增，则 ，
且在 处，有 ，
所以a的取值范围是 .
故答案为： .
14. 已知函数 ，若 ， ，且 ，则 的最小值为
______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义可得 为奇函数，结合单调性可得 ，然后结合基本不等式即
可得到结果.
【详解】因为 的定义域为 ，关于 对称，且单调递减，
且 ，即函数 为奇函数，
又因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时，即 ，取等号.
所以 的最小值为 .
故答案为：
15. 已知 ，且 ，则 的最小值是______
【答案】36
【解析】
【分析】应用柯西不等式可得 ，注意等号成立条件，即可得目标式
的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由
，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
故答案为：36
16. 已知函数 ， 的定义域均为 ， 为奇函数， 为偶函数， ，
，则 ________.
【答案】2023
【解析】
【分析】根据题意分析可得 ，进而可得函数 是以 4 为周期的周期函数，且
，进而可得结果.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 ，则 ， ，
即 ，可得 ，
因为 为奇函数，则 ，且 ，
可得 ，即 ，则 ，
可得 ，
所以函数 是以4为周期的周期函数，
由 ，可得 ， ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
所以 .
故答案为：2023.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知数列 的前n项和为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分为 ， 两种情况，结合等差数列前 项和公式求解；
（2）利用裂项相消法可求 .
【小问1详解】
当 时， .
当 时， ，也适合上式.
故 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）可得 ，
则 .
的
18. 已知 ，且 图象过点 ，又 .
（1）若 成立，求 的取值范围；
（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数函数的性质可得 ，解不等式即可得出答案.
（2）由题意可得对于任意 恒成立等价于 ，利用换元法求出
即可得出答案.
【小问1详解】
因为 的图象过点 ，
所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，又因为 ，
而 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司由 可得：
所以 解得 ，
所以 的取值范围为 .
【小问2详解】
因为 ，
所以 对于任意 恒成立等价于 ，
因为
.
令 ，则 ，
所以 ，
当 ，即 ，即 时， ，
所以 .
19. 已知向量 ， ，函数 （其中 ），函
数 的图象的一条对称轴是直线 ．
（1）求 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 且 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 的解析式，由对称轴列式求解即可；
（2）由（1）可得 ， ，进而可得 ，由两角和的正弦公式
可得答案．
【小问1详解】
由题意得
，
∵函数 的图象的一条对称轴是直线 ，
∴ ，得 ，
∵ ，∴ ．
【小问2详解】
由（1）可得 ，
由 得 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司结合 ， ，得 ，
∴
．
20. 在锐角三角形 中，内角 对的边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积的取值范围.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）对等式两边同时乘以 可得 ，正弦定理结合两角和的正弦公
式化简即可得出答案；
（2）由正弦定理求出 ，表示出 面积结合三角函数的性质即可得出答案.
【小问1详解】
由已知条件得 ，
由正弦定理得 . ，
即 .
因为在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
又 是锐角，所以 .
【小问2详解】
由正弦定理得 ，
则 ，
所以
.
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
所以 面积的取值范围为 .
21. 为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖
速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为 ，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为 ，
浮萍覆盖面积 （单位： ）与 2022 年的月份 （单位：月）的关系有两个函数模型
与 可供选择．
（1）分别求出两个函数模型的解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为 ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算
至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过 ？（参考数据： ）
【答案】（1） ，
（2）2023年2月
【解析】
【分析】（1）将 分别代入两个函数表达式中即可求解，
（2）根据 确定选用的函数，即可利用对数的运算求解.
【小问1详解】
若选择模型 ，
则 ，解得 ， ，
故函数模型为 ，
若选择模型 ，则 ，
解得 ， ，
故函数模型为 ．
【小问2详解】
把 代入 可得， ，
把 代入 可得， ，
∵ ，
∴选择函数模型 更合适，
令 ，可得 ，两边取对数可得， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m2．
22. 已知 是等差数列， ．
（1）求 的通项公式和 ．
（2）已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及其前 项和．
【答案】（1） ， ；
（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ，前 项和为 .
【解析】
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得 ，据此可求得数列的通项公式，
然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前 项和公式计算可得 .
(2)(Ⅰ)利用题中 的结论分别考查不等式两侧的情况，当 时， ，
取 ，当 时， ，取 ，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前 项
和公式即可计算其前 项和.
【小问1详解】
由题意可得 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则数列 的通项公式为 ，
求和得
.
【小问2详解】
(Ⅰ)由题意可知，当 时， ，
取 ，则 ，即 ，
当 时， ，
取 ，此时 ，
据此可得 ，
综上可得： .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知： ，
则数列 的公比 满足 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列的通项公式为 ，
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学科网（北京）股份有限公司其前 项和为： .
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前 项和的
核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它
对学生探索新知识很有裨益.
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学科网（北京）股份有限公司
