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江苏省如皋中学 2024—2025 学年度高三年级测试
数学试卷
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集
合为（ ）
A． B．
C．(0,1) D．(2,3)
2. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
3. 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4. 方程 的实数解有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
5. 已知直线 与椭圆 相交于 两点，椭圆的两个焦点是
， ，线段 的中点为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
6. 已知圆 的方程为 ，则“ ”是“函数 的图象与圆 有四个公
共点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 是双曲线
右支上一点，直线 交双曲线 的左支于 点．若 ， ， ，
且 的外接圆交双曲线 的一条渐近线于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
8. 已知 分别是椭圆 的左右焦点，过F 作直线交椭圆于A、B
2
两点，已知 ， ，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得
部分，有选错的得0分.
9. 已知曲线C： ，下列结论中正确的有（ ）
A．若 ，则C是椭圆，其焦点在 轴上
B．若 ，则C是圆，其半径为
C．若 ，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若 ， ，则C是两条直线
10. 如图，正方体 的棱长为4，
点 是其侧面 上的一个动点（含边界），
点 是线段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A．存在点 ，使得二面角 大小为
B．存在点 ，使得平面 与平面 平行
C．当 为棱 的中点且 时，则点 的轨迹长度为
D．当 为 的中点时，四棱锥 外接球的表面积为
11. 已知抛物线 上存在一点 到其焦点的距离为3，点 为直线
上一点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 为坐标原点．则
A．抛物线的方程为 B．直线 一定过抛物线的焦点 （ ）
C．线段 长的最小值为 D．
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12. 过点 的等轴双曲线的方程为 .
13. 过点 的直线l与曲线 有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围
为 ．
14. 已知过点 可作三条直线与曲线 相切，则实数a的取值范围为
．
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)求函数 在区间 上的最小值 ．16. 设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物
线 的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ．
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(2)设l上两点P，Q，关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线
与x轴相交于点D．若 的面积为 ，求直线AP的方程．
17. 如图，直三棱柱 的体积为1， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求二面角 的余弦值．
18. 设双曲线 的方程为 ，直线 过抛物线 的焦点和点
.已知 的焦距为 且一条渐近线与 平行.
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 过双曲线 上的右焦点，若 与 交于点 （其中点 在第一象限），与直线 交于点 ，过 作平行于 的直线分别交直线 轴于
点 ，求 .
19. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个不同的根 ．
(i)求 的取值范围； (ii)证明： ．
江苏省如皋中学2024—2025学年度高三年级测试
数学答案
1.【答案】A【详解】因为 ， ，
所以 ，所以 ，
即图中阴影部分表示的集合为 .故选：A
2. 【答案】B
【详解】设圆锥母线长为 ，高为 ，底面半径为 ，
则由 ，得 ，所以 ，
所以 ．故选：B．
3. 【答案】C
【详解】设抛物线方程为 或 ，
依题意知 ，∴ .∴抛物线方程为 .故选：C.
4. 【答案】C
【详解】 ，所以 或
，所以 或 ，
所以方程 的实数解有2个.故选：C.
5. 【答案】B
【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，由题可知 ， ，
1 1 2 2则 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，则 ，所以 ，故选：B．
6. 【答案】B
【详解】由圆 的方程为 可得圆心 ，半径 ，
若圆与函数 相交，则圆心到直线 的距离 ，
的
即 ，若函数 图象与圆 有四个公共点，则原点在圆的外部，
即 ，解得 ，
综上函数 的图象与圆 有四个公共点则 ，
所以“ ”是“函数 的图象与圆 有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B
7. 【答案】D
【详解】因为点M，N分别在双曲线C的右支和左支上，所以
．又 ， ， ，所以 ，
解得 ， ，
所以 ，所以 是直角．
在 中， ，所以 ，解得 ，
所以 ，即 ．又 的外接圆交双曲线 的一条渐近线于点P(x ,y )，所以 ，所以点P(x ,y )的坐标满足 ，解得 ，
0 0 0 0
所以 ，故 .故选：D．
8. A
解：试题分析：如图所示，设 ，因为 ，所以
，
，
所以 ，解得 ，所以 ，
，在 中，由余弦定理得
，化为 ，所以
，化简得 ，所以 ，
9. 【答案】CD
【详解】对于A，若 ，则 可化为 ， ， ，
∴ ∴
即曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故A不正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，此时曲线C表示圆心在原点，半
径为 的圆，故B不正确；对于C，若 ，则 可化为 ，此时曲线C表示双曲线，由
可得 ，故C正确；
对于D，若 ， ，则 可化为 ， ，此时曲线C表示平行
于x轴的两条直线，故D正确．
故选： CD.
10. 【答案】BC
【详解】对于A，在正方体 中，可得 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以二面角 的平面角为 ，其中 ，所以A错误；
对于B，如图所示，当M为 中点， 为 中点时，
在正方体 中，可得 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，且 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，所以B正确；
对于C，如图所示，取 中点 ，连接 ， ， ，
在正方体 中， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，可得 ，则 ，
则点 在侧面 内运动轨迹是以 为圆心、半径为2的劣弧，
分别交 ， 于 ，如图所示，则 ，
结合对称性可知， ，
则 ，劣弧 的长为 ，所以C正确；
对于D，当 为 中点时，可得 为等腰直角三角形，且平面 平面
，
连接 与 交于点 ，可得 ，
所以四棱锥 外接球的球心即为 与 的交点 ，
所以四棱锥 外接球的半径为 ，其外接球的体积为 ，所以
D错误.故选：BC.
11. 【答案】ACD
【详解】由抛物线 ，可得焦点坐标 ，准线方程为 ，
因为抛物线 上存在一点 到其焦点的距离为 ，
由抛物线的定义可得 ，可得 ，
所以抛物线的方程为 ，所以A正确；设 ，显然直线 的斜率存在且不为0，设斜率为 ，
可得 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
因为 是抛物线的切线，所以 ，即 ，
且点 的纵坐标为 ，代入抛物线方程，可得 横坐标为 ，即 ，
设直线 的斜率存在且不为0，设斜率为 ，
同理可得： ，且 ，
所以 是方程 的两个不等式的实数根，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以D正确；
由 ，且 ，可得 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
又由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
所以直线 一定过定点 ，该点不是抛物线的焦点，所以B不正确.
由直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，且 ，联立方程组 ，整理得 ，所以 ，
则
，当且仅当 时，等号成立，
即 的最小值为 ，所以C正确.故选：ACD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12. 过点 的等轴双曲线的方程为 .
13. 过点 的直线l与曲线 有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围
为 ．
【答案】 ．
【分析】根据题意，将曲线 ，变形为 ， ，分析可得其为圆的上部
分，
结合直线与圆的位置关系即可．
【详解】由题意可设直线 ，又曲线 可化为 ， ，
作出直线l与曲线 的图象如图所示：
设图中直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，
则 ， ， ，
又直线 的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，解得 （舍去）或 ，要使两图象有两个不同的交点，则 ．故答案为：
14. 已知过点 可作三条直线与曲线 相切，则实数a的取值范围为
．
【答案】
【详解】 ，设点 为曲线 的切点，
则切线方程为 ，整理得 ，
将点 代入可得 ．
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减．
又 ， ， 当 时，方程 有3个不同的实数根，
即当 时，有3个不同的 满足方程 ，
即过点 可作三条直线与曲线 相切．
故答案为： .
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)求函数 在区间 上的最小值 ．【详解】（1） ，
由 ，得 ；由 ，得 ．
在 上单调递增，在 上单调递减．
的极小值为 ，无极大值．
（2）由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减．
， ．
①当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
②当 时， 在 上单调递增， ．
.
16. 【详解】（1）依题意设点 ，因 ，且 ，
由对称性知抛物线的准线 方程为 ，则 ，解得 ， ， ，
于是 ．
从而得椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 ．
（2）由于准线 方程为 ，依题意设 ，则 ．
因 ，则 ，得直线 方程为 ①，
将①式代入 中化简，得 ，
设 ，由韦达定理得 ，则 ，即 ，则 ，于是得直线 方程为 ，
令 ，解得 ，即 ．则 ，
于是 ，化简得 ，即得 ，
代入①式化简，得直线 方程为 ，或 .
17. 【详解】（1）直三棱柱 的体积为： ，
则 ，四边形 为正方形，
法一：在直棱柱 中， 面 ， ，
又 平面 ，则 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
在正方形 中，有 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ．
法二：直棱柱 ， 平面 ，又 ，以 为原点， ， ， 所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ，
，所以 ．
（2）由（1）得 ，
设 ，在 中，过 作 于 ，连接 ，
因为 ， ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
因为 ， ，得 ，
又在 中， ，得 ，
，
所以二面角 的余弦值为 ．
法二：
， ， ， ， ，， ，设平面 的法向量： ，
则 ，取 ，得 ，
， ，设面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设二面角 的大小为 ，则：
，
因为 为锐角，所以二面角 余弦值为 ．
18.解：因为拋物线 的焦点为 ，所以直线 的斜率 ，
因为双曲线 的一条渐近线与 平行，所以 ，即 .又因为双曲线 的焦距为
，即 ，
所以 ，所以双曲线 的方程为 .
【小问2详解】
双曲线 的右焦点为 ，
由题意知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 ，联立 ，消去 得 ，
且 ，所以 ，
将 代入 得 ，所以 .
直线 方程为 ，与直线 联立，
可得 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 为 的中点，即 .
19. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个不同的根 ．
(i)求 的取值范围； (ii)证明： ．
【详解】（1）由题意得 ， ，则 ，
由 ，解得 ．显然 ，
若 ，则当 时， 单调递增，当 时， 单调递减；若 ，则当 时， 单调递减，当 时， 单调递增．
综上，当 时， 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减；
当 时， 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增．
（2）（i）由 ，得 ，
设 ，由(1)得 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，
又 ，当 时， ，且当 时， ，
所以当 时，方程 有两个不同的根，即方程 有两个不同的根，故
的取值范围是 ．
（ii）不妨设 ，则 ，且 ．
解法一：
当 时， ，即 ；
当 时， ．
设
则
所以 在区间 内单调递增，
则 ，即 ，所以
又 在区间 内单调递减，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
故 ，所以 ，得证．
解法二：
设 ， ，
则 ，
所以 在区间 内单调递增，
又 ，
所以 ，即 ．
又 ，所以 ，
又 在区间 内单调递减．
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，得证．
