2007年天津高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_天津

2007 年天津高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120
分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘
贴考试用条形码．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式
P(AB) P(A)P(B) S 4πR2
·如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A· B) P(A·) P(B)
一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2i3
1．i是虚数单位， （ ）
1i
Ａ．1i Ｂ． 1i Ｃ．1i Ｄ．1i
x y≥1，

2．设变量x，y满足约束条件x y≥1，则目标函数z 4x y的最大值为（ ）

3x y3．

Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14
2π π 
3．“ ”是“tan2cos   ”的（ ）
3 2 
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
x2 y2
4．设双曲线  1(a 0，b0)的离心率为 3，且它的一条准线与抛物线y2 4x
a2 b2
的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2
Ａ．  1 Ｂ．  1
12 24 48 96
第1页 | 共13页x2 2y2 x2 y2
Ｃ．  1 Ｄ．  1
3 3 3 6
5．函数y log ( x42)(x0)的反函数是（ ）
2
Ａ．y 4x 2x1(x2) Ｂ．y 4x 2x1(x1)
Ｃ．y 4x 2x2(x2) Ｄ．y 4x 2x2(x1)
6．设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
Ａ．若a，b与所成的角相等，则a∥b
Ｂ．若a∥，b∥，∥，则a∥b
Ｃ．若a，b，a∥b，则∥
Ｄ．若a ，b，，则ab
7．在R上定义的函数 f(x)是偶函数，且 f(x) f(2x)，若 f(x)在区间[1，2]上是减函
数，则 f(x)（ ）
Ａ．在区间[2，1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
Ｂ．在区间[2，1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
Ｃ．在区间[2，1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
Ｄ．在区间[2，1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
8．设等差数列a 的公差d 不为0，a 9d．若a 是a 与a 的等比中项，则k （ ）
n 1 k 1 2k
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
b c
1 1
9．设a，b，c均为正数，且2a log a，  log b，  log c．则（ ）
1 2 1 2 2
2 2
Ａ．abc Ｂ．cba Ｃ．cab Ｄ．bac
 m 
10．设两个向量 a (2，2 cos2)和 b  m， sin ，其中，m，为实
 2 

数．若a 2b，中央电视台 的取值范围是（ ）
m
Ａ． Ｂ．[4，8] Ｃ． Ｄ．
第2页 | 共13页第Ⅱ卷
注意事项：
1．答案前将密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．
6
 1  5
11．若 x2   的二项展开式中x2的系数为 ，则a  （用数字作答）．
 ax 2
12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，
3，则此球的表面积为 ．
a2 n2
13．设等差数列a 的公差d 是2，前n项的和为S ，则lim n  ．
n n n S
n
14．已知两圆x2  y2 10和(x1)2 (y3)2 20相交于A，B两点，则直线AB的方程
是 ． A
15．如图，在△ABC中，BAC 120°，AB2，AC 1，
D是 边 BC上 一 点 ， DC 2BD， 则
B C
D
 
AD· BC  ．
16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一
种颜色，要求最多使用3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不
同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数 f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR．
（Ⅰ）求函数 f(x)的最小正周期；
π 3π
（Ⅱ）求函数 f(x)在区间 ， 上的最小值和最大值．
 
8 4 
18．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑
球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
第3页 | 共13页（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 PABCD中 ， PA底 面 ABCD，
AB AD，AC CD，ABC 60°，PA AB BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明CD AE；
P
（Ⅱ）证明PD平面ABE；
（Ⅲ）求二面角APDC的大小．
E
A D
C
B
20．（本小题满分12分）
2axa2 1
已知函数 f(x) (xR)，其中aR．
x2 1
（Ⅰ）当a 1时，求曲线y  f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
（Ⅱ）当a 0时，求函数 f(x)的单调区间与极值．
21．（本小题满分14分）
在数列a 中，a 2，a a n1(2)2n(nN)，其中0．
n 1 n1 n
（Ⅰ）求数列a 的通项公式；
n
（Ⅱ）求数列a 的前n项和S ；
n n
a a
（Ⅲ）证明存在kN，使得 n1 ≤ k1 对任意nN均成立．
a a
n k
22．（本小题满分14分）
x2 y2
设椭圆  1(ab0)的左、右焦点分别为 F，F，A是椭圆上的一点，
a2 b2 1 2
第4页 | 共13页1
AF  FF ，原点O到直线AF 的距离为 OF ．
2 1 2 1 3 1
（Ⅰ）证明a  2b；
（Ⅱ）设Q，Q 为椭圆上的两个动点，OQ OQ ，过原点O作直线QQ 的垂线OD，
1 2 1 2 1 2
垂足为D，求点D的轨迹方程．
参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ
6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
11．2 12．14π 13．3
8
14．x3y 0 15． 16．390
3
三、解答题
17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数
y  Asin(x)的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
 π
（Ⅰ）解： f(x)2cosx(sinxcosx)1sin2xcos2x 2sin  2x ．
 4
因此，函数 f(x)的最小正周期为π．
 π π 3π 3π 3π
（Ⅱ）解法一：因为 f(x) 2sin  2x 在区间  ，  上为增函数，在区间  ， 
 4 8 8   8 4 
第5页 | 共13页π 3π
上 为 减 函 数 ， 又 f   0， f    2，
8  8 
3π 3π π π
f
 
 2sin



 2cos 1，
 4   2 4 4
π 3π
故函数 f(x)在区间 ， 上的最大值为 2 ，最小值为1．
 
8 4 
 π π 9π
解法二：作函数 f(x) 2sin  2x 在长度为一个周期的区间  ，  上的图象如下：
 4 8 4 
y
2


O      x
    
 2
π 3π
由图象得函数 f(x)在区 间 ，
 
8 4 
3π
上的最大值为 2 ，最小值为 f   1．
 4 
18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础
知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为
C2 1 C2 2
黑球”为事件B．由于事件A，B相互独立，且P(A) 3  ，P(B) 4  ．
C2 2 C2 5
4 6
1 2 1
故取出的4个球均为黑球的概率为P(A· B) P(A·) P(B)   ．
2 5 5
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，
1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取
出的2个球均为黑球”为事件D．由于事件C，D互斥，
C2 C1· C1 4 C1 C2 1
且P(C) 3· 2 4  ，P(D) 3· 4  ．
C2 C2 15 C2 C2 5
4 6 4 6
4 1 7
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(CD) P(C)P(D)   ．
15 5 15
第6页 | 共13页1 7
（Ⅲ）解：可能的取值为0，1，2，3．由（Ⅰ），（Ⅱ）得P(0) ，P(1) ，
5 15
C1 1 1 3
P(3) 3·  ．从而P(2)1P(0)P(1)P(3) ．
C2 C2 30 10
4 6
的分布列为
 0 1 2 3
1 7 3 1
P
5 15 10 30
1 7 3 1 7
的数学期望E0 1 2 3  ．
5 15 10 30 6
19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、
运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在四棱锥 PABCD中，因 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，故
PACD．
∵AC CD，PA AC  A，∴CD平面PAC ．

而AE 平面PAC ，∴CD AE．
（Ⅱ）证明：由PA AB BC，ABC 60°，可得AC  PA．
∵E是PC的中点，∴AE  PC．
由（Ⅰ）知，AE CD，且PC CDC，所以AE 平面PCD．

而PD平面PCD，∴AE  PD．
∵PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB AD，∴AB PD．
又∵AB AE  A，综上得PD平面ABE．

（Ⅲ）解法一：过点 A作 AM  PD，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知， AE 平面
PCD，AM 在平面PCD内的射影是EM ，则EM  PD．
因此AME是二面角APDC的平面角．
由已知，得CAD30°．设AC a，
2 3 21 2
可得PAa，AD a，PD a，AE  a．
3 3 2
在Rt△ADP中，∵AM  PD，∴AM· PD PA· AD，
2 3
a· a
PA· AD 3 2 7
则AM    a．
PD 21 7 P
a
M
3
E
AE 14
在Rt△AEM 中，sin AME   ． A D
AM 4
C
B
14
所以二面角APDC的大小是arcsin ．
4
第7页 | 共13页解法二：由题设PA底面ABCD，PA平面PAD，则平面PAD平面ACD，交线
为AD．
过点C作CF  AD，垂足为 F ，故CF 平面 PAD．过点 F 作 FM  PD，垂足为
M ，连结CM ，故CM  PD．因此CMP是二面角APDC的平面角．
由已知，可得CAD30°，设AC a，
2 3 21 1 3
可得PAa，AD a，PD a，CF  a，FD a．
3 3 2 6
FM FD
∵△FMD∽△PAD，∴  ．
PA PD P
3
a· a E
FD· PA 6 7 M
于是，FM    a．
PD 21 14 A F D
a
3
C
B
1
a
CF
2
在Rt△CMF 中，tanCMF    7．
FM 7
a
14
所以二面角APDC的大小是arctan 7 ．
20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的
单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
2x 4
（Ⅰ）解：当a 1时， f(x) ， f(2) ，
x2 1 5
2(x2 1)2x· 2x 22x2 6
又 f(x)  ， f(2) ．
(x2 1)2 (x2 1)2 25
4 6
所以，曲线y  f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y  (x2)，
5 25
即6x2y320．
2a(x2 1)2x(2axa2 1) 2(xa)(ax1)
（Ⅱ）解： f(x)  ．
(x2 1)2 (x2 1)2
由于a 0，以下分两种情况讨论．
1
（1）当a 0时，令 f(x)0，得到x  ，x a．当x变化时， f(x)，f(x)的变
1 a 2
化情况如下表：
 1 1  1 
x  ∞，    ，a  a (a，∞)
 a a  a 
f(x)  0  0 
第8页 | 共13页f(x)  极小值 极大值
 
 1  1 
所以 f(x)在区间 ∞， ，(a，∞)内为减函数，在区间  ，a 内为增函数．
 a  a 
1  1  1
函数 f(x)在x  处取得极小值 f   ，且 f    a2，
1 a  a  a
1
函数 f(x)在x  处取得极大值 f(a)，且 f(a)1．
2 a
1
（2）当a0时，令 f(x)0，得到x a，x  ，当x变化时， f(x)，f(x)的变化
1 2 a
情况如下表：
 1 1  1 
x ∞，a a  a，     ，+∞ 
 a a  a 
f(x)  0  0 
f(x) 极大值 极小值
  
 1   1
所以 f(x)在区间(∞，a)，  ，+∞ 内为增函数，在区间 a， 内为减函数．
 a   a
函数 f(x)在x a处取得极大值 f(a)，且 f(a)1．
1
1  1  1
函数 f(x)在x  处取得极小值 f   ，且 f    a2．
2 a  a  a
21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不
等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和
解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解法一：a 22 (2)22 22，
2
a (2 22)3(2)22 2323，
3
a (23 23)4 (2)23 34 24．
4
由此可猜想出数列a 的通项公式为a (n1)n 2n．
n n
以下用数学归纳法证明．
（1）当n1时，a 2，等式成立．
1
（2）假设当nk时等式成立，即a (k1)k 2k，
k
第9页 | 共13页那么a a k1(2)2k (k1)k 2k k12k12k
k1 1
[(k1)1]k12k1．
这就是说，当nk1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式a (n1)n 2n对
n
任何nN都成立．
解法二：由a a n1(2)2n(nN)，0，
n1 n
n1 n
a  2 a  2
可得 n1     n    1，
n1  n 
a  2 n a  2 n
所以 n    为等差数列，其公差为1，首项为0，故 n    n1，所以数列a 
 n   
n
 n
的通项公式为a (n1)n 2n．
n
（Ⅱ）解：设T 2 2334  (n2)n1(n1)n， ①
n 
T 324 35  (n2)n (n1)n1 ②
n 
当1时，①式减去②式，
2 n1
得(1)T 2 3  n (n1)n1  (n1)n1，
n  1
2 n1 (n1)n1 (n1)n2 nn12
T    ．
n (1)2 1 (1)2
(n1)n2 nn12
这时数列a 的前n项和S  2n12．
n n (1)2
n(n1) n(n1)
当1时，T  ．这时数列a 的前n项和S  2n12．
n 2 n n 2
a  a
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列 n1的第一项 2 最大，下面证明：
a a
 
n 1
a a 2 4
n1  2  ,n≥2． ③
a a 2
n 1
由0知a 0，要使③式成立，只要2a (2 4)a (n≥2)，
n n1 n
因为(2 4)a (2 4)(n1)n (2 1)2n
n
第10页 | 共13页4· (n1)n 42n 4(n1)n12n2
≥2nn12n2 2a ，n≥2．
n1
所以③式成立．
a a a
因此，存在k 1，使得 n1 ≤ k1  2 对任意nN均成立．
a a a
n k 1
22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，
考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设 AF  FF 及F(c，0)，F (c，0)，不妨设点 A(c，y)，其中
2 1 2 1 2
c2 y2 a2 b2 y2
y 0．由于点A在椭圆上，有  1，即  1．
a2 b2 a2 b2
b2  b2 
解得y  ，从而得到Ac， ．
a  a 
b2
直线AF 的方程为y  (xc)，整理得b2x2acyb2c0．
1 2ac
1 c b2c
由题设，原点O到直线AF 的距离为 OF ，即  ，
1 3 1 3 b4 4a2c2
将c2 a2 b2代入上式并化简得a2 2b2，即a  2b．
 b2 
证法二：同证法一，得到点A的坐标为c， ．
 a 
BO F A
过点O作OB AF ，垂足为B，易知△FBO∽△FF A，故  2 ．
1 1 1 2 OF FA
1 1
1
由椭圆定义得 AF  AF 2a，又 BO  OF ，
1 2 3 1
y
1 F A F A
所以  2  2 ，
3 FA 2a F A A
1 2 B
a b2 b2 a F O F x
解得 F A  ，而 F A  ，得  ，即a  2b． 1 2
2 2 2 a a 2
（Ⅱ）解法一：设点D的坐标为(x，y )．
0 0
x
当 y 0时，由ODQQ 知，直线QQ 的斜率为 0 ，所以直线QQ 的方程为
0 1 2 1 2 y 1 2
0
第11页 | 共13页x x x2
y  0 (xx ) y ，或y kxm，其中k  0 ，m y  0 ．
y 0 0 y 0 y
0 0 0
y kxm，
点Q (x，y )，Q (x，y )的坐标满足方程组
1 1 1 2 2 2 x2 2y2 2b2．
将①式代入②式，得x2 2(kxm)2 2b2，
整理得(12k2)x2 4kmx2m2 2b2 0，
4km 2m2 2b
于是x x  ，x x  ．
1 2 12k2 1 2 12k2
由①式得y y (kx m)(kx m)k2x x km(x x )k2
1 2 1 2 1 2 1 2
2m2 2b2 4km m2 2b2k2
k2· km· m2  ．
12k2 12k 12k2
3m2 2b2 2b2k2
由OQ OQ 知x x  y y 0．将③式和④式代入得 0，
1 2 1 2 1 2 12k2
3m2 2b2(1k2)．
x x2 2
将k  0，m y  0 代入上式，整理得x2  y2  b2．
y 0 y 0 0 3
0 0
当 y 0时，直线QQ 的方程为x x ，Q (x，y )，Q (x，y )的坐标满足方程组
0 1 2 0 1 1 1 2 2 2
x x，
0

x2 2y2 2b2．
2b2 x2
所以x  x  x ，y  0 ．
1 2 0 1，2 2
2b2 x2
由OQ OQ 知x x  y y 0，即x2  0 0，
1 2 1 2 1 2 0 2
2
解得x2  b2．
0 3
2
这时，点D的坐标仍满足x2  y2  b2．
0 0 3
2
综上，点D的轨迹方程为 x2  y2  b2．
3
解法二：设点 D的坐标为 (x，y )，直线 OD的方程为 y xx y 0，由
0 0 0 0
第12页 | 共13页ODQQ ，垂足为D，可知直线QQ 的方程为x x y y  x2  y2．
1 2 1 2 0 0 0 0
记 m x2  y2（显然 m0），点 Q (x，y )，Q (x，y )的坐标满足方程组
0 0 1 1 1 2 2 2
x x y y m， ①
0 0

x2 2y2 2b2． ②
由①式得y y mx x． ③
0 0
由②式得y2x2 2y2y2 2y2b2． ④
0 0 0
将③式代入④式得y2x2 2(mx x)2 2y2b2．
0 0 0
整理得(2x2  y2)x2 4mx x2m2 2b2y2 0，
0 0 0 0
2m2 2b2y2
于是x x  0 ． ⑤
1 2 2x2  y2
0 0
由①式得x xm y y． ⑥
0 0
由②式得x2x2 2x2y2 2x2b2． ⑦
0 0 0
将⑥式代入⑦式得(m y y)2 2x2y2 2x2b2，
0 0 0
整理得(2x2  y2)y2 2my ym2 2b2x2 0，
0 0 0 0
m2 2b2x2
于是y y  0 ． ⑧
1 2 2x2  y2
0 0
2m2 2b2y2 m2 2b2x2
由OQ OQ 知x x  y y 0．将⑤式和⑧式代入得 0  0 0，
1 2 1 2 1 2 2x2  y2 2x2  y2
0 0 0 0
3m2 2b2(x2  y2)0．
0 0
2
将m x2  y2代入上式，得x2  y2  b2．
0 0 0 0 3
2
所以，点D的轨迹方程为x2  y2  b2．
3
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