柳州市2025届高三一模数学参考答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年11月试卷_1122广西壮族自治区柳州市2025届高三第一次模拟考试

柳州市 2025 届数学高三第一次模拟考试
参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
A A B C A D C D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求. 全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. BD 10.ACD 11.BCD
9 10 11
选2个
选1个 选1个 选1个
选2个 （AC或 选3个 选2个（BC 选3个
（B或 （A或C （B或C
（BD) CD或 （ACD) 或CD或BD) （BCD）
D） 或D） 或D）
AD）
3分 6分 2分 4分 6分 2分 4分 6分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．6 13．70 14． 70 14
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
2 6
15.(13分）(1)A ; (2) 2 2
3 3
3 1 
解：（1）由 3sin AcosA2得， sin A cosA1，即sin(A )1,
2 2 6
  5   2
由于A(0,) A ( , ),A   A
6 6 6 6 2 3
(2) 由题设条件和正弦定理
2bsinC csin2B  2sinBsinC 2sinCsinBcosB
2 
又B,C(0,),则sinBsinC 0,进而cosB  ，得到B 
2 4

于是C  AB 
12
{#{QQABIYqAogAIABBAAQhCEQWwCAMQkgACAQgGRBAEIAAAiBFABCA=}#}6 2
sinC sin(AB)sin AcosBcosAsinB 
4
a b c 2 b c
由正弦定理得     
sin A sinB sinC 2  
sin sin sin
3 4 12
2 6 6
解得b ,c 2
3 3
6
故△ABC的周长为2 2
3
2 5
16.（15分）(1)证明见解析；(2)
5
 
解：（1）PO平面ABC,BABC，故以B为坐标原点，
BA
为x轴正方向，BC为y轴正

方向，与OP同向的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.
设 OP x，故
B0,0,0,A2,0,0
，O

1, 3,0

,P

1, 3,x

,D

0,
2 3
,0

 ，
 
 3 
  2 3       
AD  2, ,0  ， BO 1, 3,0 ,BP 1, 3,x .
 3 
   
.
ADBO220,ADBP220
故ADBO,ADBP，BPBOB,BP,BO平面BOP，AD平面BOP
（2）圆锥PO的侧面积
S 2πPA8π,PA4
，
OPx 4222 2 3
，
  2 3 
（3）由（1）可AD知，

2, ,0

为平面BOP的法向量，
 3 

设平面ABP的法向量为m  a,b,c，而 BA2,0,0 ，  B  P    1, 3,2 3  ，

故   ，令c1得m0,2,1，
 mBA2a0
  
mBPa 3b2 3c0
  20 2 3 201
则 cos<m  ,  A  D   m  A  D   3  5
m AD 22   2 3  2 02 022212 5
 3 
所以二面角OBP A的正弦值为2 5 .
5
{#{QQABIYqAogAIABBAAQhCEQWwCAMQkgACAQgGRBAEIAAAiBFABCA=}#}1
17.（15分）解：（1）当a 1时，则 f(x) xlnx1， f(x)1
x
可得 f(1)0, f(1)0，即切点坐标为(1,0)，切线斜率为k 0
所以切线方程为 y 0
1
（1） f(x)定义域为(0,)，且 f(x)a
x
若a0，则 f(x)0对任意x(0,)恒成立.
所以 f(x)在(0,)上单调递减，无极值，不合题意
1 1
若a 0，令 f(x)0，解得x ，令 f(x)0，解得x
a a
1 1
可知 f(x)在(0, )上单调递减，( ,)上单调递增
a a
1 1
则 f(x) f( )1lna
有极小值 ，无极大值
a a
1 1 1
f( )1lna 0, 1lna 0
由题意可得： 即
a a a
1
g(a)1lna (a 0)
令
a
1 1
g(a)  0
a a2
g(a) (0,)
在 上单调递增
1
g(1)1 1lna 0 g(a) g(1) a1 a 0
又 ，不等式 等价于 ，解得 又 ，
a
a 0a1
综上 的取值范围是 .
x2
18.（17分）解：由题意知a  2,b1，椭圆E:  y2 1 设P(t,2)，
2
1
(1).当t 0时，设直线PA : y  x1，代人x2 2y2 2得
t
t2 2 4 4t t2 2 4t t2 2
x2  x0，x  ，从而 y  ,点A( , )
t2 t A t2 2 A t2 2 t2 2 t2 2
3
设直线PB: y  x1代人x2 2y2 2得
t
t2 18 12 12t t2 18 12t t2 18
x2  x0 x  ,从而 y  ，点B( , )
t2 t B t2 18 B t2 18 t2 18 t2 18
{#{QQABIYqAogAIABBAAQhCEQWwCAMQkgACAQgGRBAEIAAAiBFABCA=}#}由对称性知，定点在 y轴上，设为G(0,m)
t2 2 t2 18
m m
t2 2 t2 18
由k k ，即  ，化简得
AG BG 4t 12t

t2 2 t2 18
1 1
m(4t2 24)2t2 12m 所以直线AB过定点(0, )
2 2
1
当t 0时，直线AB也恒过定点(0, )
2 .
1
综上，直线AB也恒过定点(0, )
.
2
（2）可知四边形的面积为
1
S  |ST ||x x |
2 A B
4t 12t
|x x ||  |
A B t2 2 t2 18
t3 6t
16| |
t4 20t2 36
6
|t |
t
16
36
|t2  20|
t2
6
|t |
t
16
6
|(t )2 8|
t
6
令m|t |2 6 ，当且仅当t  6 时等号成立
t
16m 16
S  
m2 8 8
m
m
8
而 y  x 在(2 2,)上单调递增，而m2 6，从而当m2 6 时，四边形ASBT 面
x
162 6
积有最大值S   6
(2 6)2 8
.
19.（17分）解：由折线图中数据和附注中参考数据得
7 2 7
t 4,(t t) 28, (y  y)2 0.72
i i
i1 i1
{#{QQABIYqAogAIABBAAQhCEQWwCAMQkgACAQgGRBAEIAAAiBFABCA=}#}7 7 7
(t t)(y  y)t y ty 68.35416.173.67
i i i i i
i1 i1 i1
3.67
r  0.9632
0.7222.646
因为y与t的相关系数近似为0.9632，说明 y与t的相关程度相当高，从而可以用线性回归
模型拟合 y与t的关系。
1 2 1 1 1 2 7
（2）依题意得，P  P  P (n3)，其中P  ,P     ,
n 3 n1 3 n2 1 3 2 3 3 3 9
2
则P P  (P P )(n3)
n n1 3 n1 n2
4 2
{P P }是以首项为P P  ,公比为 的等比数列
n n1 2 1 9 3
4 2
故P P  ( )n2(n2)成立
n n1 9 3
则有P P P P P P
n n1 n2 n3 2 1
4 2 2 2 2
 [( )0 ( )( )2 ( )n2]
9 3 3 3 3
2
1( )n1
4 3

9 2
1( )
3
4 4 2
  ( )n1
15 15 3
4 4 2 1
P  P   ( )n1，又P 
n 1 15 15 3 1 3
1 4 4 2 3 2 2
P    ( )n1   ( )n
n 3 15 15 3 5 5 3
（3）当n为偶数时，
3 2 2 7 3
P   ( )n， 单调递减，最大值为P  ,n,P 
n 5 5 3 2 9 n 5
当n为奇数时，
3 2 2 1 3
P   ( )n，单调递增，最小值为P  ,n,P 
n 5 5 3 1 3 n 5
7 1
所以数列{P}的最大值为 ，最小值为
n 9 3
.
{#{QQABIYqAogAIABBAAQhCEQWwCAMQkgACAQgGRBAEIAAAiBFABCA=}#}