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2023 级高二年级考试
数学试卷
试卷满分：150 考试时间：150 分钟
一､单项选择题
1. 5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A. 10 种 B. 20 种 C. 25 种 D. 32 种
2. 下列说法中，错误的命题是（ ）
A. 在刻画回归模型的拟合效果时， 的值越大，说明拟合的效果越好
B. 线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C. 设随机变量 服从正态分布 ，则
D. 对分类变量 与 ，若计算出的 越大，则判断“ 与 有关系”的犯错误的概率越小
3. 某班要从 8 名班干部（其中 5 名男生，3 名女生）中选取 3 人参加学校优秀班干部评选，事件 ：男生
甲被选中，事件 ：有两名女生被选中，则 为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ，则 为（ ）
A. 180 B. 150 C. 120 D. 200
5. 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参
加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有
A. 40 种 B. 60 种 C. 100 种 D. 120 种
6. 已知随机变量 的分布列如下，则 的最大值为（ ）
X 1 2 3
P a b 2b—a
A. B. 3
C. 6 D. 5
第 1页/共 6页7. 从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异
常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量 与温度 的关系可以用模型 （其
中 为自然底数）拟合，设 ，其变换后得到一组数据：
由上表可得线性回归方程 ，则当 时，蝗虫的产卵量 的估计值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知甲盒中有 2 个球且都为红球，乙盒中有 3 个红球和 4 个蓝球，从乙盒中随机抽取 个球放入
甲盒中
（1）放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ；
（2）放入 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题
9. 在某次数学测试中，学生的成绩 ，则（ ）
A. B. 若 越大，则 越大
C. D.
10. 下列选项中正确的有（ ）.
A. 随机变量 ，则
B. 将两颗骰子各掷一次，设事件 “两个点数不相同”， “至少出现一个 6 点”，则概率
C. 口袋中有 7 个红球、2 个蓝球和 1 个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量 .则 的数
学期望
第 2页/共 6页D. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为 ，现有 3 位患有该病的患者服用了这种药物，3 位患者是否会被
治愈是相互独立的，则恰有 1 位患者被治愈的概率为
11. 已知红箱内有 6 个红球、3 个白球，白箱内有 3 个红球、6 个白球，所有小球大小、形状完全相同．第
一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回
去，依此类推，第 次从与第 k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第 次取出
的球是红球的概率为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 第 5 次取出的球是红球的概率为 D. 前 3 次取球恰有 2 次取到红球的概率是
三､填空题
12. 若 二项展开式中，所有二项式系数和为 ，则该展开式中的常数项为________．
13. 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有 4 道 类试题，8 道 类试题，12 道 类试题，学生从中任选
1 道试题作答，学生甲答对 这 3 类试题的概率分别为 ， ， .若学生甲答对了所选试题，则这道
试题是 类试题的概率为_____________.
14. 某次大型联考 10000 名学生参加，考试成绩（满分 100 分）近似服从正态分布 （其中
和 分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为 65 分，87 分以上共有 228 人，学生甲的成绩为
76 分，则学生甲的名次大致是__________名.
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
四､解答题
15. 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，能组成多少个符合下列条件 数字？（运算结果以数字作答）
（1）无重复数字的四位偶数；
（2）无重复数字且为 5 的倍数的四位数；
（3）无重复数字且比 1230 大的四位数．
16. 已知在 的展开式中，前 3 项的系数分别为 ，且满足 .求：
（1）展开式中二项式系数最大项 项；
第 3页/共 6页（2）展开式中系数最大的项；
（3）展开式中所有有理项.
17. 某市为吸引大学生人才来本市就业，大力实行人才引进计划，提供现金补贴，为了解政策的效果，收集
了 2011-2020 年人才引进就业人数数据（单位：万），统计如下（年份代码 1-10 分别代表 2011-2020 年）其
中 ， ， ,
.
年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
引进人数 3.4 5.7 7.3 8.5 9.6 10.2 10.8 11 3 11.6 11.8
（1）根据数据画出散点图，并判断， ， ， 哪一个适合作为该市人才引进
就业人数 y 关于年份 代码 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
5.5 9.02 2.14 1.51 82.5
4.84 72.2 9.67 18.41
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（所有过程保留两位小数）
（3）试预测该市 2022 年 人才引进就业人数.
第 4页/共 6页参考公式： ， .
18. 2021 年 7 月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的 100 户居民由于台风造成的经
济损失(单位：元)，将收集的数据分成 ， ， ， ，
五组，并作出如图所示的频率分布直方图．
（1）遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的 100 户居民捐款情况如下表所示，在
表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05 的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过 500
元和自家经济损失是否超过 4 000 元有关；
项目 经济损失不超过 4 000 元 经济损失超过 4 000 元 总计
捐款超过 500 元 60
捐款不超过 500 元 10
总计 100
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取 1 户
居民，抽取 3 次，记被抽取的 3 户居民中自家经济损失超过 4000 元的户数为 ，若每次抽取的结果是相互
独立的，求ξ的分布列，期望 和方差 ．
附： ，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
第 5页/共 6页19. 某校在 90 周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛
教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第 1 次答题，答对得 20 分，答错得 10 分，从第 2 次答题
开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得 10 分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率
均为 ，每次答题是否答对互不影响.
（1）求甲前 3 次答题的得分之和为 70 分的概率．
（2）记甲第 i 次答题所得分数 的数学期望为 ．
（ⅰ）求 ， ， ，并猜想当 时， 与 之间的关系式；
（ⅱ）若 ，求 n 的最小值．
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