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2025 年高二下学期数学入学试题
一、单选题（共 40 分）
1. 抛物线 y2＝x 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可以先确定开口方向，再根据方程得 的值，进而得到焦点坐标.
【详解】由 y2＝x 知抛物线的焦点在 轴上，且开口向右， ,∴ ， 焦点坐标为 ，
故选:B．
【点睛】根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程时，可以总结如下：
的焦点坐标 ,准线方程 ；
的焦点坐标 ,准线方程 .
2. 已知 ， ，O 为坐标原点，若 ，则点 B 的坐标应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】 ,所以 ,
所以 ,
故选：B
3. 在三角形 中， ， ， ，则 （ ）
第 1页/共 17页A. 10 B. 12 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的数量积公式求得结果.
【详解】记 ，则 ， ，
，
．
故选：A.
4. 在三棱柱 中，若 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.
【详解】由题可知 .
故选：D
5. 已知四棱锥 中， ， ， ，则点 到底面 的
距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出平面 的一个法向量，然后求 与法向量夹角的余弦值，利用点到面的距离公式即
可求解.
第 2页/共 17页【详解】设 是平面的一个法向量，
则由题设 ，即
令 ，可得 ， ，所以 ，
，
， ，
，
故点 到平面 的距离为
故点 到平面 的距离为 ，
故选：D．
【点睛】方法点睛：向量方法求点到面的距离
设 是平面 的一条斜线， 是平面 的一个法向量，则点 到平面 的距离为
6. 在等比数列 中， 是方程 两根，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列性质可得 ,再由根与系数的关系计算可得结果.
第 3页/共 17页【详解】由 是方程 两根可得 ，
由等比数列性质可得 ，解得 或 （舍）；
所以 .
故选：D
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P 为椭圆 C 上一点， 的最小值为
1，且 的周长为 34，则椭圆 C 的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用焦点三角形的周长为 ，及 ，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可.
【详解】因为 的最小值为 1，所以 ．
因为 的周长为 34，所以 ，
所以 ．因为 ，
所以 ，所以椭圆 C 的标准方程为 ．
故选：C.
8. 过抛物线 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且 ，则直线 l 的斜率为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，由 得到 ，当直线 的斜率为 0 时不合要求，当直线
的斜率不为 0 时，设 ，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而列出方程，得到
第 4页/共 17页，求出直线 的斜率.
【详解】由题意得： ，
因为 ，则 ，
设 ，则 ，
当直线 的斜率为 0 时，此时直线 l 与抛物线只有 1 个交点，不合要求，
当直线 的斜率不为 0 时，设 ，
则联立 与抛物线方程，得 ，
则 ，
因为 ，故 ，
所以 ，解得： ，
故直线 l 的斜率为 .
故选：C．
二、多选题（共 15 分）
9. 已知数列 的前 项和 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列 为单调递增数列
C. 数列 是等比数列 D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用 的关系求出 可判断 AD；利用等比数列的定义可判断 C；由首项及公比可判断 B.
【详解】∵ ，∴ ，故 A 正确；
当 时， ，
∴ ， 也适合，
第 5页/共 17页∴ ，故 D 错误；
∵ ，∴数列 是公比为 3 的等比数列，故 C 正确；
∵ ，公比大于 1，∴数列 为单调递增数列，故 B 正确.
故选：ABC.
10. 下列关于双曲线 的结论中，正确的是（ ）
A. 离心率为 B. 焦距为
C. 两条渐近线互相垂直 D. 焦点到渐近线的距离为 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可.
【详解】双曲线 ，可得 ， ， ，
则双曲线 的离线率为 ，故 A 正确；
焦距 ，故 B 错误；
渐近线为 与 ，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故 C 正确；
焦点到渐近线的距离为 ，故 D 正确；
故选：ACD.
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，则下列说法正
确的是（ ）
A. ， ， ， 四点共面 B.
C. 直线 与 所成角的余弦值为 D. 点 到直线 的距离为 1
【答案】BD
第 6页/共 17页【解析】
【分析】根据直线 位置关系可判断 A；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明方法可判断 B；
根据空间角的向量求法可判断 C；根据空间距离的向量求法可判读 D.
【详解】对于 A，连接 ，则 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，故 不相交；
又 ， , 平面 ，
故 不平行，否则 重合，不合题意，
即 为异面直线，故 ， ， ， 四点不共面，A 错误；
对于 B，以 D 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，则 ，
则 ，即 ，故 ，B 正确；
对于 C， ，则 ,
故 ，
而直线 与 所成角的范围为 ，故直线 与 所成角的余弦值为 ，C 错误；
对于 D， ，
则点 到直线 的距离为 ，D 正确，
第 7页/共 17页故选：BD
三、填空题（共 25 分）
12. 双曲线 的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程.
【详解】由双曲线 ，可得 ，
所以双曲线的焦点在 轴上的渐近线方程为： .
故答案 ： .
13. 在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 ， ，点 在椭圆 上，则
______．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 由 椭 圆 的 方 程 可 得 ， ， 的 值 ， 可 知 为 椭 圆 的 焦 点 ， 由 正 弦 定
理 可 得
，再由椭圆的定义可知 ，进而求出它的值．
【详解】由椭圆的方程可得 ， ，所以 ，
所以可得 为椭圆的焦点，
由椭圆的定义可知 ，
在 中，由正弦定理可得 ．
故答案为： ．
第 8页/共 17页14. 已知圆 ，直线 ，过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，
则四边形 面积的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的性质，得到四边形 面积 ，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】如图所示，由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
则四边形 面积 ，
要使得四边形 面积的最小值，只需 最小，
由圆心 到直线 的距离为 ，
所以四边形 面积的最小值为 .
故答案为： .
15. 若数列 满足 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数列的递推关系求得周期为 3，运算得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ， ，
第 9页/共 17页所以 是周期为 3 的数列，故 .
故答案为： .
16. 设 是空间中两两夹角都为 的三条数轴， 分别是与 轴正方向同向的单位向量，
若 ，则把有序数对 叫作向量 在坐标系 中的坐标.
（1）若 ，且 ，则 __________；
（2）若 ，则三棱锥 的表面积为__________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算和坐标系 中坐标的定义，解出 即可；
（2）由题意，三棱锥 为棱长为 2 的正四面体，利用面积公式求表面积即可.
【详解】（1）若 ，且 ，有 ，
则 ；
（2）依题意， ，两两夹角为 ，且模都是 2，则三棱锥 是正四面体，则表面积
.
故答案为：1；
四、解答题（共 70 分）
17. 某城市在进行新冠疫情防控中，为了解居民对新冠疫情防控的满意程度，组织居民给活动打分（分数为
整数，满分为 100 分），从中随机抽取一个容量为 180 的样本，发现所有数据均在 内．现将这些分
数分成以下 6 组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答
下列问题：
第 10页/共 17页（1）算出第三组 的频数，并补全频率分布直方图；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）
【答案】（1）27（人），作图见解析；（2）众数为 75 分，中位数 75 分，平均数为 73.5 分．
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质结合图形即可求解；
（2）根据由频率分布直方图计算众数，中位数，平均数的方法求解即可
【详解】（1）因为各组的频率之和等于 1，所以分数在 内的频率为：
，
所以第三组 的频数为 （人），
完整的频率分布直方图如图，
（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，
从图中可看出众数的估计值为 75 分；
因为 ， ，
所以中位数位于 上，
所以中位数的估计值为： ；
又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：
（分）．
所以，样本的众数为 75 分，中位数 75 分，平均数为 73.5 分．
18. 已知命题 “存在 ”，命题 ：“曲线 表示焦点在 轴上的椭圆”，
命题
（1）若“ 且 ”是真命题，求 的取值范围；
第 11页/共 17页（2）若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）若 p 为真：△≥0；若 q 为真：则 ，若“p 且 q”是真命题，求其交集
即可得出；（2）由 q 是 r 的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（-1，2），解出即可得出
试题解析：（1）若 为真：
解得
若 为真：则
解得
若“ 且 ”是真命题，则
解得
（2）由 是 的必要不充分条件，则可得
即 （等号不同时成立）
解得
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假
19. 圆 的圆心为 ，且过点 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）直线 ： 与圆 交 ， 两点，且 ，求 .
【答案】（1）
（2）1 或
【解析】
【分析】(1)利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；
第 12页/共 17页(2)求出圆心 到直线 的距离，利用垂径定理列出方程，求出 .
【小问 1 详解】
因为圆 半径 ，
所以圆的标准方程为： .
【小问 2 详解】
设圆心 到直线 ： 的距离为 ，
则 ，
由垂径定理可得 ，
即 ，解得 或 .
20. 已知双曲线 的渐近线为 ，焦点到渐近线的距离是 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 与双曲线 交于不同的两点 A、B，且线段 的中点在圆 上，
求实数 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由渐近线为 可得 ，根据焦点到渐近线的距离是 ，求出 c，利用双曲线中
即可求得双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出 的中点坐标，
代入圆的方程计算．
【小问 1 详解】
第 13页/共 17页解：由题知， ，
设右焦点 ，取一条渐近线 ，
则焦点到渐近线的距离 ，
，从而 ，
所以双曲线的方程为 .
【小问 2 详解】
解：设 ， ，
由 ，得 ，
则 ， ，
所以 ，
则 中点坐标为 ，
代入圆 ，得 ，
所以 ．
21. 已知数列 满足 ，且点 在直线 上.
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 前 项和为 ，求能使 对 恒成立的 （ ）的最小值.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）由题设易得 为等差数列，即可求其通项公式；
第 14页/共 17页（2）对数列 的通项分析可通过裂项相消法求前 项和 ，将 恒成立问题转化为求 的
最大值或上界问题即得.
【小问 1 详解】
点 在直线 上，得 ，
所以数列 是以首项为 ，公差为 2 的等差数列．
故 ，即 ．
【小问 2 详解】
，
所以
即 ，因 ，故 ，
故要使 对 恒成立，需使 ，即 ，
又 ，所以 的最小值为 5.
22. 在三棱台 中， 平面 ， ， ， ， 为
中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
第 15页/共 17页【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，证明四边形 为平行四边形，推出 ，根据线面平行的判定
定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面 与平面 的法向量，根据空间角的
向量求法，即可求得答案.
【小问 1 详解】
取 的中点 ，连接 ， ，得 为 的中位线，
，且 ．
由于 ∽ ， ，
故 ，而 ， ，则 ， ，
四边形 为平行四边形， ．
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
小问 2 详解】
如图，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
所以 ， ．
第 16页/共 17页设平面 一个法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，则可取 ．
平面 平面的法向量可取为 ．
设平面 与平面 的夹角为 ， ,
则 ，
平面 与平面 的夹角余弦值为 .
第 17页/共 17页
