重庆康德2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（一）数学参考答案_2024年2月_01每日更新_26号_2024届重庆康德2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（一）

数学（一）参考答案 一、选择题 1～8 BABA DCCB x2 y2  1  1 1 a2 b2 b2(x x ) y y 8题提示：设A(x，y )，B(x ，y )，由 有， 1 2  1 2 ，由题意知FN的中点即为 1 1 2 2 x 2 y 2 a2(y  y ) x x 2  2 1 1 2 1 2 a2 b2 b2 1 4 16 AB的中点，可得  ，又a2 b2  4，解得b2  ，a2  ，所以选B a2 4 3 3 二、多选题 9．ABD 10．BC 11．BC 12．ACD |PF |2 |PF |2 4c2 b2 12题提示：由|PF ||PF |=2a，cos 1 2 ，得|PF ||PF | ，所以 1 2 2|PF ||PF | 1 2  1 2 cos2 2 1  S  |PF ||PF |sinb2tan ，A正确，设点P(x，y )，则三角形重心为 2 1 2 2 0 0 x y x2 y2 1 G(x，y)( 0，0)，则其轨迹方程为   (y 0)，所以B错误，外接圆半径为R，则由 3 3 a2 b2 9 2c c 2R，所以R  ，C正确，设内切圆半径为r，由 sin sin 1  S  (|PF ||PF |2c)r (ac)r ，所以r (ac)tan ，D正确 2 1 2 2 三、填空题 2 27 3 13．32 14． 15． 16．16 3 4 3 15题提示：点A在圆C上，则△PAQ的外接圆半径为3，则PQ 3 3，S  |PA||AQ|，又 4 2|PA|| AQ|cos60|PA|2 | AQ|2 27 2|PA|| AQ| 27 ，则|PA|| AQ|27，所以 27 3 S  max 4  b ab   a a2 1 16题提示：由题意，a，b是方程ax2 bxc 0的解，则有 ，则b (a1 )2， c a1 a1  ab  a 第1页 共4页由题意，a,b,c为非零整数，则a11，即a 2，b4，则c16 四、解答题 17．（10分） 解：（1）设  a  的公差为d ，则a (5n1)d 5  a (n1)d 4，且a 3， n 1 1 2 即a d 10，a d 3，解得a 1,d 2， 1 1 1 所以  a  的通项公式为a 2n1，nN* ；……………………………5分 n n （2）由条件，S S ，且S S ，即a 0，且a 0。 3 2 3 4 3 4 因为a d 10，所以a a (n1)(a 1)， 1 n 1 1 从而a 2(a 1)0，a 3(a 1)0， 1 1 1 1 3 2 所以  a  。……………………………………………10分 4 1 3 18．（12分） a b c 解：（1）因为外接圆半径为1，所以   2 sinA sinB sinC ac ∵asinAcsinCcos2B1 2 ac asinAcsinC2sin2 B 2 a2 c2 b2 ac     2 2 2 2 a2 c2 b2 ac 1 cosB 2  B ……………………………6分 3 b （2）由 2有b 3， sinB 由余弦定理得，a2 c2 ac32ac，当且仅当ac时，ac取最大值为3， 1 3 3 3 又S  acsinB  ac ，即ABC面积S 最大值 ，此时ABC为等边三角形， 2 4 4 故周长L3 3.……………………12分 19．（12分） 解：（1）由题意得10.006(0.00090.0006)100.979 ， 所以该地检测值在45以下者的频率为0.979；…………………………3分 （2）设参检人数为t，则疑似感染者人数为0.015t， 0.006t 2 检测值分别在  45,55  和  55,65  中的误诊人数都为0.003t，  ， 0.015t 5 所以疑似感染者中的误诊率为40%；………………………………………7分 （3）设参检人数为t， a 45,55  ，检测值在  55,65  中的误诊人数为0.002t, ∵ 第2页 共4页a45 检测值在  45,a  中的患病人数是 0.003t， 10 55a 检测值在  a,55  中的未患病人数是 0.006t， 10 a45 55a 0.003t 0.006t0.002t 10 10 2153a 误诊率为  ， ∴ 0.015t 150 1 当a 55时, 疑似感染者中误诊率的最小值为 。…………………12分 ∴ 3 20．（12分） 解：（1）由题意知AB  AC  AD  BC  BD， 在ACD与BCD中， 点E是棱CD的中点， ∵ CD⊥AE ，CD⊥BE， CD⊥平面ABE， ∴ ∴ AB⊥CD ；……………………………………………………………………4分 ∴ （2）设AB 2a，在ACD中，AC  AD 2a， CD2 2a，AE  2a， ∴ 同理BE  2a，在ABE中，则AB2  AE2 BE2 ， AE⊥BE，    ∴ 以点E为坐标原点，EA,EB,EC分别为x,y,z轴正方向建立空间坐标系，   则点A( 2a,0,0),B(0, 2a,0),C(0,0, 2a)，而EF  AB ( 2a, 2a,0)，    FB  EA( 2a,0,0)，BC (0, 2a, 2a)， ∴   则得平面ABC的一个法向量m(1,1,1)，平面BCF 的一个法向量n(0,1,1)，  2 6 3 设 m,n ，则cos  ， (0,)， sin ， ∵ ∴ 3 2 3 3 3 即二面角ABCF 的正弦值为 。…………………………………12分 3 21．（12分） 1 a x2 y2 b 1 2 5 2 解：（1）设双曲线C的方程为  1(a>0,b>0)，由题意得  ，  ， a2 b2 a 2 1 5 1 4 x2 解得a 2，b1，故双曲线C的方程为  y2 1；…………………4分 4 （2）由（1）得A(2,0)、A (2,0)，设点P(1,y )， 1 2 0 1 3 由题意直线PA、PA 不能与渐近线平行， y  ， y  ， 1 2 ∴ 0 2 0 2 8y2 2 4y 则直线PA :y  y (x2)代入x2 4y2 40得点M( 0 , 0 )， 1 0 14y2 14y2 0 0 8y218 12y 则直线PA :y y 0(x2)代入x2 4y2 40得点N( 0 , 0 )， 2 3 94y2 94y2 0 0 4y (94y2)12y (14y2) 2y 则直线MN 的斜率为k  0 0 0 0  0 ， MN (8y2 2)(94y2)(8y2 18)(14y2) 34y2 0 0 0 0 0 4y 2y 8y2 2 直线MN 的方程为 y 0  0 (x 0 )， 14y2 34y2 14y2 0 0 0 第3页 共4页2y 8y 2y (x4) 即方程为 y  0 x 0  0 ， 34y2 34y2 34y2 0 0 0 显然，直线MN 上必过一定点(4,0)。……………………………………12分 22．（12分） 解：（1）原不等式化为exlnex <2ln2，设函数g  x  xlnx， 1 1 可得g  x  在(0, )是减函数，在( ,)是增函数，当0< x<1时，g  x  <0， e e 且原不等式化为g  ex < g2，而当00是增函数且t>0，即关于t的方程 t a有两不等解， lnt 而F  t  的最小值为F  e e，则必有a e， 故设t  xex 1,t  x ex 2，且t et 1 1 1 2 2 1 2 要证ln(x x )>2x x ，即证lnt lnt 2， 1 2 1 2 1 2 t t lnt lnt 而t alnt ,t alnt ，故 1 2  1 2 ， 1 1 2 2 t t lnt lnt 1 2 1 2 t t t 2(t t ) 只需证lnt lnt  1 2 (lnt lnt )> 2，即证ln 1 > 1 2 ， 1 2 t t 1 2 t t t 1 2 2 1 2 t 2(m1) 设m 1 >1，即证h(m)lnm >0即可， t m1 2 1 4 (m1)2 因为h(m)   >0 ，所以h(m)>h(1) 0成立， m (m1)2 m(m1)2 所以ln(x x )>2x x 。……………………………………………………12分 1 2 1 2 第4页 共4页