2024-2025 学年湖北省楚天教科研协作体高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点 关于直线 对称的点为 ，则直线 的方程为( )
A. (2,4) (−1,2)B.
C. 4 −6 +15= 0 D.6 +4 +15=0
6 +4 −15=0 4 −6 −15=0
2.若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 的值为( )
2 2
1
16+2 =1 3
A. B. C. D.
16 10
3.已3知 为等差数列 的前9 项和，若 9 ， ，则 1的2值为( )
A. { }B. 3+ C 9 .=6 12 =48 D 1 . 5
21 20 19 18
4.点 是曲线 上任意一点，则点 处切线倾斜角的取值范围为( )
3 3 2
A. =− 3 + B. 3 +1 ， C. D. ，
[0,3] [0,3]∪(2 ) [3, ) [0,3]∪(2 ]
5.若双曲线的两渐近线的夹角为 ，实轴长为 且焦点在 轴上，则该双曲线的标准方程为( )
3 6
A. B. 或
2 2 2 2 2 2
9 − 3 =1 9 − 3 =1 3 − 9 =1
C. D. 或
2 2 2 2 2 2
6.已9知−27，=1 且 ，则下列结论错误的是9( − ) 3 =1 9 −27=1
∗
A. ∈ ≥ B.
+1
C. +1 =( +1) D. 若!= ( −1，)!则
−1 −2
+1 = + =21 =7
7.已知数列 的前 项和为 ，前 项的积为 ，若 ，当 取最小值时， ( )
1
A. { } B. C . =2 −409D5. 或 =
10 11 12 12 13
8.设 ， ， ，则 、 、 的大小关系为( )
8 3 2 9 5
A. = cos 8 = B . =4 sin 9 C . D.
二、 多>选 >题 ：本题共3小题， 共> 18>分 。在每小题 给>出 的>选 项中，有多 项>符 合>题 目要求。
9.已知直线 ，圆 则下列命题正确的有( )
2 2
A.直线 过定 :点 + −4=0 :( −1) +( −4) =9
B.若直线 过 点(0，,4则)
=0
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1 8C.存在实数 ，使得直线 与圆 相切
D.若直线 与 圆 相交于 ， 两 点，则 ， 两点间的最短距离为
10.对任意 实数 ，有 4 2 则下列结论正确的是( )
9 2 9
A. (2 +1) = 0+ 1( +1B).+ 2( +1) +⋯的+最 大9(值 +为1) .
0 =1 ( =0,1,⋯,9) 7
C. D.
9
3−3 9
11. 已 2+知 函 4 数+ 6+ 8 = 2 存在| 0 两|+个|极 1 值|+点| 2 ，|+⋯+| 9|=，且3 ，
3 2
设 的零点 个( 数)=为 ，+方 程 + + ( >0) 的实 根1个 数2( 为1 <， 则2)( ) ( 1)= 1 ( 2)=− 2.
2
A. ( ) 3 ( ( )) +2 B( .)+的 取=值0为 、 、
C. 2 >0 D. 的取值为2 、3 、4
三、 填=空 题+： 本+题2共3小题，每小题5分，共15 分 。 3 6 9
12.已知圆 和圆 ，则两圆的公共弦长为 ．
2 2 2 2
13.某高中为 :开 展+新 质=课9堂，丰 富:( 学−生4的) 课+余( 生+活3)，开=设54了若干个社团。高二年级有 名同学打算参加“书
法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团。若每名同学必须5参加且只能参加 个
社团且每个社团至多两人参加，则这 个同学中至多有 人参加“舞动青春”社团的不同方法数 1
为 用数字作答 5 1
14.已知.( 且 )，集合 和集合 ，若 ，则实数 的取值范围
⌀
2 2 3
为 ．>0 ≠1 ={ | > } ={ | <log } ∩ =
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
已知( 13的展)开式中的第 项、第 项和第 项的二项式系数成等差数列．
求(2的 −值1．) 2 3 4
(1)记 ，求 被 除的余数．
(126). 本 小( )题=(2 分−1) (14) 4
已知(数列 15满足) ，
1 3 ∗
{ } 1 =2 +1 =1+2 ( ∈ ).
证明：数列 是等比数列．
1
(1) { −1}
设 ，求 ．
2 ⋅ +1
( 1 2 7 ). 本 小 =题 3 分 1+ 2+⋯+
已知(函数 15 ) ．
( )= −2 +
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2 8当 时，求曲线 在 处的切线方程
(1)若函 =数2 有最小值 ，=且 ( ) 的 最=小1值大于 ;，求实数 的取值范围．
2
(128). 本小题 ( ) 分 ( ) 4 +
已知(以 17为焦)点的抛物线 的顶点为原点，点 是抛物线 的准线上任意一点，过点 作抛物线 的两条切
线 ， (2，,0)其中 ， 为切点 ，设直线 ， 的 斜率分别是 和 ．
1 2
求抛物线 的标准方程及其准线方程．
(1)求证： 为定值．
(2)求 1面⋅ 积2 的最小值．
(139). 本△小 题 分
已知(函数 17 ) ．
证明： 当( )= ln(时 +， ) ．
(1)设 ′≤1 ( )< ，令 ．
1
(2) ( )= ( )− + ( ) =0
(ⅰ)讨论 的单调性．′ ( )
(ⅱ)若 ( 存)在两个极值点 ， ，证明： ．
( 1)− ( 2)
( ) 1 2( 1 < 2) 2− 1 >2−
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3 8参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
13.2 5
360
14.
3
2
0,1 ∪ ,+∞
15.解： 展开式的第 项，第 项，第 项的二项式系数分别为： ，
1 2 3
(1) 2 3 4 , ,
所以 ， ，
2 1 3 2 ( −1) ( −1)( −2)
解得2 =或 + 舍 ，2 = + 6
所以 的=值7为 ；=2( )
的7通项为 ，
7−
(当2)(2 −1时)， +1 = 7·(2 ) ，·(−1)
7−
① =14时， +1 = ，7·28 ·(−1) 能被 整除，
7−
② <6 7− >1 +1 = 7·28 ·(−1) 4 ， 被 除的余数为 ，
6 6 7 0 7
所以 7+ 8 被= 7除×的28余×数(为−1)．+ 7×28 ×(−1) =195 195 4 3
16.解 ：(14) 由4已知得 3 ，于是 ，
1 2 +1 1 1 1 2
(1) +1 = 3 +1 =3⋅ +3
所以 ，
1 1 1
+1−1= 3( −1)
又 ，
1
1−1=2−1=1
是首项为 ，公比为 的等比数列；
1 1
∴ −1 1 3
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4 8由 知， ，
−1
1 1
(2) (1) −1= 3
，
−1
3
∴ =3 −1 +1
，
−1
2 ⋅ +1 2×3 1 1
∴ = 3 =(3 −1 +1)(3 +1)=3 −1 +1−3 +1
1 1 1 1 1 1 1 1
∴ 1+ 2+⋯+ = − + − + − +⋯+ −1 −
． 2 4 4 10 10 28 3 +1 3 +1
1 1
= 172.解 − ：3 +1当 时， ，
′ (1) =，2 =2−4 +
′ =−4+ ， ．
故曲1线=−4+ 在 1 =处2的−切4线+方 程=−为2+ ，
即 = ( ) =1． − −2+ = −4+ −1
因 −为4 − +2=0 ．
(所2)以 ′ ( )= −2 ． +
当 时，= ′−2 ， 为增函数，此时函数没有最小值，不符合题意；
当2 ⩽0时，令 ′ = −，2则 ⩾0 ( )，令 ′ ，则 ，
所以 >0 在 上>为0减函 数>，ln在2 上<为0增函数 ，< ln2
故 (的 )最小−值∞为,ln2 ln2 ,+∞ ，
ln2
由题 ( 意)可得： ln2 = −2 ln，2 即+ =3 −2 ln2 ，
2 2
因为 ，所3以 −2 ln2 >4 + ，即4 −2 +2 ln2 ，<0
令 >0 4 −2，+由2对ln数2 函<数0和一次2 函−数1的+单ln调2 性<可0知 在 上为增函数，
=2 −1+ln2 =2 −1+ln2 0,+∞
且 ，
1 1
2 =2×2−1+ln1=0
所以 的解集为 ．
1
2 −1+ln2 <0 0,2
所以 的取值范围是 ．
1
18.解 ： 由题意知抛 0, 物2 线 的标准方程为 ，
2
(，1) ， =2 ( >0)
∵抛 (物2,线0) 的∴标 准=方4 程为 ，准线方程为 ．
2
∴ 设点 的坐标为 ，=8 ， =−2
(由2)题意知 过点 与抛(物−线2, )相切 ∈的 直线的斜率存在且不为 ，
0
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5 8设切线的斜率为 ，则切线的方程为 ，
− = ( +2)
联立方程组 ，
2
=8
消去 ，得 ，
− = ( +2)
2
−8 +8 +16 =，0 得 ．
2 2
∴又 =(，−8为) 方−程4 (8 的+两16根 )，=0 2 + −2=0(∗)
∵ 1 2 为定(值∗)．
∴ 设1⋅直 2线=−1的方程为 ， ，
(3) = + ( 1, 1) ( 2, 2)
联立方程组 ，
2
=8
整理得 ，
= +
2
−8 ，−8 =0 ．
∴ 1+ 2 =8， 1 2 =−8
∵ 1 2 =−1 ，
1− 2−
∴ 1 2 = 1+2· 2+2=−1
整理得 ，
2 2
1 2
代入有( 8 +2)( 8 +2)+( 1− )( 2− )=，0
2 2 2
+16 + −4 ，−8 +4=0
2 2
∴ ( −2) 且+( −4， ) =0 ，
∴
故
直
=
线
2
过
=
定
4
点
∴
．
: =4 +2
， (2,0) ，
∴ 1+ 2 =2 1 2 =−16
．
2 2
2 +16
∴ 点 | 到 | 直 = 线 1 的 + 距16离 ( 为 4 +64)= 2 ，
2
−16− 2
= 2 = 16+
16+
2
1 1 +16 2
∴ △ = | |⋅ = ⋅ ⋅ 16+
2 ， 2 2
3
1 2 2
=4(16+ )
当 时， ．
3
1 2
∴ =0 ( △ )min =4×(16) =16
19.解： 令 ，其定义域为 ，求导得 ′ ，
1
(1) ℎ( )= −ln( + ) (− ,+∞) ℎ ( )= − +
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
1
= (− ,+∞) = + (− ,+∞)
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6 8所以 ′ 在 上单调递增，当 时， ′ 当 时， ′ ．
+
又因为ℎ ′( ) (− ,+，∞)当 时， ′ → ， ℎ ( )→−∞; →+∞ ℎ ( )→+∞
1
ℎ (0)= 1− ≤1 ℎ (0) ≥0
设 ′ ，即 ，则 ， ，
0 1 0 1
当 ℎ ( 0)=0 时， ′ − 0+ = ， 0 单 调 = 递 减0+ 当 0 =− 时 l ， n( ′ 0+ ) ， 单调递增．
所以− < < 0 ℎ ( )<0 ℎ( ) ; > 0 ℎ ( )>0 ℎ( ) ，
0 1 1
所以 ℎ( )min = ， ℎ 即 ( 0)= −ln( ， 0+ 当 )= 0时+ ， + 0 = 0+得 证 + ； 0+ − ≥2− ≥1>0
ℎ( )>0 >ln( + ) ≤1 ( )<
(2)
(ⅰ)当 时， ， ′ ，则 ，定义域为 ，
1 1
=0 ( )= ln ( )= ( )= − + ln (0,+∞)
求导得 ′ ，
2
1 − +1
令 ( )，=当− 2−1，+即 =− 2 时， 恒成立，
2 2
′△= −，4 △在≤0 −上2单≤调 递≤减2 ， − +1 ≥0
( )≤ 0 ( ) (0,+∞)
当 ，即 或 时，方程 的两根为 ， ，
2 2
2 − −4 + −4
△>0 >2 <−2 − +1=0 1 = 2 2 = 2
当 时， ，在 和 上， ′ ， 单调递减
2 2
− −4 + −4
>2 0< 1 < 2 (0, 2 ) ( 2 ,+∞) ( )<0 ( ) ;
在 上， ′ ， 单调递增，
2 2
− −4 + −4
当( 2 时,， 2 ，) ，( 在)>0 (上 )， ′ ， 单调递减；
ⅱ <因−为2 ， 是1 <0 的 两2 <个0极值点(0，,+所∞以) ， 是(方 )程<0 ( ) 的两个根，
2
(所以) 1 2 ， ( ) ， 1 2 − +1=0
1 1
1+ 2 = 1 2 =1 ( 1)− ( 2)=( 1− 1+ ln 1)−( 2− 2+ ln 2)
--
1 1 2− 1 1
=( 1− 2)−( 1− 2)+ (ln 1 ln 2)= 1 2 −( 1− 2)+ ln 2
则 ．
1
1 1 1 ( 1)− ( 2) ln 2
=( 2− 1)( 1 2+1)+ ln 2 =( 2− 1)(2+ )+ ln 2 2− 1 =2+ + 2− 1
要证 ，即证 ，即证 ．
1 1
( 1)− ( 2) ln 2 ln 2
2− 1 >2− 2+ + 2− 1 >2− 2− 1 >−2
因为 ，即证 ，即证
1
ln 2 1
令 >2 2−， 1则>−2 ，又ln 2 <2( ， 2− 1).
1
= 2(0< <1) 1 = 2 1 2 =1
所以 ， ， ，
2 1
2 =1 2 = 1 =
则 ， ，
1 1 1−
ln 2 =ln 2− 1 = − =
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7 8即证 ，即证
1 1 2(1− )
ln <2( − )⋅ = ln <2(1− ).
令 ，求导得 ′ ，
1
( )= ln −2(1− )(0< <1) ( )= ln +1+
令 ，求导得 ′ ，
1 1 1 2 −1
( )= ln +1+ ( )= −2 = 2
当 时， ′ ， 单调递减当 时， ′ ， 单调递增，
1 1
0< <4 ( )<0 ( ) ; 4< <1 ( )>0 ( )
所以 ，即 ′ ，
1 1
所以 ( )在> (4)上=单ln调4递+增1+，2= 3−ln4>0 ( )>0
所以 ( ) (0,1) ，即 ，
所以 ( )< (1)=0 得 证ln． <2(1− )
( 1)− ( 2)
2− 1 >2−
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8 8
