江西省宜春市丰城中学2024-2025学年高三上学期12月创新班段考试题数学PDF版含答案（可编辑）_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷

丰城中学 2024-2025 学年上学期高三创新班月考试卷 数 学 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1．在复平面内，(1i)(14i)对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知命题p：x0，x4  x2，命题q：xR，tanxπ，则（ ） A．p和q都是真命题 B．p和q都是真命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是真命题 3．设S 是等差数列a 的前n项和，若a a a a 1，a a a a 2，则S =（ ） n n 5 6 7 8 9 10 11 12 16 A．6 B．7 C．8 D．9 4.如图甲，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，DCF分别 沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点A，如图乙，若三棱锥AEFD的所有顶点均在球O 的球面上，则球O的体积为（ ） A． 6π B．6π C．8π D．8 6π  15 1 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，O是正六边形AA A 的中心，若A  , ，则点A 的纵坐标 1 2 6 1  4 4   3 为（ ）  15 3 15 3 3 51 3 51 A. B. C. D. 8 8 8 8 6.若(3-x)(1+2x)10＝a ＋a x＋…＋a x11，x∈R，则a ·3＋a ·32＋…＋a ·311的值为（ ） 0 1 11 1 2 11 A.39 B.39－1 C.0 D.-3 7．已知函数 f  x cos3xcos2x,x 0,π  ，若 f  x  有两个零点x ,x  x  x  ，则cosx cosx 的值 1 2 1 2 1 2 为（ ） 高三创新班月考 第1页 / 共4页 {#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}1 1 1 1 A. B.  C. D.  4 4 2 2  π  8．过M(0, p)且倾斜角为    ,π的直线l与曲线C:x2 2py 交于A，B两点，分别过A，B作曲  2  线C的两条切线l ，l ，若l ，l 交于N，直线MN的倾斜角为，则tan()的最小值为（ ） 1 2 1 2 2 A. B. 2 C. 2 2 D. 4 2 2 二、多选题：（本大题共3小题，每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分） 9.下列说法中，正确的是（ ） 1 1 1 A．若PA|BPB|A ,PA ，则PB 2 3 6 B．已知随机变量服从正态分布N  2,2 ,P(4) 0.74；则P(24)0.24 C．已知两个变量具有线性相关类系，其回归直线方程为yˆ aˆb ˆ x；若b ˆ2,x 1,y 3，则aˆ1 D．若样本数据x,x ,,x 的方差为2，则数据2x 1,2x 1,,2x 1的方差为4 1 2 10 1 2 10 10.已知首项均为1的等差数列和等比数列  a 、 b  ，a 的公差d 恰好为b 公比的倒数，若a  b 恒成立， n n n n n n 则d 的取值可以是：（ ） 1 1 51 A.2 B. C. D. 2 2 2 11．如图，在直三棱柱 ABCA₁B₁C₁中，AC  BC CC₁2，AC BC，Q是线段AB 的中点，P是 线段BC₁上的动点 （含端点），则下列命题正确的是 （ ） A. 三棱锥PAQC的体积为定值 1 2 B. 直线PQ与AC 所成角的正切值的最小值是 2 C. 在直三棱柱 ABCA₁B₁C₁内部能够放入一个表面积为1.44π的球 D. APPQ的最小值为 102 6 1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分） 12.已知向量a   m,1  ,b   m,1 ，若2a  b  与b  垂直，则 a  等于________.  xa1  x1  , x1, 13．设函数 f  x  若 f (x)恰有2个零点，则a的取值范围是________．  lgxa x1. 高三创新班月考 第2页 / 共4页 {#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}14．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲 不当语文科代表，乙不当数学科代表，若丙当物理科代表则丁必须当化学科代表，则不同的选法共有 种. 四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15．（13分）已知VABC 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 a2 b2  3ab bcosAacosB 2 ． （1）求角C； （2）若b4 3，c4，求VABC 的面积． 16.（15分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式 抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的 人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）： （1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质 监测成绩达到优秀的概率； （2）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2 人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； （3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班 中分别随机抽取1名同学，用“ 1”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“ 0”表示第k班抽到 k k 的这名同学身体素质不是优秀  k 1,2,,8  .直接写出方差D  ，D  ，D  ，D  的大小关系 1 2 3 4 （无需过程）. 高三创新班月考 第3页 / 共4页 {#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}x2 y2 17（. 15分）如图，O为坐标原点，椭圆C :  1(a b 0)的左，右焦点分别为F,F ，离心率为e ， 1 a2 b2 1 2 1 x2 y2 2 2 双曲线C :  1(a0,b0)的左，右焦点分别为F ，F ，离心率为e ，已知ee  ， 2 a2 b2 3 4 2 1 2 3 FF 2 2 ． 1 4 （1）求C ，C 的方程； 1 2 （2）过F 作C 的不垂直于 y 轴的弦AB，M 为弦AB的中点，当直线OM 与C 交于P，Q两点时，求 1 1 2 四边形APBQ面积的最小值． 18.（17分）已知函数 f  x lnx2ax（其中aR）.   （1）当a2时，求函数 f x 的图象在x1处的切线方程； （2）若 f  x 2恒成立，求a的取值范围； 1 （3）设g  x  f  x  x2，且函数g  x  有极大值点x ，求证：x f  x 1ax2 0. 0 0 0 0 2 19.（17分）已知集合S  a ,a ,a ,,a  n3  ，集合T   x,y  xS,yS,x y  且满足： 1 2 3 n a ,a S  i, j 1,2,3,,n,i j  ，  a,a  T与  a ,a  T恰有一个成立，对于T定义 i j i j j i 1,  a,b T, d  a,b  ， T  0,  b,a T, l  a d  a,a d  a,a d  a,a d  a,a d  a,a  i1,2,3,,n  . T i T i 1 T i 2 T i i1 T i i1 T i n （1）若n4，  a ,a  ,  a ,a  ,  a ,a T，求l a 的值及l a 的最大值； 1 2 3 2 2 4 T 2 T 4 （2）从l a  ，l a ，…，l  a  中任意删去两个数，记剩下的n2个数的和为M，证明： T 1 T 2 T n 1 M  n  n5 3； 2 （3）求证：对于满足l  a n1  i 1,2,3,,n  的每一个集合T，集合S中都存在三个不同的元素e，f， T i g，使得d e, f  d  f ,g d g,e  3. T T T 高三创新班月考 第4页 / 共4页 {#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司 __________________号证考准__________________名姓__________________级班__________________校学 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 丰城中学 2024-2025 学年上学期高三创新班月考 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（15分） 15．（13分） 数 学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用 0.5mm黑色签字笔答 注 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 事 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 项 内作答，超出区域书写的答案无 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 破。 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5．正确填涂 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 缺考标记 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 4[A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5[A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6[A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ {#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 18．（17分） 19．（17分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ {#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}高三创新班数学参考答案 1-8CBADCDBC9.BC 10.ACD 11.ABD 12.2 13. ,0  2, 14.67 b2 c2 a2 a2 c2 b2 15．(1)在VABC中，bcosAacosB b a c ， 2bc 2ac 又a2 b2  3ab bcosAacosB 2 ，所以a2 b2  3abc2 ， a2 b2 c2 3ab 3 π 由余弦定理得cosC    ， 又0C  π，则C  . 2ab 2ab 2 6 π (2)在VABC中C  ，c4，b4 3， 6 由余弦定理，得c2 a2 b2 2abcosC ，即a2 12a320，解得a4或a 8． 1 1 1 当a4，b4 3，c4时，可构成三角形，此时VABC 的面积为 absinC  44 3 4 3； 2 2 2 1 1 1 当a 8，b4 3，c4时，可构成三角形，此时VABC 的面积为 absinC  84 3 8 3． 2 2 2 16.(1)依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人， 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有8694759856， 56 7 所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为  . 80 10 (2)依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人， 则X 可取0,1,2， 2 3 3 2 7 3 3 23 3 7 21 P  X 0    ，P  X 1      ，P  X 2    ， 5 10 25 5 10 5 10 50 5 10 50 则X 的分布列为： X 0 1 2 3 23 21 P 25 50 50 3 23 21 13 X 的数学期望E  X 0 1 2  . 25 50 50 10 (3)依题意，P( 1)0.8,P( 0)0.2，服从两点分布，则D()0.80.20.16， 1 1 1 1 P( 1)0.6,P( 0)0.4，服从两点分布，则D()0.60.40.24， 2 2 2 2 P( 1)0.9,P( 0)0.1， 服从两点分布，则D()0.90.10.09， 3 1 3 3 高三创新班月考 第1页 / 共4页 {#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}P( 1)0.4,P( 0)0.6，服从两点分布，则D()0.40.60.24， 4 4 4 4 所以 . 2 2 a2 b2 a2 b2 2 2 8 17.(1)∵ee  ,∴   ,∴a4 b4  a4 ,即a2 =3b2, 1 2 3 a a 3 9 ∴F   2b,0  ,F  2b,0  ,∴ FF  2b2b2 2 , 1 4 1 4 x2 x2 ∴b1,a  3,∴C 的方程为  y2 1,C 的方程为  y2 1. 1 2 3 3 (2)依题意,直线AB的方程可设为xmy1,设A  x ,y  ,B  x ,y  , 1 1 2 2  x my1    由x2 消去 y 可得 m2 3 y2 2my20,   y2 1  3 2m 2 6 ∴ y  y  ,y y  ,∴x x m  y  y  2 ,∴AB中点坐标为 1 2 m2 3 1 2 m2 3 1 2 1 2 m2 3  3 m  m M  ,  ,∴直线PQ的方程为 y  x, m2 3 m2 3 3  m y  x  由   3 消去 y 可得  3m2 x2 9,∴3m2 0且x2  9 ,y2  m2 , x2 , 3m2 3m2  y2 1  3 9m2 ∴ PQ 2 x2 y2 2 ,设A到直线PQ的距离为d ,则B到直线PQ的距离也为d , 3m2 mx 3y  mx 3y ∴2d  1 1 2 2 ,∵  mx 3y  mx 3y 0, 1 1 2 2 m2 9 mx 3y mx 3y m  x x 3  y  y   m2 3  y  y ∴2d  1 1 2 2  1 2 1 2  1 2 , m2 9 m2 9 m2 9 4m2 8 2 3 m2 2 又∵ y 1  y 2   y 1  y 2 24y 1 y 2   m2 3 2  m2 3  m2 3 , 2 3 m2 2 ∴2d  , m2 9 高三创新班月考 第2页 / 共4页 {#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}1 1 9m2 2 3 m2 2 5 ∴四边形APBQ的面积S   PQ 2d  2   2 3 1 , 2 2 3m2 m2 9 3m2 ∴当m0时,S取得最小值,且S 2 2,即四边形APBQ面积的最小值为2 2. min 1 18.(1)当a2时，有 f(x)lnx4x，故 f (1)  4，而 f(x) 4，故 f(1)3. x 从而函数 f (x)的图象在x1处的切点坐标为  1,4  ，切线斜率为为3. 则切线方程为 y43  x1  ，即3x y10 . 1 (2)①若a ，则有 ，不满足条件； 2e3 1 1 ②若a ，设h  t lntt，则对0t 1有 ，对t 1有h t  10. 2e3 t 所以h  t  在  0,1  上递增，在  1, 上递减，从而h  t h  1 ln111. 1  1  1  1  故对任意的 都有 f  x lnx2axlnx x3ln x  x3h x 312，满 e3 e3  e3 e3   1  足条件.综合①②两方面，可知a的取值范围是  , . 2e3  1 1 1 (3)设 x lnx x2   ，则 2 2 x  x  1 x 1  xx31  xx31x2   1x  1x 2  0，所以 x  单调递减 . x x2 x2 x2 x2 1 1 1 x2 2ax1 由g(x) f(x) x2  x2 2axlnx，得g(x)x 2a . 2 2 x x 假设a1，则对0 x1或 均有 ，所以g  x  在  0,1  和  1, 上递增. 从而g  x  在  0, 上递增，不可能有极大值点，矛盾. 所以a1，此时 x2 2ax1 1     g x   x a a21 x a a21 . x x   从而根据g x  的符号可知g  x  在 0,a a2 1  和  a a2 1, 上递增，在    a a2 1,a a2 1  上递减.   高三创新班月考 第3页 / 共4页 {#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}1 1 1 1  所以g  x  的极大值点x a a2 1  1，同时x2 2ax 10，即a  x  ， 0 a a2 1 a 0 0 2 0 x  0 从而 . 所以x f x 1ax2  x lnx 2ax 1ax2  x lnx ax2 1 x lnx ax2 2ax x2   x2 2ax   1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 19.(1)因为 (a ,a ),(a ,a ),(a ,a )T ， 1 2 3 2 2 4 所以 d (a ,a )0，d (a ,a )0，d (a ,a )1，故l (a )1. T 2 1 T 2 3 T 2 4 T 2 因为 (a ,a )T ，所以 d (a ,a )0. 2 4 T 4 2 所以 l (a )d (a ,a )d (a ,a )d (a ,a )1012. T 4 T 4 1 T 4 2 T 4 3 所以 当(a ,a ),(a ,a ),(a ,a )T 时，l (a )取得最大值2. 2 4 4 1 4 3 T 4 (2)证明：由d (a,b)的定义可知：d (a,b)d (b,a)1. T T T n 所以 l (a )[d (a ,a )d (a ,a )][d (a ,a )d (a ,a )] T i T 1 2 T 2 1 T 1 3 T 3 1 i1 [d (a ,a )d (a ,a )][d (a ,a )d (a ,a )] T 1 n T n 1 T n1 n T n n1 1 C2  n(n1). n 2 1 设删去的两个数为l (a ),l (a )，则l (a )l (a ) n(n1)M . T k T m T k T m 2 由题意可知：l (a )n1,l (a )n1，且当其中一个不等式中等号成立， T k T m 不妨设l (a )n1时，d (a ,a )1，d (a ,a )0. T k T k m T m k 所以 l (a )n2. 所以l (a )l (a )n1n22n3. T m T k T m 1 1 所以 l (a )l (a ) n(n1)M 2n3，即M  n(n5)3. T k T m 2 2 (3)l (a ),l (a ),,l (a )中存在最大数，不妨记为l (f)（若最大数不唯一，任取一个）. T 1 T 2 T n T 因为 l (f)n1， T 高三创新班月考 第4页 / 共4页 {#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}所以 存在eS ，使得d (f,e)0，即(e, f)T . T 由l (f)1可设集合G {xS |(f,x)T}. T 则G中一定存在元素g使得d (g,e)1. 否则，l (e)l (f)1，与l (f)是最大数矛盾. T T T T 所以 d (f,g)1，d (g,e)1，即d (e, f)d (f,g)d (g,e)3. T T T T T 高三创新班月考 第5页 / 共4页 {#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}