文档内容
2024-2025 湖北省“新八校协作体”高二年级 12 月联考数学试题❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知空间向量 ， ，若 与 垂直，则 等于( )
A. B. C. 3 D.
2.椭圆 的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为
A. B. C. 2 D. 4
3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是( )
A. 至少有1名女生与全是女生 B. 至少有1名女生与全是男生
C. 恰有1名女生与恰有2名女生 D. 至少有1名女生与至多有1名男生
4.已知一组数据 ， ， ， 的平均数和方差分别为80，21，若向这组数据中再添加一个数据80，数
据 ， ， ，80的平均数和方差分别为 ， ，则( )
A. B. C. D.
5.在直三棱柱 中， ， ，E为 的中点，则 与AE所成角
的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.过点 的直线l与椭圆 相交于A，B两点，且M恰为线段AB的中点，则直线l的斜率为
( )
A. B. C. D.
7.已知圆 ，圆 ，M，N分别是圆 ， 上的动点，P为x
轴上的动点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，已知向量 ，点 ，点 若直线l经过点
，且以 为方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为 若平面 经过点
，且以 为法向量，P是平面 内的任意一点，则平面 的方程为 利用
以上信息解决下面的问题：已知平面 的方程为 ，直线l是平面 与平面
的交线，则直线l与平面 所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6
分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为 ，乙每次命中概率为 ，甲和乙是否命中互不影
响，甲、乙各投篮一次，则( )A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为
C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为
10.设动直线 与圆 交于A，B两点，则下列说法正确的
有( )
A. 直线l过定点 B. 当 最大时，
C. 当 最小时， D. 当 最小时，其余弦值为
11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形
围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的
棱长为 ，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一
样的四面体所得的，下列结论正确的有( )
A. 平面GHMN
B. 若E是棱MN的中点，则HE与平面AFG平行
C. 若四边形ABCD的边界及其内部有一点P， ，则点P的轨迹长度为
D. 若E为线段MN上的动点，则HE与平面HGF所成角的正弦值的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系 中，已知点 ， ， ，则点A到直线BC的距离为 .
13.若曲线 与直线 有两个交点，则实数k的取值范围是 .
14.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作一条渐近线的垂线，垂足
为Q，延长 与双曲线的右支相交于点P，若 ，则双曲线C的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题13分
已知圆C的圆心在y轴上，且经过点 ，
求圆C的标准方程;
过点 的直线l与圆C交于A、B两点，若 ，求直线l的方程.
16. 本小题15分求满足下列条件的双曲线的标准方程：
过点 ，且与双曲线 的离心率相等;
两顶点间的距离为8，渐近线方程为
17. 本小题15分
半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为 公里，为全程马拉松距离的一半 世纪50年代，一些
赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们
对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将
参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，
第五组 ，得到如图所示的频率分布直方图.
根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄;
现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.
若有甲 年龄 ，乙 年龄 两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再
随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率;
若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别
为42和2，据此估计年龄在 内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差.
18. 本小题17分
如图1，在直角梯形ABCD中，已知 ， ，将 沿BD翻折，使平面
平面 如图2，BD的中点为
求证： 平面若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为 若
存在，求出点H的位置;若不存在，请说明理由.
19. 本小题17分
有一个半径为8的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为 ，将纸片折叠，使圆周上某一
点 M与点F重合，每一次折叠，都留下一条折痕，当 M取遍圆上所有点时，所有折痕与ME的交点P形
成的轨迹记为曲线C，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中点O为原点，建立平面直角坐标系.
求曲线C的方程;
若直线 与曲线C交于A，B两点.
ⅰ 当k为何值时， 为定值，并求出该定值;
ⅱ 过A，B两点分别作曲线C的切线，当两条切线斜率均存在时，若其交点Q在直线 上，探
究：此时直线l是否过定点?若过，求出该定点;若不过，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了两个空间向量的垂直关系，考查了模长求解，属于基础题．
根据向量垂直的条件列式求出n的值，最后运用求模公式求|
【解答】
解：因为 ， ，
与 垂直，所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以| ，
故选：
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质，是基础的计算题．
由题意可得 ， ，求出a，b的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得m值．
【解答】解： 椭圆 的焦点在x轴上，
， ，则 ，
又长轴长是短轴长的两倍，
，即
故选D
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系，属于基本概念型
题．
互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由
此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．
【解答】
解：“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女.
至少有1名女生与全是女生不是互斥事件，故 A错误;
至少有1名女生与全是男生是对立事件，故 B错误;
恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确;
至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误.
故选：
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平均数与方差的性质，属于基础题.
利用平均数与方差的性质直接求解即可.
【解答】
解：由题得 ，所以 ，则新数据平均数为
故A，B错误;
且由题意 ，所以
，
则新数据方差为
故D正确.故选：
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值．
【解答】
解：以 为原点，以 ， ， 为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
故 与AE所成角的余弦值为
故选：6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆中点差法的运用，是基础题．
由直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，利用点差法能求出直线l的斜率．
【解答】解：显然 在椭圆 内，
当直线l的斜率不存在，即直线l方程为 时， ， ，或 ， ，
不是线段AB的中点，所以直线l的斜率存在，
设 ， ，则 ，
两式相减并化简得 ，
又 ， ，代入得 ，解得 ，故选
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆的对称圆方程、与圆有关的最值问题，两点距离公式的应用问题，也考查了转化思想与计算能
力，数形结合思想的应用问题
根据题意画出图形，结合图形，求出圆 关于x轴的对称圆的圆心坐标 与半径，再求出圆 与圆
的圆心距减去两个圆的半径和，即为 的最小值．
【解答】
解：圆 ，圆心为 ，半径 ，圆 ，圆心为
，半径为 ，如图：
圆 关于x轴的对称圆为圆 ，连接 ，交x轴于P，交圆 于M，交圆 于
N，此时， 最小，最小值为
，故选：
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求直线与平面所成的角，考查阅读理解能力，属于中档题.根据平面 的方程 ，得 平面 的一个法向量 ， 设平面 与平面
的交线的方向向量为 ，求得 ，由此可求出直线 l 与平面 所成角的正
弦值.
【解答】
解： 平面 的方程为 ， 平面 的一个法向量 ，
同理，可得平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 的交线的方向向量为 ，
则 ，取 ，
设直线l与平面 所成角为 ，
则 ， ，
故选
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
按照独立事件的概率计算公式 和对立事件的概率计算公式 ，求解即
可．
【解答】
解：设事件A为“甲中靶”，设事件B为“乙中靶”，这两个事件相互独立，
对于A，都中靶的概率为 ，故A正确；
对于B，恰好有一人中靶的概率为 ，故B正确；
对于C，两人都不中靶的概率为 ，故C错误；
对于D，至少一人中靶，其对立事件为两人都不中靶，
故至少一人中靶的概率为 ，故D错误；
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题，属于中档题.
对各选项逐一判定正误，即可得到答案.
【解答】
解：对于选项A，动直线 ，可得： ，由 得 ，即直线l
过定点 ，即选项A正确;
对于选项B，当 取得最大值时，直线l过圆心 ，则 ，得 ，选项B正确;
对于选项C，当 取得最小值时，直线l与 和 的连线垂直，经过 和 的直线的斜率为
1，故直线l的斜率为 ，故 ，选项C正确：
对于选项D，当 最小时， 最小，此时，直线l与 和 的连线垂直，则
，
由余弦定理可得 ，即选项D错误;
故选：
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查分析问题能力，将原几何体补形成正方体是关键，属于中档题．
将该半正多面体补成正方体，即可求出正方体的棱长，逐项求解，再建立空间直角坐标系，利用空间向量
法计算可得.
【解答】
解：“阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点.
对于A选项，由图可知 平面GHMN，A选项正确；
对于B选项，根据正方体的几何性质，易知平面 平面DBHN，
而HE与平面DBHN相交，故HE与平面AFG不平行，B选项错误；
对于C选项，半正多面体的棱长为 ，所以正方体的棱长为4，
在正方体中， 平面ABCD，得 ，故 ，
所以点P的轨迹是以Q为圆心，2为半径的圆，
又点P在四边形ABCD的边界及其内部，所以点P的轨迹是劣弧AB，
所以点P的轨迹长度为 ，故C正确；
D选项，如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，设 ，则 ，
所以 ， ， ，
设平面HGF的法向量为 ，HE与平面HGF所成角为 ，
则 ，取 ，则 ，
，
由 ，可得 ，故D选项正确.
故选
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离的向量求法，属于基础题.
先求出 在 上的投影长度，进而可求出结果.
【解答】
解：由题意可得， ， ，
则点A到直线BC的距离为
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系及判定，属于难题.
由解析式可知曲线为半圆，直线恒过 ；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.
【解答】解：如图，化简曲线 得： ， 表示以 为圆心，1为半径
的圆的上半圆.
直线 经过定点 且解率为k，半圆 与直线 有两个交
点，
设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为 ，
当直线的解率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点，
由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时调足 ，
解之得 ，即 ，
又因为直线AB的解率 ，所以直线的解率k的范围为
故答案为：
14.【答案】【解答】
解：双曲线的方程为 ，一条渐近线方程为 ，
设 ，可得 ，若 ，则 ，
由双曲线的定义可得 ，
在直角三角形 中， ， ，
在 中，
，即有 ，
即 ，即 ，
则 故答案为：【解析】本题主要考查双曲线的离心率，属于偏难题.
在直角三角形 中， ， ，在 中，
，即可得.
15.【答案】解： 设圆心的坐标为 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，圆的半径为 ，
因此，圆C的标准方程为
当 时，圆心C到直线l的距离为 ，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，此时，圆心C到直线l的距离为1，符合题意;
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，即 ，则 ，解
得 ，此时，直线l的方程为
综上所述，直线l的方程为 或
【解析】本题考查圆的标准方程、直线与圆相交的弦长
设圆心的坐标为 ，由题意可得 ，求出b的值，从而可得圆的
半径，即可求解；
结合弦长求出圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在进行求解即可。
16.【答案】解： 由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，且 ，
双曲线 的离心率为 ，
则 ，得 ，故 ，
所以双曲线的方程为 ；
由题意知 ，
当双曲线的焦点在x轴上时， 得 ，
所以双曲线的方程为 ；
当双曲线的焦点在y轴上时， 得 ，
所以双曲线的方程为
综上所述，双曲线的方程为 或
【解析】本题考查双曲线的标准方程和双曲线几何性质，属基础题目.
由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，且 ，结合离心率求解即可；
由题意知 ，讨论焦点位置求解即可17.【答案】解： 设参与知识竞赛者的平均年龄为 ，
则
由题意得，第四组应抽取 人，记为 甲 ，B，C，D，
第五组应抽取 人，记为 乙 ，F，
对应的样本空间为：
，
设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则 ，
所以
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为 ， ，方差分别为 ， ，
则 ， ， ， ，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 ，方差为 ，
则 ，
，
据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为
【解析】本题考查频率分布直方图的性质平均数、方差、概率、古典概型、列举法等基础知识，属于基础
题．
根据频率分布直方图中平均数的公式计算即可求解；
用列举法列出所有的基本事件，根据古典概型的公式即可求解所求事件的概率；
根据平均数，方差的公式即可求解．
18.【答案】解： 证明：因为 ，BD的中点为O，所以 ，
又因为平面 平面BCD，平面 平面 ， 平面ABD，
根据面面垂直的性质可得 平面BCD；
取DC的中点为M，连接MO，则 ，由图1直角梯形可知，ABMD为正方形，
， ， ， ，
由 平面BCD，可知OD，OM，OA两两互相垂直，
分别以OD，OM，OA为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
设 ，
，
设平面GHB的法向量为 ，
取 ，则 ，即平面GHB的法向量为 ，
由 平面BCD，取平面BCD的法向量 ，
设平面GHB与平面BCD的夹角为 ，
则 ，
解得 或 舍
所以，线段AC上存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为
点H位于线段AC靠近A的三等分点处.
【解析】本题考查了面面垂直的性质定理、利用空间向量求二面角，属于中档题.
由 ，BD的中点为O，可得 ，由平面 平面BCD，根据面面垂直的性质即可求
证；
建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得答案.
19.【答案】解： 由题意可知， ，
，所以点P的轨迹是以F，E为焦点，长轴长为8的椭圆，
所以曲线C的方程，即椭圆方程为设 ， ，
由 消元得， ，，
由 ，得
则 ， ，
当 为定值时，即与 无关，
令 ，得 ，此时 恒成立，
即当 时， 为定值，且定值为
设在A点处的切线方程为 ，
由 消去y，整理得 ，
由 ，
化简得 ，因为 ，
所以 ， 故在A点处的切线方
程为 ，整理可得 ，①
同理可得，在B点处的切线方程为 ②
设 ，，将其代入①②，得 ， ，
所以直线l的方程为 ，即 ，
令 得 ，故直线l过定点，且定点坐标为
【解析】本题考查椭圆的定义及标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点问题，属于较
难题.
利用椭圆的定义判断轨迹，即可求出方程.
联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出 ，写出关于k的表达式分析可
得.
求出在A，B两点处的切线方程，设出Q点坐标，并分别代入到两条切线方程，进而表示出直线l的方
程，即可得到定点.
