2007年天津高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_天津

2007 年天津高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘 贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 P(AB) P(A)P(B) S 4πR2 ·如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A· B) P(A·) P(B) 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 2i3 1．i是虚数单位， （ ） 1i Ａ．1i Ｂ． 1i Ｃ．1i Ｄ．1i x y≥1，  2．设变量x，y满足约束条件x y≥1，则目标函数z 4x y的最大值为（ ）  3x y3．  Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14 2π π  3．“ ”是“tan2cos   ”的（ ） 3 2  Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 x2 y2 4．设双曲线  1(a 0，b0)的离心率为 3，且它的一条准线与抛物线y2 4x a2 b2 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） x2 y2 x2 y2 Ａ．  1 Ｂ．  1 12 24 48 96 第1页 | 共13页x2 2y2 x2 y2 Ｃ．  1 Ｄ．  1 3 3 3 6 5．函数y log ( x42)(x0)的反函数是（ ） 2 Ａ．y 4x 2x1(x2) Ｂ．y 4x 2x1(x1) Ｃ．y 4x 2x2(x2) Ｄ．y 4x 2x2(x1) 6．设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a，b与所成的角相等，则a∥b Ｂ．若a∥，b∥，∥，则a∥b Ｃ．若a，b，a∥b，则∥ Ｄ．若a ，b，，则ab 7．在R上定义的函数 f(x)是偶函数，且 f(x) f(2x)，若 f(x)在区间[1，2]上是减函 数，则 f(x)（ ） Ａ．在区间[2，1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 Ｂ．在区间[2，1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 Ｃ．在区间[2，1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 Ｄ．在区间[2，1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数 8．设等差数列a 的公差d 不为0，a 9d．若a 是a 与a 的等比中项，则k （ ） n 1 k 1 2k Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 b c 1 1 9．设a，b，c均为正数，且2a log a，  log b，  log c．则（ ） 1 2 1 2 2 2 2 Ａ．abc Ｂ．cba Ｃ．cab Ｄ．bac  m  10．设两个向量 a (2，2 cos2)和 b  m， sin ，其中，m，为实  2   数．若a 2b，中央电视台 的取值范围是（ ） m Ａ． Ｂ．[4，8] Ｃ． Ｄ． 第2页 | 共13页第Ⅱ卷 注意事项： 1．答案前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上． 6  1  5 11．若 x2   的二项展开式中x2的系数为 ，则a  （用数字作答）．  ax 2 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2， 3，则此球的表面积为 ． a2 n2 13．设等差数列a 的公差d 是2，前n项的和为S ，则lim n  ． n n n S n 14．已知两圆x2  y2 10和(x1)2 (y3)2 20相交于A，B两点，则直线AB的方程 是 ． A 15．如图，在△ABC中，BAC 120°，AB2，AC 1， D是 边 BC上 一 点 ， DC 2BD， 则 B C D   AD· BC  ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一 种颜色，要求最多使用3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不 同的涂色方法共有 种（用数字作答）． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数 f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR． （Ⅰ）求函数 f(x)的最小正周期； π 3π （Ⅱ）求函数 f(x)在区间 ， 上的最小值和最大值．   8 4  18．（本小题满分12分） 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑 球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率； （Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； 第3页 | 共13页（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 PABCD中 ， PA底 面 ABCD， AB AD，AC CD，ABC 60°，PA AB BC，E是PC的中点． （Ⅰ）证明CD AE； P （Ⅱ）证明PD平面ABE； （Ⅲ）求二面角APDC的大小． E A D C B 20．（本小题满分12分） 2axa2 1 已知函数 f(x) (xR)，其中aR． x2 1 （Ⅰ）当a 1时，求曲线y  f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a 0时，求函数 f(x)的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分） 在数列a 中，a 2，a a n1(2)2n(nN)，其中0． n 1 n1 n （Ⅰ）求数列a 的通项公式； n （Ⅱ）求数列a 的前n项和S ； n n a a （Ⅲ）证明存在kN，使得 n1 ≤ k1 对任意nN均成立． a a n k 22．（本小题满分14分） x2 y2 设椭圆  1(ab0)的左、右焦点分别为 F，F，A是椭圆上的一点， a2 b2 1 2 第4页 | 共13页1 AF  FF ，原点O到直线AF 的距离为 OF ． 2 1 2 1 3 1 （Ⅰ）证明a  2b； （Ⅱ）设Q，Q 为椭圆上的两个动点，OQ OQ ，过原点O作直线QQ 的垂线OD， 1 2 1 2 1 2 垂足为D，求点D的轨迹方程． 参考解答 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 8 14．x3y 0 15． 16．390 3 三、解答题 17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数 y  Asin(x)的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．  π （Ⅰ）解： f(x)2cosx(sinxcosx)1sin2xcos2x 2sin  2x ．  4 因此，函数 f(x)的最小正周期为π．  π π 3π 3π 3π （Ⅱ）解法一：因为 f(x) 2sin  2x 在区间  ，  上为增函数，在区间  ，   4 8 8   8 4  第5页 | 共13页π 3π 上 为 减 函 数 ， 又 f   0， f    2， 8  8  3π 3π π π f    2sin     2cos 1，  4   2 4 4 π 3π 故函数 f(x)在区间 ， 上的最大值为 2 ，最小值为1．   8 4   π π 9π 解法二：作函数 f(x) 2sin  2x 在长度为一个周期的区间  ，  上的图象如下：  4 8 4  y 2   O      x       2 π 3π 由图象得函数 f(x)在区 间 ，   8 4  3π 上的最大值为 2 ，最小值为 f   1．  4  18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础 知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为 C2 1 C2 2 黑球”为事件B．由于事件A，B相互独立，且P(A) 3  ，P(B) 4  ． C2 2 C2 5 4 6 1 2 1 故取出的4个球均为黑球的概率为P(A· B) P(A·) P(B)   ． 2 5 5 （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球， 1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取 出的2个球均为黑球”为事件D．由于事件C，D互斥， C2 C1· C1 4 C1 C2 1 且P(C) 3· 2 4  ，P(D) 3· 4  ． C2 C2 15 C2 C2 5 4 6 4 6 4 1 7 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(CD) P(C)P(D)   ． 15 5 15 第6页 | 共13页1 7 （Ⅲ）解：可能的取值为0，1，2，3．由（Ⅰ），（Ⅱ）得P(0) ，P(1) ， 5 15 C1 1 1 3 P(3) 3·  ．从而P(2)1P(0)P(1)P(3) ． C2 C2 30 10 4 6 的分布列为  0 1 2 3 1 7 3 1 P 5 15 10 30 1 7 3 1 7 的数学期望E0 1 2 3  ． 5 15 10 30 6 19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：在四棱锥 PABCD中，因 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，故 PACD． ∵AC CD，PA AC  A，∴CD平面PAC ．  而AE 平面PAC ，∴CD AE． （Ⅱ）证明：由PA AB BC，ABC 60°，可得AC  PA． ∵E是PC的中点，∴AE  PC． 由（Ⅰ）知，AE CD，且PC CDC，所以AE 平面PCD．  而PD平面PCD，∴AE  PD． ∵PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB AD，∴AB PD． 又∵AB AE  A，综上得PD平面ABE．  （Ⅲ）解法一：过点 A作 AM  PD，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知， AE 平面 PCD，AM 在平面PCD内的射影是EM ，则EM  PD． 因此AME是二面角APDC的平面角． 由已知，得CAD30°．设AC a， 2 3 21 2 可得PAa，AD a，PD a，AE  a． 3 3 2 在Rt△ADP中，∵AM  PD，∴AM· PD PA· AD， 2 3 a· a PA· AD 3 2 7 则AM    a． PD 21 7 P a M 3 E AE 14 在Rt△AEM 中，sin AME   ． A D AM 4 C B 14 所以二面角APDC的大小是arcsin ． 4 第7页 | 共13页解法二：由题设PA底面ABCD，PA平面PAD，则平面PAD平面ACD，交线 为AD． 过点C作CF  AD，垂足为 F ，故CF 平面 PAD．过点 F 作 FM  PD，垂足为 M ，连结CM ，故CM  PD．因此CMP是二面角APDC的平面角． 由已知，可得CAD30°，设AC a， 2 3 21 1 3 可得PAa，AD a，PD a，CF  a，FD a． 3 3 2 6 FM FD ∵△FMD∽△PAD，∴  ． PA PD P 3 a· a E FD· PA 6 7 M 于是，FM    a． PD 21 14 A F D a 3 C B 1 a CF 2 在Rt△CMF 中，tanCMF    7． FM 7 a 14 所以二面角APDC的大小是arctan 7 ． 20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的 单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． 2x 4 （Ⅰ）解：当a 1时， f(x) ， f(2) ， x2 1 5 2(x2 1)2x· 2x 22x2 6 又 f(x)  ， f(2) ． (x2 1)2 (x2 1)2 25 4 6 所以，曲线y  f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y  (x2)， 5 25 即6x2y320． 2a(x2 1)2x(2axa2 1) 2(xa)(ax1) （Ⅱ）解： f(x)  ． (x2 1)2 (x2 1)2 由于a 0，以下分两种情况讨论． 1 （1）当a 0时，令 f(x)0，得到x  ，x a．当x变化时， f(x)，f(x)的变 1 a 2 化情况如下表：  1 1  1  x  ∞，    ，a  a (a，∞)  a a  a  f(x)  0  0  第8页 | 共13页f(x)  极小值 极大值    1  1  所以 f(x)在区间 ∞， ，(a，∞)内为减函数，在区间  ，a 内为增函数．  a  a  1  1  1 函数 f(x)在x  处取得极小值 f   ，且 f    a2， 1 a  a  a 1 函数 f(x)在x  处取得极大值 f(a)，且 f(a)1． 2 a 1 （2）当a0时，令 f(x)0，得到x a，x  ，当x变化时， f(x)，f(x)的变化 1 2 a 情况如下表：  1 1  1  x ∞，a a  a，     ，+∞   a a  a  f(x)  0  0  f(x) 极大值 极小值     1   1 所以 f(x)在区间(∞，a)，  ，+∞ 内为增函数，在区间 a， 内为减函数．  a   a 函数 f(x)在x a处取得极大值 f(a)，且 f(a)1． 1 1  1  1 函数 f(x)在x  处取得极小值 f   ，且 f    a2． 2 a  a  a 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不 等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和 解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解法一：a 22 (2)22 22， 2 a (2 22)3(2)22 2323， 3 a (23 23)4 (2)23 34 24． 4 由此可猜想出数列a 的通项公式为a (n1)n 2n． n n 以下用数学归纳法证明． （1）当n1时，a 2，等式成立． 1 （2）假设当nk时等式成立，即a (k1)k 2k， k 第9页 | 共13页那么a a k1(2)2k (k1)k 2k k12k12k k1 1 [(k1)1]k12k1． 这就是说，当nk1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式a (n1)n 2n对 n 任何nN都成立． 解法二：由a a n1(2)2n(nN)，0， n1 n n1 n a  2 a  2 可得 n1     n    1， n1  n  a  2 n a  2 n 所以 n    为等差数列，其公差为1，首项为0，故 n    n1，所以数列a   n    n  n 的通项公式为a (n1)n 2n． n （Ⅱ）解：设T 2 2334  (n2)n1(n1)n， ① n  T 324 35  (n2)n (n1)n1 ② n  当1时，①式减去②式， 2 n1 得(1)T 2 3  n (n1)n1  (n1)n1， n  1 2 n1 (n1)n1 (n1)n2 nn12 T    ． n (1)2 1 (1)2 (n1)n2 nn12 这时数列a 的前n项和S  2n12． n n (1)2 n(n1) n(n1) 当1时，T  ．这时数列a 的前n项和S  2n12． n 2 n n 2 a  a （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列 n1的第一项 2 最大，下面证明： a a   n 1 a a 2 4 n1  2  ,n≥2． ③ a a 2 n 1 由0知a 0，要使③式成立，只要2a (2 4)a (n≥2)， n n1 n 因为(2 4)a (2 4)(n1)n (2 1)2n n 第10页 | 共13页4· (n1)n 42n 4(n1)n12n2 ≥2nn12n2 2a ，n≥2． n1 所以③式成立． a a a 因此，存在k 1，使得 n1 ≤ k1  2 对任意nN均成立． a a a n k 1 22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识， 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分． （Ⅰ）证法一：由题设 AF  FF 及F(c，0)，F (c，0)，不妨设点 A(c，y)，其中 2 1 2 1 2 c2 y2 a2 b2 y2 y 0．由于点A在椭圆上，有  1，即  1． a2 b2 a2 b2 b2  b2  解得y  ，从而得到Ac， ． a  a  b2 直线AF 的方程为y  (xc)，整理得b2x2acyb2c0． 1 2ac 1 c b2c 由题设，原点O到直线AF 的距离为 OF ，即  ， 1 3 1 3 b4 4a2c2 将c2 a2 b2代入上式并化简得a2 2b2，即a  2b．  b2  证法二：同证法一，得到点A的坐标为c， ．  a  BO F A 过点O作OB AF ，垂足为B，易知△FBO∽△FF A，故  2 ． 1 1 1 2 OF FA 1 1 1 由椭圆定义得 AF  AF 2a，又 BO  OF ， 1 2 3 1 y 1 F A F A 所以  2  2 ， 3 FA 2a F A A 1 2 B a b2 b2 a F O F x 解得 F A  ，而 F A  ，得  ，即a  2b． 1 2 2 2 2 a a 2 （Ⅱ）解法一：设点D的坐标为(x，y )． 0 0 x 当 y 0时，由ODQQ 知，直线QQ 的斜率为 0 ，所以直线QQ 的方程为 0 1 2 1 2 y 1 2 0 第11页 | 共13页x x x2 y  0 (xx ) y ，或y kxm，其中k  0 ，m y  0 ． y 0 0 y 0 y 0 0 0 y kxm， 点Q (x，y )，Q (x，y )的坐标满足方程组 1 1 1 2 2 2 x2 2y2 2b2． 将①式代入②式，得x2 2(kxm)2 2b2， 整理得(12k2)x2 4kmx2m2 2b2 0， 4km 2m2 2b 于是x x  ，x x  ． 1 2 12k2 1 2 12k2 由①式得y y (kx m)(kx m)k2x x km(x x )k2 1 2 1 2 1 2 1 2 2m2 2b2 4km m2 2b2k2 k2· km· m2  ． 12k2 12k 12k2 3m2 2b2 2b2k2 由OQ OQ 知x x  y y 0．将③式和④式代入得 0， 1 2 1 2 1 2 12k2 3m2 2b2(1k2)． x x2 2 将k  0，m y  0 代入上式，整理得x2  y2  b2． y 0 y 0 0 3 0 0 当 y 0时，直线QQ 的方程为x x ，Q (x，y )，Q (x，y )的坐标满足方程组 0 1 2 0 1 1 1 2 2 2 x x， 0  x2 2y2 2b2． 2b2 x2 所以x  x  x ，y  0 ． 1 2 0 1，2 2 2b2 x2 由OQ OQ 知x x  y y 0，即x2  0 0， 1 2 1 2 1 2 0 2 2 解得x2  b2． 0 3 2 这时，点D的坐标仍满足x2  y2  b2． 0 0 3 2 综上，点D的轨迹方程为 x2  y2  b2． 3 解法二：设点 D的坐标为 (x，y )，直线 OD的方程为 y xx y 0，由 0 0 0 0 第12页 | 共13页ODQQ ，垂足为D，可知直线QQ 的方程为x x y y  x2  y2． 1 2 1 2 0 0 0 0 记 m x2  y2（显然 m0），点 Q (x，y )，Q (x，y )的坐标满足方程组 0 0 1 1 1 2 2 2 x x y y m， ① 0 0  x2 2y2 2b2． ② 由①式得y y mx x． ③ 0 0 由②式得y2x2 2y2y2 2y2b2． ④ 0 0 0 将③式代入④式得y2x2 2(mx x)2 2y2b2． 0 0 0 整理得(2x2  y2)x2 4mx x2m2 2b2y2 0， 0 0 0 0 2m2 2b2y2 于是x x  0 ． ⑤ 1 2 2x2  y2 0 0 由①式得x xm y y． ⑥ 0 0 由②式得x2x2 2x2y2 2x2b2． ⑦ 0 0 0 将⑥式代入⑦式得(m y y)2 2x2y2 2x2b2， 0 0 0 整理得(2x2  y2)y2 2my ym2 2b2x2 0， 0 0 0 0 m2 2b2x2 于是y y  0 ． ⑧ 1 2 2x2  y2 0 0 2m2 2b2y2 m2 2b2x2 由OQ OQ 知x x  y y 0．将⑤式和⑧式代入得 0  0 0， 1 2 1 2 1 2 2x2  y2 2x2  y2 0 0 0 0 3m2 2b2(x2  y2)0． 0 0 2 将m x2  y2代入上式，得x2  y2  b2． 0 0 0 0 3 2 所以，点D的轨迹方程为x2  y2  b2． 3 第13页 | 共13页