重庆康德2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（一）数学参考答案_2024年2月_01每日更新_26号_2024届重庆康德2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（一）

数学（一）参考答案
一、选择题
1～8 BABA DCCB
x2 y2

1  1 1
a2 b2 b2(x x ) y y
8题提示：设A(x，y )，B(x ，y )，由 有， 1 2  1 2 ，由题意知FN的中点即为
1 1 2 2 x 2 y 2 a2(y  y ) x x
2  2 1 1 2 1 2
a2 b2
b2 1 4 16
AB的中点，可得  ，又a2 b2  4，解得b2  ，a2  ，所以选B
a2 4 3 3
二、多选题
9．ABD 10．BC 11．BC 12．ACD
|PF |2 |PF |2 4c2 b2
12题提示：由|PF ||PF |=2a，cos 1 2 ，得|PF ||PF | ，所以
1 2 2|PF ||PF | 1 2 
1 2 cos2
2
1 
S  |PF ||PF |sinb2tan ，A正确，设点P(x，y )，则三角形重心为
2 1 2 2 0 0
x y x2 y2 1
G(x，y)( 0，0)，则其轨迹方程为   (y 0)，所以B错误，外接圆半径为R，则由
3 3 a2 b2 9
2c c
2R，所以R  ，C正确，设内切圆半径为r，由
sin sin
1 
S  (|PF ||PF |2c)r (ac)r ，所以r (ac)tan ，D正确
2 1 2 2
三、填空题
2 27 3
13．32 14． 15． 16．16
3 4
3
15题提示：点A在圆C上，则△PAQ的外接圆半径为3，则PQ 3 3，S  |PA||AQ|，又
4
2|PA|| AQ|cos60|PA|2 | AQ|2 27 2|PA|| AQ| 27 ，则|PA|| AQ|27，所以
27 3
S 
max 4
 b
ab
  a a2 1
16题提示：由题意，a，b是方程ax2 bxc 0的解，则有 ，则b (a1 )2，
c a1 a1

ab
 a
第1页 共4页由题意，a,b,c为非零整数，则a11，即a 2，b4，则c16
四、解答题
17．（10分）
解：（1）设  a  的公差为d ，则a (5n1)d 5  a (n1)d 4，且a 3，
n 1 1 2
即a d 10，a d 3，解得a 1,d 2，
1 1 1
所以  a  的通项公式为a 2n1，nN* ；……………………………5分
n n
（2）由条件，S S ，且S S ，即a 0，且a 0。
3 2 3 4 3 4
因为a d 10，所以a a (n1)(a 1)，
1 n 1 1
从而a 2(a 1)0，a 3(a 1)0，
1 1 1 1
3 2
所以  a  。……………………………………………10分
4 1 3
18．（12分）
a b c
解：（1）因为外接圆半径为1，所以   2
sinA sinB sinC
ac
∵asinAcsinCcos2B1
2
ac
asinAcsinC2sin2 B
2
a2 c2 b2 ac
   
2 2 2 2
a2 c2 b2 ac
1
cosB
2

B ……………………………6分
3
b
（2）由 2有b 3，
sinB
由余弦定理得，a2 c2 ac32ac，当且仅当ac时，ac取最大值为3，
1 3 3 3
又S  acsinB  ac ，即ABC面积S 最大值 ，此时ABC为等边三角形，
2 4 4
故周长L3 3.……………………12分
19．（12分）
解：（1）由题意得10.006(0.00090.0006)100.979 ，
所以该地检测值在45以下者的频率为0.979；…………………………3分
（2）设参检人数为t，则疑似感染者人数为0.015t，
0.006t 2
检测值分别在  45,55  和  55,65  中的误诊人数都为0.003t，  ，
0.015t 5
所以疑似感染者中的误诊率为40%；………………………………………7分
（3）设参检人数为t，
a
45,55

，检测值在

55,65

中的误诊人数为0.002t,
∵
第2页 共4页a45
检测值在  45,a  中的患病人数是 0.003t，
10
55a
检测值在  a,55  中的未患病人数是 0.006t，
10
a45 55a
0.003t 0.006t0.002t
10 10
2153a
误诊率为  ，
∴
0.015t 150
1
当a 55时, 疑似感染者中误诊率的最小值为 。…………………12分
∴
3
20．（12分）
解：（1）由题意知AB  AC  AD  BC  BD，
在ACD与BCD中， 点E是棱CD的中点，
∵
CD⊥AE ，CD⊥BE， CD⊥平面ABE，
∴ ∴
AB⊥CD ；……………………………………………………………………4分
∴
（2）设AB 2a，在ACD中，AC  AD 2a， CD2 2a，AE  2a，
∴
同理BE  2a，在ABE中，则AB2  AE2 BE2 ， AE⊥BE，
   ∴
以点E为坐标原点，EA,EB,EC分别为x,y,z轴正方向建立空间坐标系，
 
则点A( 2a,0,0),B(0, 2a,0),C(0,0, 2a)，而EF  AB ( 2a, 2a,0)，
  
FB  EA( 2a,0,0)，BC (0, 2a, 2a)，
∴  
则得平面ABC的一个法向量m(1,1,1)，平面BCF 的一个法向量n(0,1,1)，

2 6 3
设 m,n ，则cos  ， (0,)， sin ，
∵ ∴
3 2 3 3
3
即二面角ABCF 的正弦值为 。…………………………………12分
3
21．（12分）
1
a
x2 y2 b 1 2 5
2
解：（1）设双曲线C的方程为  1(a>0,b>0)，由题意得  ，  ，
a2 b2 a 2 1 5
1
4
x2
解得a 2，b1，故双曲线C的方程为  y2 1；…………………4分
4
（2）由（1）得A(2,0)、A (2,0)，设点P(1,y )，
1 2 0
1 3
由题意直线PA、PA 不能与渐近线平行， y  ， y  ，
1 2 ∴ 0 2 0 2
8y2 2 4y
则直线PA :y  y (x2)代入x2 4y2 40得点M( 0 , 0 )，
1 0 14y2 14y2
0 0
8y218 12y
则直线PA :y y 0(x2)代入x2 4y2 40得点N( 0 , 0 )，
2 3 94y2 94y2
0 0
4y (94y2)12y (14y2) 2y
则直线MN 的斜率为k  0 0 0 0  0 ，
MN (8y2 2)(94y2)(8y2 18)(14y2) 34y2
0 0 0 0 0
4y 2y 8y2 2
直线MN 的方程为 y 0  0 (x 0 )，
14y2 34y2 14y2
0 0 0
第3页 共4页2y 8y 2y (x4)
即方程为 y  0 x 0  0 ，
34y2 34y2 34y2
0 0 0
显然，直线MN 上必过一定点(4,0)。……………………………………12分
22．（12分）
解：（1）原不等式化为exlnex <2ln2，设函数g  x  xlnx，
1 1
可得g  x  在(0, )是减函数，在( ,)是增函数，当0< x<1时，g  x  <0，
e e
且原不等式化为g  ex < g2，而当0<ex <1时，g  ex <0<g2恒成立 ，
当ex 1时，则必有ex <2，即x<ln2， 不等式解集为(,ln2)；
∴
………………………………………………………………………………………5分
xex
（2）由 f  x  x(aex)alnx0得a(xlnx) xex ，即a  ，令t  xex ，
lnxex
t
设函数F  t  ，可得F  t  在(0,1)，(1,e)是减函数，在(e,)是增函数，
lnt
而t  xex 在x>0是增函数且t>0，即关于t的方程 t a有两不等解，
lnt
而F  t  的最小值为F  e e，则必有a e，
故设t  xex 1,t  x ex 2，且t et 1
1 1 2 2 1 2
要证ln(x x )>2x x ，即证lnt lnt 2，
1 2 1 2 1 2
t t lnt lnt
而t alnt ,t alnt ，故 1 2  1 2 ，
1 1 2 2 t t lnt lnt
1 2 1 2
t t t 2(t t )
只需证lnt lnt  1 2 (lnt lnt )> 2，即证ln 1 > 1 2 ，
1 2 t t 1 2 t t t
1 2 2 1 2
t 2(m1)
设m 1 >1，即证h(m)lnm >0即可，
t m1
2
1 4 (m1)2
因为h(m)   >0 ，所以h(m)>h(1) 0成立，
m (m1)2 m(m1)2
所以ln(x x )>2x x 。……………………………………………………12分
1 2 1 2
第4页 共4页