2004年广东高考数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_广东

2004 年广东高考数学真题及答案 满分150分 第I卷 参考公式： 三角函数的积化和差公式 函数求导公式 1 sin cos  = [sin ( +  ) + sin (－ )] (u±v)’ = u’±v’ 2 1 cos sin  = [sin ( +  )－sin (－ )] (uv)’ = u’v + uv’ 2 1 u u’v－uv’ cos cos  = [cos ( +  ) + cos (－ )] ( )’ = （v ≠ 0） 2 v v 2 1 sin sin  = － [cos ( +  )－cos (－ )] f ’( (x)) = f ’(u)  ’(x)，其中 u =  (x) 2 锥体体积公式 球的体积公式 1 4 V = Sh V = R 3 锥体 3 球体 3 其中 S 表示底面积，h 表示高 其中R表示球的半径 一. 选择题（共12小题，每题5分，计60分）     （1）已知平面向量a=（3，1），b =（x，–3），且a⊥b，则x= （A） –3 （B） –1 （C） 1 （D）3 （2）已知A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x≤6}，则A∩B＝ （A）[3,2) (1,2] （B）[3,2) (1,)   （C）(3,2] [1,2) （D）(,3] (1,2]   3x2 2   (x2) （3）设函数 f(x)x2 4 x2 在x=2处连续，则a=  a (x2) 1 1 1 1 （A）－ （B）－ （C） （D） 2 4 4 3  1 2 3 2n1 2n  （4）lim        的值为 nn1 n1 n1 n1 n1 1 （A）–1 （B）0 （C） （D）1 2     （5）函数f（x）＝sin2  x －sin2  x 是  4  4 （A）周期为的偶函数 （B）周期为的奇函数 （C）周期为2的偶函数 （D）周期为2的奇函数 第- 1 -页 | 共8页（6）一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独 立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 （A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728 （7）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩 下的凸多面体的体积是 2 7 4 5 （A） （B） （C） （D） 3 6 5 6 （8）若双曲线2x2－y2＝k（k＞0）的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （A） 6 （B） 8 （C） 1 （D） 4  cos2 x （9）当0＜x＜ 时，函数f（x）＝ 的最小值是 4 cosxsinxsin2 x 1 1 （A） 4 （B） （C）2 （D） 2 4 2x y12  2x9y36 （10）变量x、y满足下列条件： ，则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是 2x3y 24   x0,y0 （A）（4.5，3） （B）（3，6） （C）（9，2） （D）（6，4）   （11）若 f(x)tan  x ，则  4 （A） f(1)＞ f(0)＞ f(1) （B） f(0)＞ f(1)＞ f(1) （C） f(1) ＞ f(0)＞ f(1) （D） f(0) ＞ f(1)＞ f(1) （12）如右下图，定圆半径为a，圆心为（b ，c）， 则直线ax+by+c=0与直线 x–y+1=0的交点在 （A）第四象限 y （B）第三象限 （C）第二象限 （D）第一象限 O x 二.填空题（共4小题，每题4分，计16分） （13）某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的 概率是 （用分数作答） （14）已知复数z与(z +2)2－8i 均是纯虚数，则z = . S PAPB V （15）由图（1）有面积关系： PAB  ，则由图（2）有体积关系： PABC ＝ . S PAPB V PAB PABC B 第- 2 -页 | 共8页 B B’ B’ C C’ P P A A’ A’ A 图1 图2（16）函数 f(x)ln( x11)（x＞0）的反函数 f 1(x)＝ . 三.解答题（共6小题，74分） （17）（12分）已知α，β，γ成公比为2的等比数列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等 比数列. 求α，β，γ的值. （18）（12分）如右下图，在长方体ABCD—ABCD 中，已知AB= 4， AD =3， AA= 2. E、F分别是线段 1 1 1 1 1 AB、BC上的点，且EB= FB=1. D C 1 1 （Ⅰ）求二面角C—DE—C 的正切值; 1 （Ⅱ）求直线EC 与FD 所成的余弦值. 1 1 B 1 A 1 D C F A E B 1 （19）（12分）设函数 f(x) 1 （x＞0）. x （Ⅰ）证明: 当0＜a＜b ，且 f(a) f(b)时，ab＞1; （Ⅱ）点P（x，y）（0＜x＜1 ）在曲线y  f(x)上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成 0 0 0 的三角形面积表达式（用x 表达）. 0 （20）（12分）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了 一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定 该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上） （21）（12分）设函数 f(x) xln(xm)，其中常数m为整数. （Ⅰ）当m为何值时， f(x)≥0； （Ⅱ）定理: 若函数g（x） 在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x∈（a，b）， 0 使g（x）=0. 0 试用上述定理证明：当整数m＞1时，方程f（x）= 0，在[e－ｍ－m ，e2ｍ－m ]内有两个实根. 第- 3 -页 | 共8页x2 y2 （22）（14分）设直线l与椭圆  1相交于A、B两点，l又与双曲线x2－y2=1相交于C、D两点， 25 16 C、D三等分线段AB.求直线l的方程. 参考答案 一、选择题 CACAB DDAAB DB 二、填空题： 5 PA' PB' PC' （13） （14）－2i (15) (16)e2x 2ex (xR) 7 PAPBPC 三、解答题 17．解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α ∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列 sin sin sin2 sin4     cos 2cos21 sin sin sin sin2 即2cos2cos10 1 解得cos1,或cos  2 当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去， 1 2 4 当cos  ,[0,2]时, 或 , 2 3 3 2 4 8 4 8 16 所以 , , 或 , , 3 3 3 3 3 3 18．解：（I）以A为原点，AB,AD,AA 分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 1 D(0,3,0)、D(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C(4,3,2) 1 1 于是，DE (3,3,0),EC (1,3,2),FD (4,2,2) 1 1 设向量n (x,y,z)与平面CDE垂直，则有 1 第- 4 -页 | 共8页n  DE   3x3y 0  1   x  y   z n  EC  x3y2z 0 2  1 z z z n ( , ,z)  (1,1,2),其中z 0 2 2 2 取n (1,1,2),则n 是一个与平面C DE垂直的向量, 0 0 1 向量AA (0,0,2)与平面CDE垂直,  1 n 与AA所成的角为二面角C DEC的平面角 0 1 1 n  AA 101022 6 cos 0 1    |n || AA | 114 004 3 0 1 2 tan 2 （II）设EC 与FD 所成角为β，则 1 1 EC FD 1(4)3222 21 cos 1 1   | EC || FD | 12 32 22  (4)2 22 22 14 1 1 19.证明：（I） 1 1, x(0,1]  1 x  f(x) |1 |  x 1  1 , x(1,)   x 故 f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由 0|PA|, x  680 5,y 680 5,即P(680 5,680 5),故PO 680 10 答：巨响发生在接报中心的西偏北450，距中心680 10m处. 21.（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且 1 f '(x) 1 ,令f '(x) 0,得x 1m xm 当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m) 当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且 对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0 (II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0, 函数f(x)=x-ln(x+m),在[em m,1m] 上为连续减函数. f(em m) em mln(em mm) em 0 当整数m 1时, f(em m)与f(1m)异号, 由所给定理知，存在唯一的x (em m,1m),使f(x ) 0 1 1 而当整数m>1时， 第- 6 -页 | 共8页2m(2m1) f(e2m m) e2m 3m (11)2m 3m 12m 3m 0 2 ( m 1 2m11,上述不等式也可用数学归纳法证明)  类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在[1m,em m] 上为连续增函数且 f(1-m)与 f(e2m m) 异号，由所给定理知，存在唯一的x [1m,em m,],使f(x ) 0 2 2 故当m>1时，方程f(x)=0在[em m,e2m m]内有两个实根。 22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为 y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为： A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ),D(x ,y ) 1 1 2 2 3 3 4 4 y B l D o C x A 依题意有AC  DB,AB 3CD，由 y  kxb  x2 y2 得(1625k2)x2 2bkx(25b2 400) 0...(1)   1 25 16 50bk x  x   1 2 1625k2 y  kxb 由  得(1k2)x2 2bkx(b2 1) 0...(2) x2  y2 1 若k  1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k  1 2bk x  x  3 4 1k2 由AC  DB x  x  x  x  x  x  x  x 3 1 2 4 1 2 3 4 第- 7 -页 | 共8页50bk 2bk    bk 0 k 0或b 0 1625k2 1k2 5 (i)当k 0时,由(1)得x   16b2,由(2)得x   b2 1 1,2 3,4 4 10 16 由AB 3CD  x x 3(x x ),即 16b2 6 b2 1b   2 1 4 3 4 13 16 故l的方程为y   13 (ii)当b=0时，由(1)得 20 1 x   ,由(2)得x   1,2 3,4 1625k2 1k2 40 6 16 由由AB 3CD  x x 3(x x )即   k   2 1 4 3 1625k2 1k2 25 16 故l的方程为y   x 25 再讨论l与x轴垂直的情况. 设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， 4 y   25c2,y   c2 1 1,2 3,4 5 由| AB|3|CD|| y  y |3| y  y | 2 1 4 3 8 25 241 即 25c2 6 c2 1c   5 241 25 241 故l的方程为x   241 16 16 25 241 综上所述，故l的方程为y   、y   x和x   13 25 241 第- 8 -页 | 共8页