重庆市第八中学2024届高考适应性月考卷（六）数学-答案_2024年3月_013月合集_2024届重庆市第八中学高考适应性月考卷（六）_重庆市第八中学2024届高考适应性月考卷（六）数学

数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B A C D C B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 AC BCD ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 10 答案 29.5 35π 2 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）因为Aπ(BC)， 所以cosAcos(BC)sinBsinCcosBcosC， 2 3  π 2 3  3 1  又cosA sinCsinB  sinC  sinB cosB  3  6 3  2 2  3 sinBsinC sinCcosB. 3 3 2 3 1 3  所以cosBcosC  sinCcosB，所以 cosB sinC cosC0，   3 3 2 2   1 3 所以cosB0或 sinC cosC 0， ………………………………………………（3分） 2 2 π 若cosB0，则B ，与△ABC为锐角三角形矛盾，舍去， 2 1 3 从而 sinC cosC 0，则tanC  3， 2 2 数学参考答案·第1页（共7页）π π 又0C ，所以C ．………………………………………………………………（6分） 2 3 （2）由余弦定理，得c2 a2 b2 2abcosC，即12a2 b2 ab ①， ………………………………………………………………………………………（8分）       设AB的中点为D，则2CDCACB，两边同时平方可得：4CD 2 (CACB)2，  即：4|CD|2a2 b2 2abcosC ，即：28a2 b2 ab ②， ……………………………………………………………………………………（10分） 由①可得：ab8， 1 1 3 于是：△ABC的面积S  absinC  8 2 3． 2 2 2 ……………………………………………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：取BD中点O，连接AO，CO，菱形ABCD中，AB AD，CBCD， 所以AOBD，COBD，又因为AOCOO， 所以BD平面AOC ，…………………………………………………………………（4分） 又AC平面AOC，所以ACBD．………………………………………………（6分） π 2π （2）解：△ABD中，因为ABC  ，所以BAD ， 3 3 由余弦定理得BD2 BC2 CD2 2BCCDcosBCD12，解得BD2 3； 在△AOC中，AOCO1， AO2 CO2 AC2 1 2π 所以cosAOC   ，AOC  ．…………………………（8分） 2AOCO 2 3  在平面AOC中，作OEOC，交AC于点E，则以O为坐标原点，分别以OC方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，  1 3 则A ，0， ． ………………………………（9分）   2 2   又C(1，0，0)，B(0， 3，0)，D(0， 3，0)， 假设在线段BD上存在符合要求的点G(0，m，0)( 3≤m≤ 3)．  设平面ACG的法向量n (x，y，z)， 1 数学参考答案·第2页（共7页） 3 3  由AC  ，0， ，CG(1，m，0)，   2 2     3 3 ACn  x z0  则 1 2 2 ，取n (m，1， 3m)． …………………………………（11分）    1 CGn xmy0 1  平面BCD的法向量n (0，0，1)； 2     |n n | | 3m| 21 3 所以|cosn，n | 1 2   ，m ． 1 2 |n ||n | m2 13m2 7 3 1 2 ……………………………………………………………………………………（13分） 3 4 3 3 2 3 当m 时，BG ；当m 时，BG ． 3 3 3 3 4 3 2 3 21 所以当BG 或 时，平面ACG与平面BCD所成角的余弦值为 ． 3 3 7 …………………………………………………………………………………（15分） 17．（本小题满分15分） xcosxsinx π 4 解：（1） f(x) sinx， f  1 ．……………………………（2分） x2 2 π2 π 2 因为 f   ， 2 π 2  4  π  4  4 π 所以切线方程为y 1 x ，即y1 x  ． π  π2  2  π2  π 2 ……………………………………………………………………………………（6分） （2）由题意，sinxxcosxax3 0． 令g(x)sinxxcosxax3，则g(x)xsinx3ax2 x(sinx3ax)． ……………………………………………………………………………………（7分） 令h(x)sinx3ax，h(x)cosx3a． 1 ①当3a1，即a 时，h(x)0，h(x)在(0，)单调递增，h(x)h(0)0， 3 所以g(x)0，g(x)在(0，)单调递增，g(x)g(0)0，不合题意． …………………………………………………………………………………（10分） 数学参考答案·第3页（共7页）1 ②当3a1，即a 时，h(x)0，h(x)在(0，)单调递减，h(x)h(0)0， 3 所以g(x)0，g(x)在(0，)单调递减，所以g(x)g(0)0，符合题意． …………………………………………………………………………………（12分） 1 1 ③当13a1，即 a 时，由h(0)13a0，h(π)13a0， 3 3 所以x (0，π)，使得h(x )0且x(0，x )时，h(x)0， 0 0 0 所以g(x)0，g(x)在(0，x )单调递增，g(x )g(0)0，不符合题意． 0 0 1 综上，a ．……………………………………………………………………………（15分） 3 18．（本小题满分17分） 解：（1）设事件A “第k个月销路好”，B “第k个月销路差”． k k 由题意，知P(A )P(A |A )P(A )P(A |B )P(B )， k1 k1 k k k1 k k P(B )P(B |A )P(A )P(B |B )P(B )． k1 k1 k k k1 k k x 0.5x 0.4y， 即： k1 k k ……………………………………………………………（2分） y 0.5x 0.6y . k1 k k 当x  y 0.5时，x 0.5x 0.4y 0.45； 1 1 2 1 1 y 0.5x 0.6y 0.55，x 0.5x 0.4y 0.445．…………………………………（4分） 2 1 1 3 2 2 5x 4y 5(0.5x 0.4y )4(0.5x 0.6y ) k1 k1 k k k k 0.5x 0.4y 0.1(5x 4y )． k k k k 因为5x 4y 0.5，所以{5x 4y }是首项为0.5，公比为0.1的等比数列． 1 1 k k ……………………………………………………………………………………（6分） （2）如果第一个月销路好，则x 1，y 0，5x 4y 5． 1 1 1 1  1  k1 由（1）知，5x 4y 5  ． k k 10 5  1  k1 1 2 1  1  k1 所以y  x   ．所以x  x  y x    ． k 4 k 10  k1 2 k 5 k k 2 10 …………………………………………………………………………………（10分） 数学参考答案·第4页（共7页）1  1  k2 1  1  k2  1  k3 从而x x    x       k k1 2 10 k2 2 10 10  1  1  k2  1  k3  1  k4 x      +   k3 2 10 10 10   1  1  k2  1  k3  1  k4  4 5  1  k1 x      +  1    ． 1 2 10 10 10  9 9 10 4 5  1  k1 即x     ．…………………………………………………………………（13分） k 9 9 10 如果第一个月销路差，则x 0，y 1，5x 4y 4． 1 1 1 1 4 4  1  k1 同理可得，x     ． k 9 9 10 可以看到，无论第一个月销路好还是销路差，经过较长时间的销售之后，销路好的概率 4 会趋近于常数 ．………………………………………………………………………（17分） 9 19．（本小题满分17分） 解：（1）设Q(x，y)，则P(x，2y)，因为P在圆O上， x2 所以x2 4y2 4，即  y2 1， 4 x2 所以C的方程为  y2 1． 4 C是长轴长为4，焦点为( 3，0)，( 3，0)的椭圆．………………………………（4分） （2）先证明BM∥OT，且B，N，M 共线． 1 1 x2 由（1）知C：  y2 1，故A(2，0)，A (2，0)，B(0，1)，B (0，1)， 4 1 2 1 2 直线A B 的方程为x2y20． 2 2 当OT 斜率不存在的时候，直线l 与C仅有一个公共点，不合题意，所以OT 斜率存在， 1 1 设直线OT：ykx，因为当OT∥AB 时，A与B 重合，不合题意，所以k  ． 1 2 2 2 当OT 斜率为零时，直线BT 与x轴重合，不合题意， 数学参考答案·第5页（共7页）又因为点T在线段A B 上，所以k 0． 2 2 1 综上，k 0，且k  ．…………………………………………………………………（6分） 2 ykx，  2 2k  由 得T ， ， x2y20. 12k 12k 因为l∥OT ，所以l：yk(x2)，则B(0，2k)， 1 1 1  由k k ，得N ，0， ……………………………………………………………（9分） BT BN k  yk(x2)，  设A(x ，y )，由x2 得(14k2)x2 16k2x16k2 40， 1 1   y2 20.  4 16k2 4 28k2 4k 故2x  ，所以x  ， y kx 2 ， 1 14k2 1 14k2 1 1 14k2 28k2 4k  即A ， ．………………………………………………………………（12分） 14k2 14k2  易得，BN：ykx1，则BN//l ，设BN交C于M (x ，y )， 1 1 1 1 1 2 2 ykx1，  8k 由x2 得(14k2)x2 8kx0，故x  ．   y2 1. 2 14k2  4 解法一： 8k 1 4k2 1 |M N| x x 1 |ON| |TN| x x    ， 1  2 N    ， 2 N 14k2 k k(14k2) |AB| x 2k |OA | |TB| 1 1 2(4k2 1)2 又(x x )(x x ) 0． 2 N B 1 k(14k2)2   因为BN∥l ，所以BA与M N 方向相同（如图甲和图乙所示）， 1 1 1 数学参考答案·第6页（共7页）所以A，T，M 三点共线，从而M，M 重合，故BM∥OT，且B，N，M 共线． 1 1 1 1 解法二： 4k2 1 y kx 1 ， 2 2 14k2 4k2 1 2k  14k2 12k (4k2 1)(12k)2k(14k2) 4k2 4k1 所以k    ， M1T 8k 2 8k(12k)2(14k2) 8k2 8k2  14k2 12k 4k 2k 2k k   14k2 12k 14k2 12k 2k(12k)k(14k2) 4k2 4k1 k     ， AT 28k2 2 14k2 1 (14k2)(12k)(14k2) 8k2 8k2   14k2 12k 14k2 12k 故k k ，所以A，T，M 三点共线，BM∥OT，且B，N，M 共线． M1T AT 1 1 1 1 4k 28k2 因为k 0，且k  ，所以2k  ，（或利用 0） 2 14k2 14k2 所以A，B不重合，A，N，T 不共线． |MT | |TN| 若选①，则由BM∥OT，且B，N，M 共线，得  ， 1 1 |AT | |TB| 即|AT ||NT ||BT ||MT |． …………………………………………………………（17分） 若选②，则由BM∥OT，且B，N，M 共线，得△ABN 与△ABM 面积相等， 1 1 所以，△ATM 与△BTM 面积相等．…………………………………………………（17分） 数学参考答案·第7页（共7页）