文档内容
抚州市 2024—2025 学年度上学期学生学业质量监测
高二数学试题卷
说明：1.本卷共有4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分.
3.所有考试结束3天后，考生可凭准考证号登录智学网（www.zhixue.com）查询考试成绩，
密码与准考证号相同.
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符合题
目要求.
1. 已知直线 ， ，若 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
2. 圆心为 且过点 的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则 （
）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
.
4 如图，三棱锥 中， ， ， ，且 ， ，则
（ ）A. B.
C. D.
5. 若 ，则下列结论中正确的是（
）
A. B.
C. D.
6. 已知过原点的直线 与圆 相交于 两点，则 的最小值为（ ）
A. 6 B. C. D.
7. 在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个
服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（ ）
A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种
8. 如图，已知 是双曲线 的左､右焦点， 为双曲线 上两点，满足 ，
且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
.
A B. C. D.
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.9. 已知空间向量 ， ，则下列选项中正确的是（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
10. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是棱
， ， 的中点， 在线段 上，则下列说法中正确的有（ ）
A. 平面 B. 平面
C. 存在点 ，满足 D. 三棱锥 的体积不变
11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常
数的点的轨迹是卡西尼卵形线.已知两定 ， ，动点 满足 ，设
的轨迹为曲线 ，下列说法中正确的有（ ）
的
A. 横坐标最大值是2 B. 曲线 既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 存在点 ，使得 D. 面积最大值2
三、填空题：共3小题，每题5分，共15分.
12. 双曲线 的离心率为2，求 ______.
13. 设 为正整数， 展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________．14. 在平面凸四边形 中， ， ，且 ， ，将四边
形 沿对角线 折起，使点A到达点 的位置.若二面角 的大小范围是 ，则三
棱锥 的外接球表面积的取值范围是______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写
在答题卡上的指定区域内.
15. 设直线 与 .
（1）若 ，求 、 之间的距离；
（2）当直线 与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求 的值.
16. 已知 为原点，直线 与圆 交于 、 两点.
（1）若 ，求 的值；
（2）若过 点作圆的两条切线，切点为 、 ，求四边形 面积的最大值.
17. 已知抛物线 与双曲线 的渐近线在第一象限的交点为 ，且 点的横坐
标为3.
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作一直线交抛物线 于 两点，求弦 的中点轨迹方程.
18. 如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 、 分别为 、
中点.（1）证明： ；
（2）证明：平面 与平面 的交线 平面 ；
（3）若 ，二面角 的正切值为2，求 的长.
19. 如图所示，在圆锥内放入两个球 ，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且
这两个球都与平面 相切，切点分别为 ，数学家丹德林利用这个模型证明了平面 与圆锥侧面的交
线为椭圆，记为 ， 为椭圆 的两个焦点.设直线 分别与该圆锥的母线交于 两点，过点
的母线分别与球 相切于 两点，已知 ， .以直线 为 轴，在平
面 内，以线段 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作斜率不为0的直线 ，直线 与椭圆 交于 两点， 分别为椭圆左右顶点，记
的斜率为 ， 的斜率为 .求出 ；
