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参考答案
1.C
2. D
3. C
4.B
5.B
6.D
7.A
8.A
9. AD
10.BCD
11.BCD
12.
3.0
13.
a
c
b
14.
1
eln2
15.（1）
2,0
1
log
3
1
8
2
2
2
x
x
x
B
x
A
，
，
.......................... 4 分
2
1，
B
A
,3
1,
A
CR
,3
2,
)
(
B
A
CR
.............7 分
（2）因为集合
2
C
x
x
a
，C
A
，
当
2
a
时，C ，满足条件；当
2
a
时，C ，则
3
a
，即2
3
a
，
综上所述，
,3
a
．........................................................ 13 分
16.（1）
0
)
(
x
f
的解集为
2,1
, 2,1
是方程
0
)
(
x
f
的根且
0
k
k
k
k
2
2
1
1
2
2
1
1
k
2
3
)
(
2
x
x
x
f
................................. 5 分
（2）当
0
k
时，
2
)
(
x
x
f
，
0
2
0
)
(
x
x
f
，
2
x
................ 6 分
当
0
k
时，
)1
)(
2
(
)
(
kx
x
x
f
，即
0
)1
)(
2
(
kx
x
，即
0
)
1
)(
2
(
k
x
x
k
当
0
k
时，
0
)
1
)(
2
(
k
x
x
，
k
x
x
1
2
或
.............................. 8 分
当
0
k
时，
0
)
1
)(
2
(
k
x
x
（ⅰ）当
2
1
k
时，无解........................................................10 分
（ⅱ）当
2
1
k
时，
2
1
x
k
.................................................. 12 分
（ⅲ）当
2
1
k
时，
k
x
1
2
.................................................. 14 分
综上所述：当
0
k
时，不等式的解集为
k
x
x
x
1
2或
当
0
k
时，不等式的解集为
2
x
x
当
2
1
0
k
时，不等式的解集为
k
x
x
1
2
当
2
1
k
时，不等式的解集为
当
2
1
k
时，不等式的解集为
2
1
x
k
x
........................... 15 分
{#{QQABZYCEogAgAJJAARhCQwl4CEIQkAEAAagGxEAEsAAAwBFABAA=}#}
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17.（1）提出假设
0
H ：周平均锻炼时长与年龄无关联，
由2
2
列联表中的数据，可得
2
2
0.001
500
(80
240
120
60)
500
23.81
10.828
200
300 140
360
21
x
，
根据小概率值
0.001
的独立性检验，我们推断
0
H 不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联；.......................................... 7 分
（2）抽取的10 人中，周平均锻炼时长少于 小时的有
60
10
2
300
（人），
不少于 小时的有
240
10
8
300
（人），.......................................... 9 分
则X 所有可能的取值为1,2,3，
所以
2
1
2
8
3
10
1
(
1)
15
C C
P X
C
，
1
2
2
8
3
10
7
(
2)
15
C C
P X
C
，
3
8
3
10
7
(
3)
15
C
P X
C
，
所以随机变量X 的分布列为：
X
1
2
3
P
1
15
7
15
7
15
所以数学期望
1
7
7
12
(
)
1
2
3
15
15
15
5
E X
．................................. 15 分
18.（1）因为PA 平面ABCD，而AD 平面ABCD，所以PA
AD
，
又AD
PB
，PB
PA
P
，
,
PB PA 平面PAB ，所以AD 平面PAB ，
而AB 平面PAB ，所以AD
AB
.
因为
2
2
2
BC
AB
AC
，所以BC
AB
，根据平面知识可知
/ /
AD
BC ，
又AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以
/ /
AD
平面PBC ．........................7 分
（2）法一：以DA ，DC 为x ，y 轴，过点D 作平面ABCD 垂直的线为z 轴，建立如图所示空间
直角坐标系
:
D
xyz
令AD
t
，则
(
A t ，0，0) ，
(
P t ，0，2) ，
(0
D
，0，0) ，
2
4
DC
t
，
(0
C
，
2
4
t
，0) ，.............................................9 分
设平面ACP 的法向量
1
1
(
n
x
，
1y ，
1)
z
，所以
2
1
1
1
1
4
0
2
0
n
AC
tx
t y
z
，
设
2
1
4
x
t
，则
1y
t
，
1
0
z
，所以
2
1
( 4
n
t
，t ，0) ，.......................11 分
设平面CPD 的法向量为
2
2
(
n
x
，
2y ，
2)
z
，所以
2
2
2
2
2
2
2
0
4
0
n
DP
tx
z
n
DC
t y
，
设
2z
t
，则
2
2
x ，
2
0
y
，所以
2
( 2
n
，0，)t ，..............................13 分
因为二面角A
CP
D
的正弦值为
6
3
，则余弦值为
3
3
，
{#{QQABZYCEogAgAJJAARhCQwl4CEIQkAEAAagGxEAEsAAAwBFABAA=}#}
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又二面角为锐角，所以
1
| cos
3
3
n
，
2
1
2
2
2
1
2
2 4
| |
|
||
|
2
4
n
n
t
n
n
n
t
，
解得
2
t
，所以
2
AD
......................................................17 分
法二：如图所示，过点D 作DE
AC
于E ，再过点E 作EF
CP
于F ，连接DF ，
因为PA 平面ABCD，所以平面PAC 平面ABCD，而平面PAC 平面ABCD
AC
，
所以DE 平面PAC ，又EF
CP
，所以
CP
平面DEF ，
根据二面角的定义可知，
DFE
即为二面角A
CP
D
的平面角，.................. 12 分
即
6
sin
3
DFE
，即tan
2
DFE
．
因为AD
DC
，设AD
x
，则
2
4
CD
x
，由等面积法可得，
2
4
2
x
x
DE
，
又
2
2
2
2
4
4
4
4
2
x
x
x
CE
x
，而EFC
为等腰直角三角形，所以
2
4
2 2
x
EF
，
故
2
2
4
2
tan
2
4
2 2
x
x
DFE
x
，解得
2
x
，即
2
AD
．........................ 17 分
注：其他做法相应给分.
19.（1）
cos
f x
x
，
sin
1
f
x
x
在R 上恒成立，
故
cos
f x
x
是R 上的“一阶有界函数”；
2x
g x
，
2 ln 2
x
g
x
，当
1
x 时，
12 ln 2
2ln
1
g
x
e
，
故
2x
g x
不是R 上的“一阶有界函数”.
...................................... 4 分
{#{QQABZYCEogAgAJJAARhCQwl4CEIQkAEAAagGxEAEsAAAwBFABAA=}#}
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（2）正确. 若函数
f x 为R 上的“一阶有界函数”，则
1
f
x
，
又
f x 在R 上单调递减，即
0
x
f
，所以
1
0
f
x
，
令
F x
f x
x
，
1
0
F
x
f
x
，所以
( )
F x 在R 上单调递增，
设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，其中
1
2
x
x
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
0
f x
f x
f x
x
f x
x
F x
F x
k
x
x
x
x
x
x
）
（
，故
1
k ；
又
f x 在R 上单调递减，所以
1
2
f x
f x
，
1
2
1
2
0
f
x
f
x
k
x
x
，故1
0
k
；... 10 分
（3）函数
3
2
e
e
1
x
h x
ax
x
a
x
，
2
e
3
2e
1
x
h x
ax
x
a
若( )
h x 为区间[0,1] 上的“一阶有界函数”，则
1
h
x
，
1
1
h x
对
0,1
x
恒成立
则
0
1
h
，2
1
a
，1
3
a
；
1
1
h
，2
e 1
1
a
，e
2
e
2
2
a
，
则
e
1
2
a
≤
≤
．................................................................. 12 分
令
2
e
3
2e
1
x
T x
h x
ax
x
a
，
e
6
2e
x
T
x
ax
，其中
e
1
2
a
≤
≤
，
因为
ex
y
，
6
y
ax
在区间[0,1] 上单调递增，所以
e
6
2e
x
T
x
ax
在区间[0,1] 上单调递增，
0
1 2e
0
T
，
1
6
e
0
T
a
，所以存在
0
0,1
x
，使
0
0
T
x
，即
0
0
e
6
2e
0
x
ax
，
当
0
0
x
x
时，
0
T
x
，
( )
T x 单调递减；当
0
1
x
x
，
0
T
x
，
( )
T x 单调递增.
所以，
h x
在区间
0
0, x
单调递减，在区间
0,1
x
单调递增，
所以
0
2
2
0
0
0
0
0
min
e
3
2e
1
3
6
2e
2e
1
x
h x
h x
ax
x
a
ax
a
x
a
，.......... 14 分
所以
0
1
h x
在区间
0
0,1
x
时有解，
因为对称轴为
6
2e
e
1
1
6
3
a
x
a
a
，
0
h x
在区间
0
0,1
x
上单调递减，
所以
0
2
1
1,
2
2
h
e
a
a
e
，........................................... 16 分
综上：
e
1, 2
a
．............................................................. 17 分
{#{QQABZYCEogAgAJJAARhCQwl4CEIQkAEAAagGxEAEsAAAwBFABAA=}#}
