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武汉外国语学校 2023-2024 学年度下学期期末考试
高二数学试卷
命题教师： 审题教师：
考试时间：2024年6月26日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 的展开式中 的系数为（ ）
A. B. 160 C. D. 80
2. 设 ， ， 是三个不同平面，且 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，准备在 、 、 三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少
有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景
点，则不同的选法种数为（ ）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 72
4. 现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为1，将它重新制作成一个体积与高均不变的圆锥，则
该圆锥的底面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列说法中正确的是（ ）
A. 根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 .依据 对应的 的独立性
检验，结论为：变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005.
的
B. 在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0 横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度
越窄表示回归效果越差.
C. ，当 不变时， 越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖.D. 已知变量 、 线性相关，由样本数据算得线性回归方程式 ，且由样本数据算得 ，
，则 .
6. 已知等差数列 中， 是函数 的一个极大值点，则 的值为（
）
A. B. C. D.
7. 设函数 ，则下列正确的是（ ）
A. 当 时， 不是 的切线
B. 存在 ，使得 没有对称中心
C. 若 有三个不同的零点 ，则
D. 当 时，若 是 的极值点，则
8. 已知 是数列 的前 项和，若 ，数列 的首项
， ，则 （ ）
.
A B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻
觅.已知点 ，直线 ，动点 到点 的距离比到直线 的距离小1.若某直线上存在这样的点
，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A. 点 的轨迹曲线是线段B. 是“最远距离直线”
C. 过点 的直线与点 的轨迹交于 、 两点，则以 为直径的圆与 轴相交
D. 过点 的直线与点 的轨迹交于 、 两点，则 的最小值为
10. 一只口袋中装有形状、大小都相同的8个小球，其中有黑球2个，白球2个，红球4个，分别用有放回
和无放回两种不同方式依次摸出3个球.则（ ）
A. 若有放回摸球，设摸出红色球的个数为 ，则方差
B. 若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率
C. 若无放回摸球，设摸出红色球的个数为 ，则期望
D. 若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为
11. 设定义在 上 的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ，
为偶函数， ，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求函数 在点 处的切线方程__________（请写成一般式）
13. 已知 是双曲线 的左、右焦点，以 为圆心的圆与双曲线的两支分
别在第一第二象限交于 两点，且 ，则双曲线的离心率为___________14. 小明对数学课上的随机游走模型充满兴趣，思维也进入丰富的想象，他将自己想象成一颗粒子，在一
个无限延展的平面上，从平面直角坐标系的原点出发，每秒向上、向下、向左、向右移动一个单位，且向
四个方向移动的概率均为 ，记第 秒末小明回到原点的概率为 ，求 __________，
__________（与 有关的式子，附： ）.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足 .
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
16. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 左焦点为 ，离心率为 ，且过点
，直线 与椭圆 相交于另一点 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在椭圆 上，记 与 的面积分别为 ， ，若 ，求点 的坐标.
17. 如图，在三棱柱 中， 是正三角形，四边形 为菱形， ，
.（1）证明： ；
（2）求二面角 的正弦值.
18. （1）设函数 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到
20个号码互不相同的概率为 ，证明： .
19. 已知有穷正项数列 ，若将数列每项依次围成一圈，满足每一项等于相邻两项的乘积，则
称该数列可围成一个“T-Circle”.例如：数列 ， 都可围成“T-Circle”.
（1）设 ，当 时，是否存在 使该数列可围成“T-Circle”，并说明理由.
（2）若 的各项全不相等，且可围成“T-Circle”，写出 的取值（不必证明），并写出一个满足条件的
数列.
（3）若 的各项不全相等，且可围成“T-Circle”，求 的取值集合.
