文档内容
衡阳县四中 2024-2025 学年下学期高二第一次月考卷
数 学
A．√5 B．2√2 C．√3 D．2√5
注意事项：
5．如图，三棱锥V −ABC中，VA⊥底面ABC,∠BAC=90∘,AB=AC=AV =2，则该三棱
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考
锥的内切球半径与外接球半径的和为（ ）
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 2√3−3 2+√3 3+2√3
A．2√3+3 B． C． D．
3 3 3
第Ⅰ卷（选择题） 6．某校为了宣传青少年身心健康的重要性，随机抽查了高一、高二、高三的100名同
学进行了跑步测试，按照最终测试成绩的分数进行分组，得到如图所示的频率分布直
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 方向上的投影向量为 方图，估计该100名同学测试得分的上四分位数为（ ）
⃗a ⃗b ⃗a=(3,4) ⃗b=(2,−1) ⃗b ⃗a
（ ）
A． ( 6 8 ) B． C． (6 8) D．
, (6,8) , (4,2)
25 25 5 5
π
2．若复数z=cos( −θ )+3i是纯虚数，则θ的值可以为（ ） A．82.5 B．81 C．80 D．79.5
4
1
A．2π B．
5π
C．
3π
D．
9π
7．设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和.若公差d=
2
，且S
100
=145，则a
1
+a
3
+a
5
+⋯+a
97
+a
99
4 4 4
的值为（ ）
3．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底
A．60 B．70 C．75 D．85
面半径为1，则圆台的体积为（ ）
x2
A． 7√3 π B． 5√3 π C．5√3π D．7√3π
8．椭圆C:
m
+ y2=1(m>1)的左右焦点为F
1
,F
2
，经过F
1
的直线与椭圆C相交于A，B．
3 3
若△ABF 的周长为8，则m=（ ）
4．已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A'B'C'D'（如图所 2
A．√3 B．2√3 C．2 D．4
示），其中A'D'=2，B'C'=4,A'B'=1，则直角梯形边DC的长度是（ ）
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知数列 满足 ， （ ）， 的前 项和为 ，则（ ）
{a } a =1 a =3a +1 n∈N∗ {a } n S
n 1 n+1 n n n无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 m．（√3≈1.73，结果
A．{ 1}是等比数列 B．{ 1}是等比数列
a − a +
n 2 n 2 精确到0.1）
3n 1 3n+2n−1
C．a = − D．S =
n 2 2 n 4
10．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A B C D 中，E、F、G、M、N均为所在棱角
1 1 1 1
中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ）
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）已知数列 满足 1 a ．
{a } a = ,a = n
n 1 2 n+1 2a +1
n
1
(1)若b = ，求证：{b }为等差数列；
n a n
A．P在BC中点时，平面PEF⊥平面GMN n
(2)求数列 的前 项和 ．
B．E、F、G、M、N在同一个球面上 {a a } n S
n n+1 n
1
C．异面直线EF、GN所成角的余弦值为
4
√5
D．⃗A P=t⃗A A+⃗A M−2t⃗A B ，则P点轨迹长度为
1 1 1 1 1 2
11．已知双曲线x2 y2 的左，右焦点分别是 ，下列说法正确的有（ ）
− =1(a>0) F ,F
a2 2 1 2 16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点A(1,0)和点B(−1,2)，且圆心C在
直线2x−y+2=0上.
2√3 √3
A．若双曲线的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为y=± x
3 3 (1)求圆C的标准方程；
B．若双曲线的通径长为2，则a=2 (2)已知圆C'的方程为x2+ y2−6 y+5=0，请问圆C与圆C'会相交吗？若相交求出两圆的
C．若P是双曲线与以F F 为直径的圆的交点，则△PF F 的面积为2 公共弦长；若不相交，请说明理由.
1 2 1 2
D．若点 在双曲线上，则
Q(3,2) |QF |−|QF |=√3
1 2
第Ⅱ卷（非选择题）
17．（15分）已知椭圆 x2 y2 经过点( 1)，其右焦点为 .
C: + =1(a>b>0) √3, F(√3,0)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） a2 b2 2
12．已知直线 被圆 截得的最短弦长为 ，
l:y−1=k(x−1) C:(x−2) 2+(y−2) 2=r2(r>0) 2√2
(1)求椭圆C的离心率；
则r= ． (2)若点P,Q在椭圆C上，右顶点为A，且满足直线AP与AQ的斜率之积为 1 ，求证：直
20
x2 y2
13．过椭圆 + =1内一点M(2,1)引一条直线与椭圆相交于A,B两点．若M是线段
线PQ过定点.
16 4
AB的中点，则直线AB的斜率 ．
14．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，18．（17分）如图，在平面四边形ABCD中，AB∥DC，△ABD是边长为2的正三角形，
DC=3，O为AB的中点，将△AOD沿OD折到△POD的位置，PC=√13．
(1)求证：PO⊥面BODC；
(2)若E为PC的中点，求直线BE与平面PDC所成角的正弦值．
19．（17分）已知正项数列 的前 项和为 .若 .
{a } n S a =4,S =S +√a +a +√a
n n 2 n+1 n n+1 n n
(1)求证：数列 是等差数列；
{√a }
n
(2)设 2 ，求数列 的前 项和 .
b = {b } n T
n √a a n n
n n+1数学答案
所以 1(1 1) 1(1 1) 1(1 1 )
S =a a +a a +⋯+a a = − + − +⋯+ −
n 1 2 2 3 n n+1 4 1 2 4 2 3 4 n n+1
1．【答案】A
2．【答案】C = 1( 1− 1 + 1 − 1 +⋯+ 1 − 1 ) = 1( 1− 1 ) = n
4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)
3．【答案】A
16．【答案】(1)
4．【答案】B (x+1) 2+ y2=4
5．【答案】D
(2)相交，√6
6．【答案】A
【解析】（1）因A(1,0),B(−1,2)，则线段AB的中点E的坐标为E(0,1)，
7．【答案】A
2
且直线AB的斜率k = =−1,
8．【答案】D AB −1−1
9．【答案】BC
于是线段AB的垂直平分线所在直线方程为y=x+1 ,
10．【答案】ABD
则由¿，解得¿，
11．【答案】ABC ∴圆心C(−1,0)，半径r=|CA|=2,
12．【答案】2
∴圆 的方程为 ；
C (x+1) 2+ y2=4
1
13．【答案】− /−0.5
2 （2）由圆 得：
C':x2+ y2−6 y+5=0 x2+(y−3) 2=4
14．【答案】13.8
∴ 圆心 ，半径 ，
15． C' (0,3) r'=2
【解析】（1）证明：因为 a = a n ，所以 1 = 2a n +1 =2+ 1 ， ∵ 圆C的圆心坐标为C(−1,0)，半径r=2，
n+1 2a +1 a a a
n n+1 n n
由 ， ，
|CC'|=√(−1) 2+(−3) 2=√10, r+r'=4,|r−r'|=0
1 1
即 − =2
a
n+1
a
n
因 |r−r'|<|CC'|0 k k = 1 ⋅ 2 =
AP AQ 20 x −2 x −2 20
1 2
化简可得
20(kx +m)(kx +m)=(x −2)(x −2)
，
E
(3
,
√3
,
1)，
1 2 1 2
2 2 2
即 ，
20k2x x +20km(x +x )+20m2=x x −2(x +x )+4
1 2 1 2 1 2 1 2
所以 (1 √3 1)， ， ，
⃗BE= , , ⃗DC=(3,0,0) ⃗DP=(0,−√3,1)
2 2 2
即 4m2−4 −8mk 4m2−4 −8mk ，
20k2 ⋅ +20km⋅ +20m2= 2× +4
1+4k2 1+4k2 1+4k2 1+4k2 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，
PDC ⃗n=(x,y,z) ¿ ⃗n=(0,1,√3)
化简得6k2+mk−m2=0，所以m=−2k或m=3k，
|⃗BE⋅⃗n| √3 √15
所以直线PQ:y=k(x−2)或y=k(x+3)， 设直线 与平面 所成角为 ，则sinθ= = = ，
BE PDC θ |⃗BE|⋅|⃗n| √5 5
2×
因为直线PQ不经过点A，所以直线PQ经过定点(−3,0).
2
√15
所以直线BE与平面PDC所成角的正弦值为 ．
5
19．【解析】（1）由题意，得 ，则 ，
S −S =√a +a +√a a −a =√a +√a
n+1 n n+1 n n n+1 n n+1 n
因为 是正项数列，则 ，所以 ，
{a } (√a +√a )(√a −√a )=√a +√a √a −√a =1
n n+1 n n+1 n n+1 n n+1 n
由 可得 ，
√a =2 √a =1
2 1
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列.
{√a }
n
（2）由（1）可得 ，所以 ，
√a =n a =n2
n n
依题意，得 2 2 (1 1 )，
b = = =2 −
n √a a n(n+1) n n+1
n n+1
所以 ( 1 1 1 1 1 ) ( 1 ) 2n .
T =2 1− + − +⋯+ − =2 1− =
n 2 2 3 n n+1 n+1 n+1
