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2024-2025 学年湖南省三湘名校教育联盟高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足(1+2i)(z−1)=2−i，则z=( )
A. 1−i B. 1+i C. 2−i D. 2+i
2.已知向量⃗
a=(2,−1)
，⃗
b=(m,3)
，且 ⃗a⊥⃗b ，则
|
⃗
b|=
( )
3√5 45
A. 3√5 B. 45 C. D.
2 4
3.已知直线 1 是双曲线 x2 y2 的一条渐近线，则 的离心率为( )
y= x C: − =1(a>0,b>0) C
2 a2 b2
√3 √5
A. B. C. 2 D. √5
2 2
π
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A= ，a=2，b+c=√3a，则△ABC的面积为
3
( )
4√3 2√3
A. 8√3−12 B. C. D. 4√3−6
3 3
5.已知函数 ，且 ，则 的取值范围是( )
f(x)=x3+x f(m2−2m+1)+f(−m−5)>0 m
A. (−∞,−1)∪(4,+∞) B. (−1,4)
C. (−∞,−2)∪(3,+∞) D. (−2,3)
6.如图，在圆锥PO中，AB是底面圆的直径，C在底面圆周上，AB=4，∠BAC=30∘，
M是BC的中点，PM与圆锥底面所成角的大小为60∘，则圆锥PO的体积为( )
A. 12√3π B. 12π
C. 4√3π D. 4π
7.曲线|y|=cosx+1(0≤x≤π)和曲线x2+(|y|−1) 2=1(x≤0)组合围成“心形图”(如下图所示)，记
“心形图”为曲线C，曲线C所围成的“心形”区域的面积等于( )
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1 1A. π+6 B. π+8 C. 3π D. 4π
8.如果对于正整数集A={x=a+i,a∈N|i=1,2,3,⋯,48}，将集合A拆分成16个三元子集(子集有三个
元素)，且拆分的16个集合两两交集为空集，则称集合A是“三元可拆集”.若存在一种拆分法，使得集合
A
是“三元可拆集”，且每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则a的最大值为( )
A. 12 B. 9 C. 7 D. 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.早在1733年,法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时,提出了正态密度函数的形式,其解析式为
(x−μ)2
f(x)= 1 − ,x R,其中 R, >0为参数.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X
e 2σ2 ∈ μ∈ σ
σ√2π
服从正态分布,则下列说法正确的是( )(参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2
σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)
A. 曲线y=f(x)关于直线x=μ对称
1
B. 曲线y=f(x)在x=μ处达到峰值
√2π
C. 当σ较小时,正态曲线“矮胖”,当σ较大时,正态曲线“瘦高”
D. 若σ2=4,μ=60,则P(62≤X≤64)=0.1359
π
10.已知函数f(x)=√2sin(2x− )，则下列说法正确的是( )
4
A. f(x)的最小正周期为2π
5π 9π
B. 若f(x)在区间(0,m)恰有两个零点，则m的取值范围为( , ]
8 8
3π
C. 若f(x)≥−1，且0≤x≤2π，则0≤x≤
4
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2 17π 11π
D. 若f(x)在区间(0,m)恰有两个极值点，则m的取值范围为( , ]
8 8
11.已知函数 ，则下列说法正确的是( )
f(x)=2x3−3ax2+1
A. 若f(x)在x=1处取得极小值，则a=1
B. a<0，x >x >1，则f(x )1，则f(x)有3个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 的展开式中，只有第 项的二项式系数最大，则 的值为 ．
(3−2x) n 7 n
13.设M是抛物线y2=6x上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，∠OFM=120∘，则|FM|= ．
14.已知函数f(x)=(x+a)lnx(a>0).若当x>e时，存在过坐标原点O的直线l与曲线y=f(x)相切，则实
数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在直三棱柱ABC−A B C 中，M是BC的中点，A B=A C.
1 1 1 1 1
(1)证明：BC⊥平面AM A ;
1
(2)若AB⊥AC，AB=√2，A A =2，求二面角B−A C −C的余弦值．
1 1 1
16.(本小题15分)
已知等差数列{a }满足a =4，a +a +a =18，等比数列{b }满足b +b =9，
n 2 1 3 5 n 1 4
b +b =18．
2 5
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3 1(1)求数列{a }，{b }的通项公式;
n n
(2)若数列{c }满足c =a ⋅b ，求数列{c }的前n项和S ．
n n n n n n
17.(本小题15分)
2025年春节联欢晚会中的创意融合舞蹈《秧BOT》轰动全球，标志着中国的服务机器人技术达到世界一
流水平.某人工智能企业的服务机器人研发部，自2018年至2024年投入巨资进行服务机器人技术研究开发，
取得了巨大的成就.该企业试产了三类不同型号的服务机器人H ，H ，H ，对其进行两次智能模仿成年
1 2 3
人活动检测．
9
(1)若H 型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功，则第二次检测成功的概率为 ;若第一次检测不
1 10
3 4
成功，则第二次检测成功的概率为 .已知H 型服务机器人第一次检测成功的概率为 ，求H 型服务机器
4 1 5 1
人第二次检测成功的概率;
(2)试产H ，H ，H 型服务机器人进行两次仿成年人综合试验检测，已知第一次检测时，H ，H ，H
1 2 3 1 2 3
3 4 3 2 3 2
型合格的概率分别为 ， ， ，第二次检测时，H ，H ，H 型合格的概率分别为 ， ， .两次检测
4 5 5 1 2 3 3 4 3
相互独立，设经过两次检测后，H ，H ，H 型服务机器人合格的种类数为随机变量X，求X的分布列和
1 2 3
数学期望。
18.(本小题17分)
已知函数 ．
f(x)=axex+1
(1)当a=−1时，求f(x)在区间[−2,0]上的最大值和最小值;
(2)当a=1时，证明：f(x)≥lnx+x+2;
1
(3)若∀x∈[ ,+∞)，f(x)≤x2lnx−x3+x2+1，求实数a的取值范围．
e
19.(本小题17分)
已知椭圆
x2 y2
的左，右焦点分别 ， ， 为椭圆 上任意一点， ，
C: + =1(a>b>0) F F M C |F F |=2
a2 b2 1 2 1 2
|M F |+|M F |=4．
1 2
(1)求椭圆C的方程;
若 为圆 上任意一点，求 的最小值
(2) N C :(x−5) 2+(y−2) 2=5 |MN|+|M F | ;
1 2
(3)已知直线l:y=kx+1，(k≠0)与y轴交于点D，且与椭圆C交于A，B两点，E为坐标平面内不在直线l
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4 1上的动点，若直线AE，DE，BE斜率的倒数成等差数列，证明：动点E在定直线L上，并求直线L的方程．
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5 1参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.A
6.D
7.C
8.C
9.AD
10.BD
11.ACD
12.12
13.6
14.
[e2,+∞).
15.解：(1)由直三棱柱ABC−A B C 可得A A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以A A⊥BC，
1 1 1 1 1
因为M是底边BC的中点，A B=A C，所以BC⊥A M，
1 1 1
因为A A，A M⊂平面A MA，A A∩A M=A ，BC⊄平面AM A ，所以BC⊥平面A MA．
1 1 1 1 1 1 1 1
(2)由已知A A ⊥平面ABC，
1
AC,AB⊂平面ABC
所以A A⊥AC，A A⊥AB，又AB⊥AC，
1 1
以AB，AC，A A 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
1
由 可知 ，所以 ，则 ， ， ，
(1) AM⊥BC AB=AC=√2 A (0,0,2) B(√2,0,0) C (0,√2,2)
1 1
所以 ⃗ ， ⃗ ，
A B=(√2,0,−2) A C =(0,√2,0)
1 1 1
{⃗ ⃗
设平面 A BC 的法向量为 ⃗n=(x,y,z) ，则
n⋅A
1
B=0 ，可得{√2x−2z=0，
1 1 ⃗ ⃗ √2y=0
n⋅A C =0
1 1
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6 1令z=1，则⃗n=(√2,0,1)，因为AB⊥AC，AB⊥A A ，
1
AC∩A A =A,AC,A A ⊂平面ACC A ，所以AB⊥平面ACC A ，
1 1 1 1 1 1
所以平面A CC 的法向量为⃗m=(1,0,0)，设二面角B−A C −C为θ，
1 1 1 1
⃗ ⃗
|m⋅n| √2 √6
由图知θ为锐角，则cosθ= = = ，
⃗ ⃗ √3 3
|m||n|
√6
所以二面角B−A C −C的余弦值为
1 1 3
16.解：(1)设等差数列{a }的公差为d，因为a +a +a =3a =18，所以a =6，
n 1 3 5 3 3
又a =4，所以d=a −a =2，所以a =a −d=2，所以a =a +(n−1)d=2+(n−1)×2=2n；
2 3 2 1 2 n 1
设等比数列 的公比为 ，则b +b q(b +b ) 18 ，所以 ，所
{b } q 2 5= 1 4 =q= =2 b +b =b +b q3=b +23b =9
n b +b b +b 9 1 4 1 1 1 1
1 4 1 4
以b =1，
1
所以 ；
b =b qn−1=2n−1
n 1
由 得 ，
(2) (1) c =a ⋅b =2n⋅2n−1=n⋅2n
n n n
所以 ，
S =1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n
n
，
2S =1×22+2×23+3×24+⋯+n⋅2n+1
n
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7 12(2n−1)
两式相减得−S =2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1= −n⋅2n+1=−2−(n−1)⋅2n+1，所以
n 2−1
．
S =(n−1)⋅2n+1+2
n
17.解：(1)记A=“H 型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功”，
1
B=“H 型服务机器人第二次仿成年人拿水杯检测成功”，
1
4 1 9 3
则P(A)= ，P(A)= ，P(B|A)= ，P(B|A)= ．
5 5 10 4
P(AB) 4 9 18
因为P(B|A)= ，所以P(AB)=P(A)⋅P(B|A)= × = ，
P(A) 5 10 25
P(AB) 1 3 3
因为P(B|A)= ，所以P(AB)=P(A)⋅P(B|A)= × = ，
P(A) 5 4 20
18 3 87
则P(B)=P(AB)+P(AB)= + = ．
25 20 100
(2)三类不同型号的服务机器人检测合格的概率分别为：
3 2 1 4 3 3 3 2 2
P = × = ，P = × = ，P = × = ，
H 1 4 3 2 H 2 5 4 5 H 3 5 3 5
由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
1 3 2 3
则P(X=0)=(1− )×(1− )×(1− )= ，
2 5 5 25
1 3 2 1 3 2 1 3 2 19
P(X=1)= ×(1− )×(1− )+(1− )⋅ ×(1− )+(1− )×(1− )× = ，
2 5 5 2 5 5 2 5 5 50
1 3 2 1 3 2 1 3 2 19
P(X=2)= × ×(1− )+(1− )× × + ×(1− )× = ，
2 5 5 2 5 5 2 5 5 50
1 3 2 3
P(X=3)= × × = ．
2 5 5 25
随机变量X的分布列为
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8 13 19 19 3 3
所以E(X)=0× +1× +2× +3× = ．
25 50 50 25 2
18.解： 当 时， ，所以 ，
(1) a=−1 f(x)=−xex+1 f ′(x)=−(1+x)ex
当x∈(−2,−1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增;
当x∈(−1,0)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，
1
所以f(x)在区间[−2,0]上的最大值为f(−1)= +1．
e
2
又f(−2)= +1>f(0)=1，所以f(x)在区间[−2,0]上的最小值为f(0)=1．
e2
1+e
所以f(x)在区间[−2,0]上的最大值为 ，最小值为1．
e
证明：当 时，令 ，其定义域为 ，
(2) a=1 g(x)=xex−lnx−x−1 (0,+∞)
1 t−1
因为g(x)=xex−ln(xex )−1，令t=xex>0，得ℎ(t)=t−lnt−1，ℎ′(t)=1− = ，
t t
所以当01时，ℎ′(t)>0，ℎ(t)单调递增，
所以ℎ(t)≥ℎ(1)=0.故f(x)≥lnx+x+2．
1 1
(3)由∀x∈[ ,+∞)，f(x)≤x2lnx−x3+x2+1，得∀x∈[ ,+∞)，axex+1≤x2lnx−x3+x2+1，
e e
即 1 ， ，即 1 ， xlnx−x2+x，
x∈[ ,+∞) aex≤xlnx−x2+x x∈[ ,+∞) a≤
e e ex
令 xlnx−x2+x， 1 ，则 (1−x)(lnx−x+2)，
F(x)= x∈[ ,+∞) F′(x)=
ex e ex
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9 11−x 1
令φ(x)=lnx−x+2，则φ′(x)= ，所以当 0;当x>1时，φ′(x)<0，
x e
1
所以φ(x)在( ,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
e
1 1
又φ( )=1− >0，φ(1)=1>0，φ(e2 )=4−e2<0，
e e
1
所以当x∈[ ,+∞)时，φ(x)在(1,e2 )内存在唯一的零点x ，
e 0
1
所以当x∈( ,1)时，φ(x)>0，F′(x)>0，F(x)单调递增，
e
当x∈(1,x )时，φ(x)>0，F′(x)<0，F(x)单调递减，
0
当x∈(x ,+∞)时，φ(x)<0，F′(x)>0，F(x)单调递增，
0
所以 1 ，因为 1 −2− 1，
F(x) ={F(x ),F( )} F( )=−e e
min 0 e e
因为 ，所以 ， ，
φ(x )=lnx −x +2=0 lnx −x +1=−1 x =ex 0 −2
0 0 0 0 0 0
所以 x lnx −x2+x x (lnx −x +1) −x −ex 0 −2 1 ，
F(x )= 0 0 0 0= 0 0 0 = 0= =−
0 ex
0
ex
0
ex
0
ex
0
e2
1 1 1
因为
−e
−2− e>−e−2，所以ℎ(
e
)> ℎ(x
0
)，所以ℎ(x)
min
= ℎ(x
0
)=−
e2
，
1
所以实数a的取值范围为(−∞,− ].
e2
19.解：(1)设椭圆的半焦距为c，因为|F F |=2c=2，所以c=1，
1 2
由椭圆的定义 ，所以 ，所以 ，
|M F |+|M F |=2a=4 a=2 b=√a2−c2=√22−12=√3
1 2
x2 y2
所以C的方程为 + =1．
4 3
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10 1x2 y2
(2)因为C: + =1的右焦点F (1,0)，圆C :(x−5) 2+(y−2) 2=5的圆心C (5,2)，半径r=√5，显然
4 3 2 1 1
椭圆 与圆 没有交点，因为点 在圆 上，所以 ，于是
C C N C |MN| =|MC |−√5
1 1 min 1
，当且仅当 ，
|MN|+|M F |≥|MC |−√5+|M F |≥|C F |−√5=√(5−1) 2+22−√5=√5 M N
2 1 2 1 2
分别是线段C F 与椭圆C、圆C 的交点时取等号，所以|MN|+|M F |的最小值为√5．
1 2 1 2
{
y=kx+1
设 ， ， ，因为直线 ，所以点 ，联立 消去
(3) E(x ,y ) A(x ,y ) B(x ,y ) l:y=kx+1 D(0,1) x2 y2
0 0 1 1 2 2 + =1
4 3
得 ， ．
y (3+4k2 )x2+8kx−8=0 Δ=96(2k2+1)>0
8k ， −8 ，因为 y −y ， y −1， y −y ，且直线 ，
∴x +x =− x x = k = 0 1 k = 0 k = 0 2 AD
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2 EA x −x ED x EB x −x
0 1 0 0 2
， 斜率的倒数成等差数列，所以 1 1 2 ，所以 2x x −x x −x ，即
DE BD + = 0 = 0 1 + 0 2
k k k y −1 y −y y −y
AD BD DE 0 0 1 0 2
x −x x x −x x ，将 ， 代入上述等式可得
( 0 1 − 0 )+( 0 2 − 0 )=0 y =kx +1 y =kx +1
y −y y −1 y −y y −1 1 1 2 2
0 1 0 0 2 0
x (kx +1−y ) x (kx +1−y ) ，若 ，则点 在直线 上，与已知矛盾 故
1 0 0 + 2 0 0 =0 kx +1−y =0 E l ;
(y −y )(y −1) (y −y )(y −1) 0 0
0 1 0 0 2 0
x x
， ，整理可得
kx +1−y ≠0 1 + 2 =0
0 0 (y −y )(y −1) (y −y )(y −1)
0 1 0 0 2 0
，可得 ，
x (y2−y + y −y y )+x (y2−y + y −y y )=0 (x +x )(y2−y )+(x y +x y )(1−y )=0
1 0 0 2 2 0 2 0 0 1 1 0 1 2 0 0 1 2 2 1 0
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即(x +x )(y2−y )+(2kx x +x +x )(1−y )=0，即− (y2−y )− (1−y )=0对任意
1 2 0 0 1 2 1 2 0 3+4k2 0 0 3+4k2 0
的 ， 恒成立，所以 ，解得 或 由于 的斜率不为 ，所以 ，故
k∈R k≠0 y2−4 y +3=0 y =1 y =3. DE 0 y ≠1
0 0 0 0 0
y =3.所以点E在定直线L:y=3上．
0
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12 1
