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湖北省武昌实验中学 2025-2026 学年度 12 月阶段性检测
高二数学试卷
2025.12.05
一、单选题
1. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的方程，得到双曲线的焦点在 轴上，且 ，即可求解双曲线的渐近线方程．
【详解】由双曲线 ，可知双曲线的焦点在 轴上，且 ，
所以其渐近线方程为 .
故选：B．
2. 椭圆 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为椭圆方程为 ，
所以 ，所以 .所以焦点坐标为 .
故选：C.
3. 已知两条平行直线 ，则 和 间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两平行线间距离公式求解即可；
【详解】 ，
所以由两平行线间的距离公式可得 ，
故选：D.
4. 已知空间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可.
【详解】由已知可得 ，
所以向量 在向量 上的投影向量是 .
故选：D.
5. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，
且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4， ，， ， 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，
则图中异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线 与 所成角的余弦值．
【详解】图，
设上底面圆心为 ，下底面圆心为 ，连接 ， ， ，
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ，，
又异面直线所成角的范围为 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：A．
6. 椭圆的离心率 大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解.
【详解】椭圆 的离心率 ，
椭圆 离心率 ，
的
椭圆 的离心率 ，
椭圆 的离心率 ，
可得 ，
得到最接近于圆的椭圆是 ，故B正确.
故选：B
7. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心 为一个焦点且离心率为 的椭圆，地球可看作半径为 的球体，近地点离地面的距离为 ，则远地点离地面的距离 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求
得答案.
【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，
则椭圆方程为 ，
则 ，且 ，解得 ， ，
故该卫星远地点离地面的距离为 ，
又 ，所以 .
故选：A.
8. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 过点 .若点 关于 的对称点恰好在椭圆 上，且 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆的定义、余弦定理列式，再结合 求解出离心率的值.
【详解】如图，由点 关于 的对称点 恰好在椭圆 上，得 ， ，
由椭圆定义，得 ，
在 中，由余弦定理得
，
则 ，
又 ，整理得 ，又椭圆的离心率 ，
于是 ，而 ，解得 ，所以 的离心率 .
故选：C
二、多选题
9. 已知： ，直线 相交于 ，直线 的斜率分别为 ，则（ ）A. 当 时， 点的轨迹为除去 两点的椭圆
B. 当 时， 点的轨迹为除去 两点的双曲线
C. 当 时， 点的轨迹为一条直线
D. 当 时， 的轨迹为除去 两点的抛物线
【答案】ABD
【解析】
【分析】设点 ， ， .
逐个代入选项化简 与 的关系式，来验证选项即可得到答案.
【详解】设点 ， ， .
当 时， ，
.
故 点的轨迹为除去 两点的椭圆，A正确
；当 时， ，
故 点的轨迹为除去 两点的双曲线，B正确；
当 时， .
，即不含点 ，轨迹是一条直线不含 ，C错误；
当 时，则 .
故 的轨迹为除去 两点的抛物线，D正确.
故选：ABD.
的
10. 抛物线 光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射
基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线
，一束光线从 点出发平行于 轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，
轴，设反射点分别为 ， ， 为坐标原点，过 ， 分别作 ， 的角平分线交于点 ，已
知 的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若 ，则直线 的斜率为
C. 存在直线 ，使得 ， ， ， 四点共圆 D. 面积的最小值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 选项，设直线 ，联立直线与抛物线方程，根据焦点弦长公式得
，从而得到 A 正确；B 选项， ，从而解得，故B正确；C选项，先得到 ，若点 ， ， ， 四点共圆，则 ，
利用向量数量积公式得到因为 ，故C错误，D选项，作出辅助线，得到 轴，
，得到 ，求出最小值.
【详解】A选项，由题意得直线 过焦点 ，设直线 ，
联立直线 与抛物线方程可得
设 ，
则 ，
所以 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ， ，故A正确；
B选项，由A知， ，
则 ，
解得 ，故B正确；
C选项， ， ，
所以 ，
如果点 ， ， ， 四点共圆，则 ，， ，
因为 ，故C错误，
D选项，过点 分别作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
因为 ， 的角平分线交于点 ，所以 ， ，
故 ，
设 为 的中点，连接 ，则 轴，
因为 ，所以 ，
由A知， ，由B知， ，
，
显然，当 时， 取得最小值，最小值为1，D正确，
故选：ABD
11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线
的左､右焦点分别为 ， ，双曲线的光学性质是：从右焦点 发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ，如图所示. 由此可得，
过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若 的最小值为2，且双曲线C的渐近线为
，则下列结论正确的有（ ）
A. 双曲线C的方程为
B. 若 ，则 的面积为24
C. 若点 处的切线交 轴于 ，则 轴
D. 当n过点 时，光由 所经过的路程为13
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由 又双曲线C的渐近线方程为 得 ，又 ，解出
即可判断，对于B，在 中， ，由勾股定理及双曲线的定义得 即
可判断，对于C，由 平分 ，由角平分线定理，得 ，又 ，
解出 ， 即可判断，对于D，利用双曲线的定义得 ，最
后利用两点间的距离公式即可判断.【详解】对于A，由题意可知， 因为双曲线C的渐近线方程为 ，所以 ，又
，解得 ，所以C的方程为 故A正确；
对于B，由 ，得 ，
在 中， ，由勾股定理及双曲线的定义知，
，
即 ，所以 ，则 ，故B错误；
对于C，由题意可知， 平分 ，由角平分线定理，得 ，
又 ，解得 ， ， ，
即 轴，故C正确；
对于D，由题意可知， ，当 过点 时，
由 双 曲 线 定 义 可 得 光 由 所 经 过 的 路 程 为
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12. 若实数 、 、 、 ，满足 ， ， ，则
的最大值为________
【答案】【解析】
【分析】设 ， 两点在圆 上， ，可
得 到直线 的距离 ，由此利用两平行线的距离，即可求
解 的最大值。
【详解】设 ,
因为实数 ，
所以 两点在圆 上，且 ,
所以 ，所以 是等边三角形， ，
点 到直线 的距离为 ，
点 到直线 的距离为 ，
在第三象限， 所在直线与直线 平行，
可设 ，
由圆心 到直线 的距离为 ，可得 ，解得 ，
即有两平行线之间 距离为 ，
的
所以 ，所以 ，
所以 的最大值为 。
故答案为： 。
【点睛】本题主要考查了代数式的最大值的求法，以及圆的性质和点到直线的距离公式等知识的综合应用，
着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。
13. 已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过 的直线与双曲线的右支交于 两点（其中
点 位于第一象限），圆 与 内切，半径为 ，则 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆 与 分别切于 ，利用圆的切线性质和双曲线定义可求得 ，同时知
为 的角平分线，设直线 的倾斜角为 ，可求得 ，结合双曲线渐近线的倾斜
角可确定 的范围，由此可确定 的范围.
【详解】由双曲线方程知：实半轴长 ，虚半轴长 ， 且 ，
设圆 与 分别切于 ，如下图所示：
由圆的切线性质知： ， ，由双曲线定义知： ，即 ，
设 ，则 ，解得： ，
由切线性质可知： 与 横坐标都为 ，
由三角形内切圆的性质知： 为 的角平分线，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
，
，
双曲线 渐近线为： ， 其倾斜角分别为 和 ，
又直线 与双曲线的右支交于 两点， 直线 的倾斜角 范围为 ，
则 ， ， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线中的参数范围的求解问题，解题关键是能够将所求的 表示为关
于直线 倾斜角 的函数的形式，根据 的范围，结合正切函数值域的求解方法可求得范围.
14. 已知F是抛物线C： 的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线 上
一动点，则 的最小值为______
【答案】5
【解析】
【分析】由抛物线定义，将 最小值转化为点 所在圆的圆心到准线的距离减圆半径.【详解】曲线 ，即 ，
设其圆心为 ，则 .
抛物线 的准线 ，
过点 作 ，垂足为 ，则 ，
所以 .
当 共线时， 最小，此时最小值为点 到直线 的距离.
设 到直线 的距离为 ，则 ，
则 的最小值为 .
所以 的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题
15. 如图，在空间四边形 中， 为 的中点，点 满足 ，设 ， ，
．（1）试用向量 ， ， 表示向量 ；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得到 ，再由 即可求解；
（2）由 ，结合空间向量数量积的运算性质即可求解.
【小问1详解】
因为点 为 的中点，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
【小问2详解】
由题意得 ，故
．
16. 已知双曲线 的中心点为 ，其中 为左､右焦点， ， 为左､右顶
点，且离心率 为 上一动点.
（1）求证： ；
（2）设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值；
（3）若双曲线 的顶点为 和 ，且 的最大内角为 ，求点 的坐标.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3） ， ， ，
【解析】
【分析】（1）利用坐标法表示两点间距离，即可证明；
（2）利用坐标法，结合点在双曲线上，即可证明；
（3）设直线 的方程，与双曲线方程联立，再利用对称性，即可求解.
【小问1详解】
由双曲线的离心率 ，可知 ，即 ，
所以双曲线 ，
设 ， ， ，
，，
所以 ；
【小问2详解】
设 ， ，
，即 ，
所以 为定值；
【小问3详解】
根据双曲线的对称性，不妨设点 在右支第一象限上，双曲线方程为 ，
则 的最大内角为 最大，此时 ，则 ，
设直线 ，联立双曲线方程，
，得 ，得 或 （舍），
时， ，即 ，
根据对称性可知，点 在第二象限的坐标为 ，点 在第三象限的坐标为 ，点 在第
四象限的坐标为 ，
所以满足条件的 点坐标为 ， ， ， .
17. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，点 在椭圆上，直线 与圆
相切，且与椭圆交于 两点， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的标准方程；（2）①求证： ；
②求 面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 关系，并代点 求解可得出椭圆的方程；
（2）①当切线斜率不存在时，求出点 、 的坐标，验证 ；当切线斜率存在时，设切线方程
为 ，与椭圆方程联立消去 并由韦达定理验证 ，综合可得出结论；
②由①知当切线斜率不存在时， ；当切线斜率存在时，由弦长公式可得 ，
由韦达定理和换元的思想结合基本不等式可得此时 的范围，综合可得 的取值范围，从而求得
面积的取值范围.
【小问1详解】
根据题意， ，
解得 ，所以椭圆 的标准方程为 ；
【小问2详解】
①当直线 斜率不存在时，则切线方程为 ，
联立 可得 ，所以，直线 与椭圆 的两个交点分别为 、 ，
此时 ，即 ，
同理可知，直线 与椭圆 的两个交点分别为 、 ，
此时 ，即 ；
当切线斜率存在时，设切线方程为 ，
与椭圆方程联立消去 并整理可得 ，
，可得 ，
设点 、 ，由韦达定理可得 ， ，
因为直线 与圆 相切，则 ，即 ，
所以，
，所以， .
综上所述， ；
②由题意可得点 到直线 的距离为 ，
由①知当切线斜率不存在时， ， ；
当切线斜率存在时，由弦长公式可得
，当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，
综上， 的取值范围为 .
18. 拋物线 焦点为 ，第一象限内点 在 上，A的纵坐标是 .
（1）若 到焦点 的距离为3，求 ；
的
（2）若 ， 在 上，且 重心恰为 ，求直线 的方程；
（3）直线 ，令 是第一象限 上异于 的一点，直线 交 于 是 在 上的投影，若点
满足“对于任意 都有 ”，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）直线 的方程为
（3） 的取值范围为
【解析】
【分析】（1）先求出抛物线的准线，再根据抛物线的定义求出 ，进而求出 ；
（2）先求出点 的坐标，设点 ，根据重心公式，求得 ，再利用点差法求得 ，又线段 中点在直线上，由点斜式即可得到直线 的方程；
（3）设点 ，求得直线 的方程，再与直线 联立得到点 坐标，则可得 得
表达式，转化为不等式 恒成立问题，即可解出 的取值范围.
【小问1详解】
根据题意作图如下：
由已知，得拋物线 ，则准线为 ，焦点 ，且点 在第一象限内，
.
设点
所以 ，解得 ，代入抛物线方程，解得 ，
所以 .
【小问2详解】
根据题意作图如下：
由已知 ，代入抛物线方程 ，解得 .
设点 ，又 的重心为 ，则 ，解得 ，
又 在 上，则 ，两式相减，得 ，
即 ，则直线 的斜率 .
又线段 的中点 ，即 也在直线 上，
由点斜式，得 ，即 ，
所以直线 的方程为 .
【小问3详解】
根据题意作图如下：
由已知设 且 与 不重合，
由两点式，得直线 的方程 ，即 ，
因为直线 交 于 ，联立 ，得点 .
又 为 在 上的投影，所以 ，所以 ，化简得 ，
即 对于任意 恒成立，
则当 时，不等式左边取到最小值，
得 ，结合 ，解得 ，
综上， 的取值范围为 .
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲
率为 ，其中 为多面
体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，平面 和平面 为多面体
的所有以 为公共点的面.已知三棱锥 如图所示.
（1）求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若 平面 为 中点，三棱锥 在顶点 处的离散曲
率为 .求点 到平面 的距离；
（3）在（2）的前提下，又知 为侧面 内一动点，记二面角 为 ，直线 与平面所成角为 ，若 ，求三棱锥 体积的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由离散曲率的定义求 、 、 、 ，即可得；
（2）由线面垂直的性质和判断得 ，结合 求得
，由 为中点，确定 的长，结合三棱锥等体积转换求解点 到平面 的距
离即可；
（3）根据已知条件与二面角、线面角的定义，推出点 在平面 上的射影 的轨迹是以 为焦点，
以 为准线的抛物线一部分，再结抛物线与直线相交、等体积法，即可求解棱锥 体积的最大值．
【小问1详解】
由离散曲率的定义得：
，
，
，
，所以 ，
故三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和为 ；
【小问2详解】
由 平面 ， 平面 ，得 ，
又 ， ， ， 平面 ，
则 平面 ，
又 平面 ，所以 ，即 ，
又 ，
即 ，
解得 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，
则 为等腰直角三角形，所以 ， ，
因为 为 中点，所以 ， ，
又 ，所以 ，因为 ，则 ，
则 ，故 ，
设点 到平面 的距离为 ，
在三棱锥 中，有 ，
所以 ，则 ，
故点 到平面 的距离为 ；
【小问3详解】
如图，作 平面 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，连接 ， ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
又 、 平面 ，
所以 ，所以 ，
由抛物线定义知，点 的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线一部分，
取 的中点为 ，如图以 中点 为原点， 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立平面直
角坐标系，则 ， ，
则以 为焦点，以 为准线的抛物线方程为 ，
故点 的轨迹为该抛物线在三角形 内部部分，即图中 的曲线部分，
直线 斜率为 ，则直线 方程为： ，
联立 ，解得 或 （结合图形舍）
即 ，
当 与 重合时，此时可得 在 上，使得 取最大值，
的最大值 满足： ，
所以 ，
三棱锥 体积的最大值为 ．
