江西省宜春市丰城中学2024-2025学年高三上学期12月创新班段考试题数学PDF版含答案（可编辑）_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷

丰城中学 2024-2025 学年上学期高三创新班月考试卷
数 学
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．在复平面内，(1i)(14i)对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知命题p：x0，x4  x2，命题q：xR，tanxπ，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．p和q都是真命题
C．p和q都是真命题 D．p和q都是真命题
3．设S 是等差数列a 的前n项和，若a a a a 1，a a a a 2，则S =（ ）
n n 5 6 7 8 9 10 11 12 16
A．6 B．7 C．8 D．9
4.如图甲，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，DCF分别
沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点A，如图乙，若三棱锥AEFD的所有顶点均在球O
的球面上，则球O的体积为（ ）
A． 6π B．6π C．8π D．8 6π
 15 1
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，O是正六边形AA A 的中心，若A  , ，则点A 的纵坐标
1 2 6 1  4 4   3
为（ ）
 15 3 15 3 3 51 3 51
A. B. C. D.
8 8 8 8
6.若(3-x)(1+2x)10＝a ＋a x＋…＋a x11，x∈R，则a ·3＋a ·32＋…＋a ·311的值为（ ）
0 1 11 1 2 11
A.39 B.39－1 C.0 D.-3
7．已知函数 f  x cos3xcos2x,x 0,π  ，若 f  x  有两个零点x ,x  x  x  ，则cosx cosx 的值
1 2 1 2 1 2
为（ ）
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{#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}1 1 1 1
A. B.  C. D. 
4 4 2 2
 π 
8．过M(0, p)且倾斜角为    ,π的直线l与曲线C:x2 2py 交于A，B两点，分别过A，B作曲
 2 
线C的两条切线l ，l ，若l ，l 交于N，直线MN的倾斜角为，则tan()的最小值为（ ）
1 2 1 2
2
A. B. 2 C. 2 2 D. 4 2
2
二、多选题：（本大题共3小题，每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，
有选错的得0分）
9.下列说法中，正确的是（ ）
1 1 1
A．若PA|BPB|A ,PA ，则PB
2 3 6
B．已知随机变量服从正态分布N
 2,2
,P(4) 0.74；则P(24)0.24
C．已知两个变量具有线性相关类系，其回归直线方程为yˆ aˆb ˆ x；若b ˆ2,x 1,y 3，则aˆ1
D．若样本数据x,x ,,x 的方差为2，则数据2x 1,2x 1,,2x 1的方差为4
1 2 10 1 2 10
10.已知首项均为1的等差数列和等比数列  a 、 b  ，a 的公差d 恰好为b 公比的倒数，若a  b 恒成立，
n n n n n n
则d 的取值可以是：（ ）
1 1 51
A.2 B. C. D.
2 2 2
11．如图，在直三棱柱 ABCA₁B₁C₁中，AC  BC CC₁2，AC BC，Q是线段AB 的中点，P是
线段BC₁上的动点 （含端点），则下列命题正确的是 （ ）
A. 三棱锥PAQC的体积为定值
1
2
B. 直线PQ与AC 所成角的正切值的最小值是
2
C. 在直三棱柱 ABCA₁B₁C₁内部能够放入一个表面积为1.44π的球
D. APPQ的最小值为 102 6
1
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12.已知向量a   m,1  ,b   m,1 ，若2a  b  与b  垂直，则 a  等于________.
 xa1  x1  , x1,
13．设函数 f

x

若 f (x)恰有2个零点，则a的取值范围是________．
 lgxa x1.
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{#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}14．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲
不当语文科代表，乙不当数学科代表，若丙当物理科代表则丁必须当化学科代表，则不同的选法共有 种.
四、解答题（本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
15．（13分）已知VABC 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
a2 b2  3ab bcosAacosB 2 ．
（1）求角C；
（2）若b4 3，c4，求VABC 的面积．
16.（15分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式
抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的
人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：
（1）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质
监测成绩达到优秀的概率；
（2）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2
人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班
中分别随机抽取1名同学，用“ 1”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“ 0”表示第k班抽到
k k
的这名同学身体素质不是优秀  k 1,2,,8  .直接写出方差D  ，D  ，D  ，D  的大小关系
1 2 3 4
（无需过程）.
高三创新班月考 第3页 / 共4页
{#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}x2 y2
17（. 15分）如图，O为坐标原点，椭圆C :  1(a b 0)的左，右焦点分别为F,F ，离心率为e ，
1 a2 b2 1 2 1
x2 y2 2 2
双曲线C :  1(a0,b0)的左，右焦点分别为F ，F ，离心率为e ，已知ee  ，
2 a2 b2 3 4 2 1 2 3
FF 2 2 ．
1 4
（1）求C ，C 的方程；
1 2
（2）过F 作C 的不垂直于 y 轴的弦AB，M 为弦AB的中点，当直线OM 与C 交于P，Q两点时，求
1 1 2
四边形APBQ面积的最小值．
18.（17分）已知函数 f

x
lnx2ax（其中aR）.
 
（1）当a2时，求函数 f x 的图象在x1处的切线方程；
（2）若 f

x
2恒成立，求a的取值范围；
1
（3）设g  x  f  x  x2，且函数g  x  有极大值点x ，求证：x f  x 1ax2 0.
0 0 0 0
2
19.（17分）已知集合S  a ,a ,a ,,a  n3  ，集合T   x,y  xS,yS,x y  且满足：
1 2 3 n
a ,a S  i, j 1,2,3,,n,i j  ，  a,a  T与  a ,a  T恰有一个成立，对于T定义
i j i j j i
1,  a,b T,
d

a,b

，
T  0,  b,a T,
l  a d  a,a d  a,a d  a,a d  a,a d  a,a  i1,2,3,,n  .
T i T i 1 T i 2 T i i1 T i i1 T i n
（1）若n4，  a ,a  ,  a ,a  ,  a ,a T，求l a 的值及l a 的最大值；
1 2 3 2 2 4 T 2 T 4
（2）从l a  ，l a ，…，l  a  中任意删去两个数，记剩下的n2个数的和为M，证明：
T 1 T 2 T n
1
M  n  n5 3；
2
（3）求证：对于满足l  a n1  i 1,2,3,,n  的每一个集合T，集合S中都存在三个不同的元素e，f，
T i
g，使得d e, f  d  f ,g d g,e  3.
T T T
高三创新班月考 第4页 / 共4页
{#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页）
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﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
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丰城中学 2024-2025 学年上学期高三创新班月考
三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（15分）
15．（13分）
数 学·答题卡
姓名：
贴条形码区
1．答题前，考生先将自己的姓名、准
考证号填写清楚，并认真检查监考
员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号
择题必须用 0.5mm黑色签字笔答
注
题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字
意
体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
事
3．请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
项
内作答，超出区域书写的答案无 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
破。
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
5．正确填涂
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
缺考标记
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1 [A] [B] [C] [D] 4[A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 5[A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 6[A] [B] [C] [D]
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9 [A] [B] [C] [D]
10 [A] [B] [C] [D]
11 [A] [B] [C] [D]
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．____________________
13．____________________
14．____________________
{#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
17．（15分） 18．（17分） 19．（17分）
数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）
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{#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}高三创新班数学参考答案
1-8CBADCDBC9.BC 10.ACD 11.ABD 12.2 13.
,0  2,
14.67
b2 c2 a2 a2 c2 b2
15．(1)在VABC中，bcosAacosB b a c ，
2bc 2ac
又a2 b2  3ab bcosAacosB 2 ，所以a2 b2  3abc2 ，
a2 b2 c2 3ab 3 π
由余弦定理得cosC    ， 又0C  π，则C  .
2ab 2ab 2 6
π
(2)在VABC中C  ，c4，b4 3，
6
由余弦定理，得c2 a2 b2 2abcosC ，即a2 12a320，解得a4或a 8．
1 1 1
当a4，b4 3，c4时，可构成三角形，此时VABC 的面积为 absinC  44 3 4 3；
2 2 2
1 1 1
当a 8，b4 3，c4时，可构成三角形，此时VABC 的面积为 absinC  84 3 8 3．
2 2 2
16.(1)依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人，
其中身体素质监测成绩达到优秀的共有8694759856，
56 7
所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为  .
80 10
(2)依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人，
则X 可取0,1,2，
2 3 3 2 7 3 3 23 3 7 21
P  X 0    ，P  X 1      ，P  X 2    ，
5 10 25 5 10 5 10 50 5 10 50
则X 的分布列为：
X 0 1 2
3 23 21
P
25 50 50
3 23 21 13
X 的数学期望E  X 0 1 2  .
25 50 50 10
(3)依题意，P( 1)0.8,P( 0)0.2，服从两点分布，则D()0.80.20.16，
1 1 1 1
P( 1)0.6,P( 0)0.4，服从两点分布，则D()0.60.40.24，
2 2 2 2
P( 1)0.9,P( 0)0.1， 服从两点分布，则D()0.90.10.09，
3 1 3 3
高三创新班月考 第1页 / 共4页
{#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}P( 1)0.4,P( 0)0.6，服从两点分布，则D()0.40.60.24，
4 4 4 4
所以 .
2 2 a2 b2 a2 b2 2 2 8
17.(1)∵ee  ,∴   ,∴a4 b4  a4 ,即a2 =3b2,
1 2 3 a a 3 9
∴F   2b,0  ,F  2b,0  ,∴ FF  2b2b2 2 ,
1 4 1 4
x2 x2
∴b1,a  3,∴C 的方程为  y2 1,C 的方程为  y2 1.
1 2
3 3
(2)依题意,直线AB的方程可设为xmy1,设A  x ,y  ,B  x ,y  ,
1 1 2 2
 x my1
  
由x2 消去 y 可得 m2 3 y2 2my20,

 y2 1
 3
2m 2 6
∴ y  y  ,y y  ,∴x x m  y  y  2 ,∴AB中点坐标为
1 2 m2 3 1 2 m2 3 1 2 1 2 m2 3
 3 m  m
M  ,  ,∴直线PQ的方程为 y  x,
m2 3 m2 3 3
 m
y  x

由   3 消去 y 可得  3m2 x2 9,∴3m2 0且x2  9 ,y2  m2 ,
x2 , 3m2 3m2
 y2 1
 3
9m2
∴ PQ 2 x2 y2 2 ,设A到直线PQ的距离为d ,则B到直线PQ的距离也为d ,
3m2
mx 3y  mx 3y
∴2d  1 1 2 2 ,∵  mx 3y  mx 3y 0,
1 1 2 2
m2 9
mx 3y mx 3y m  x x 3  y  y   m2 3  y  y
∴2d  1 1 2 2  1 2 1 2  1 2 ,
m2 9 m2 9 m2 9
4m2 8 2 3 m2 2
又∵ y 1  y 2   y 1  y 2 24y 1 y 2   m2 3 2  m2 3  m2 3 ,
2 3 m2 2
∴2d  ,
m2 9
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{#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}1 1 9m2 2 3 m2 2 5
∴四边形APBQ的面积S   PQ 2d  2   2 3 1 ,
2 2 3m2 m2 9 3m2
∴当m0时,S取得最小值,且S 2 2,即四边形APBQ面积的最小值为2 2.
min
1
18.(1)当a2时，有 f(x)lnx4x，故 f (1)  4，而 f(x) 4，故 f(1)3.
x
从而函数 f (x)的图象在x1处的切点坐标为  1,4  ，切线斜率为为3.
则切线方程为 y43  x1  ，即3x y10 .
1
(2)①若a ，则有 ，不满足条件；
2e3
1 1
②若a ，设h  t lntt，则对0t 1有 ，对t 1有h t  10.
2e3 t
所以h

t

在

0,1

上递增，在
 1,
上递减，从而h

t
h 
1
ln111.
1  1  1  1 
故对任意的 都有 f  x lnx2axlnx x3ln x  x3h x 312，满
e3 e3  e3 e3 
 1 
足条件.综合①②两方面，可知a的取值范围是  , .
2e3 
1 1 1
(3)设 x lnx x2   ，则
2 2 x
 x 
1
x
1

xx31

xx31x2

 1x  1x 2

0，所以
x

单调递减
.
x x2 x2 x2 x2
1 1 1 x2 2ax1
由g(x) f(x) x2  x2 2axlnx，得g(x)x 2a .
2 2 x x
假设a1，则对0 x1或 均有 ，所以g

x

在

0,1

和
 1,
上递增.
从而g

x

在
 0,
上递增，不可能有极大值点，矛盾. 所以a1，此时
x2 2ax1 1    
g x   x a a21 x a a21 .
x x
 
从而根据g x  的符号可知g  x  在 0,a a2 1  和  a a2 1, 上递增，在
 
 a a2 1,a a2 1  上递减.
 
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{#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}1 1 1 1 
所以g  x  的极大值点x a a2 1  1，同时x2 2ax 10，即a  x  ，
0 a a2 1 a 0 0 2 0 x 
0
从而
.
所以x f x 1ax2  x lnx 2ax 1ax2  x lnx ax2 1 x lnx ax2 2ax x2   x2 2ax   1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
19.(1)因为 (a ,a ),(a ,a ),(a ,a )T ，
1 2 3 2 2 4
所以 d (a ,a )0，d (a ,a )0，d (a ,a )1，故l (a )1.
T 2 1 T 2 3 T 2 4 T 2
因为 (a ,a )T ，所以 d (a ,a )0.
2 4 T 4 2
所以 l (a )d (a ,a )d (a ,a )d (a ,a )1012.
T 4 T 4 1 T 4 2 T 4 3
所以 当(a ,a ),(a ,a ),(a ,a )T 时，l (a )取得最大值2.
2 4 4 1 4 3 T 4
(2)证明：由d (a,b)的定义可知：d (a,b)d (b,a)1.
T T T
n
所以 l (a )[d (a ,a )d (a ,a )][d (a ,a )d (a ,a )]
T i T 1 2 T 2 1 T 1 3 T 3 1
i1
[d (a ,a )d (a ,a )][d (a ,a )d (a ,a )]
T 1 n T n 1 T n1 n T n n1
1
C2  n(n1).
n 2
1
设删去的两个数为l (a ),l (a )，则l (a )l (a ) n(n1)M .
T k T m T k T m 2
由题意可知：l (a )n1,l (a )n1，且当其中一个不等式中等号成立，
T k T m
不妨设l (a )n1时，d (a ,a )1，d (a ,a )0.
T k T k m T m k
所以 l (a )n2. 所以l (a )l (a )n1n22n3.
T m T k T m
1 1
所以 l (a )l (a ) n(n1)M 2n3，即M  n(n5)3.
T k T m 2 2
(3)l (a ),l (a ),,l (a )中存在最大数，不妨记为l (f)（若最大数不唯一，任取一个）.
T 1 T 2 T n T
因为 l (f)n1，
T
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{#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}所以 存在eS ，使得d (f,e)0，即(e, f)T .
T
由l (f)1可设集合G {xS |(f,x)T}.
T
则G中一定存在元素g使得d (g,e)1. 否则，l (e)l (f)1，与l (f)是最大数矛盾.
T T T T
所以 d (f,g)1，d (g,e)1，即d (e, f)d (f,g)d (g,e)3.
T T T T T
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{#{QQABQQiAogCoABIAABhCQw3SCkGQkgECCQgOwEAMIAABiBFABAA=}#}