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高三数学考试
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.|(2—i)(1—3i)|=（ ）
A.4√3 B.5√2
C.2√5 D. √6
3
2.已知单位向量⃗a和⃗b的夹角为θ，且 cosθ=− ,则|2⃗a−⃗b|=（ ）
4
A.1 B. √2 C.2 D.2√2
3.已知椭圆的两个焦点为(0， √2),(0,- √2),点( (−1,√2)在该椭圆上，则该椭圆的离心率为
√2 √2 1 1
A. B. C. D.
2 4 2 4
( π ) √5 (5π )
4.已知 cos −α = ,则 sin +2a =（ ）
14 5 14
4 4
A. B.−
5 5
3 3
c. D.−
5 5
5.已知 m,n,l 是三条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,m⊂α,n⊂β,α∩β=l,m⊥l,则
“α⊥β”是“m⊥n”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.设 Sn是等差数列{an}的前n项和，若 S₂=2,S₈−S₆=6,则 S₈=
A.12 B.16 C.24 D.32【高三数学 第1 页(共4页)】7.运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安
排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不
同的安排方法种数为（ ）
A.72 B.96 C.114 D.124
8.已知函数 f(x)是定义在 R 上的减函数,且 f(x-1)-2 为奇函数,对任意的 a∈[-2,3],不等式
f (a−t)+f (a²−1)≤4恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
( 3]
A.(-∞,3] B. −∞,
4
( 5 )
C.[13,+∞) D. − ,+∞
4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
{ x−2 }
9.已知集合 A= x| =1 恰有两个子集，则a 的值可能为
x2−a
7 7
A. B.− C.4 D.-4
4 4
x
10.若过点 P(a,0)恰好可作曲线 y= 的两条切线，则a 的值可以为
ex
A. e B. e² C.-e D.−e²
11.在棱长为 6 的正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中,M 为 CD 的中点,点 N 满足 ⃗BN=x⃗BC+
yBB₁,x∈[0,1],y∈[0,1],则下列说法正确是
1
A.当 x= 时,AC⊥MN
2
B.当x=y时,三棱锥 M-AA₁N 的体积为定值
1
C.当 y= 时,MN∥平面AB₁C₁D
2
1
D.当 x= ,y=1时，三棱锥 M-AA₁N 外接球的表面积为86π
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
2
12.某篮球运动员投球的命中率是 ，他投球4次，恰好投进3个球的概率为 .(用数
3
值作答)
1 1
13.已知数列{an},{bₙ}满足 a +b = ,b −a = ,则 a +a +a +⋯+a = .
n n n n n+1 n+2 1 2 3 100
x2
14.设A,B 为双曲线 −y2=1上两点,线段AB 的中点为(4,y₀),y₀>0,则y。的取值范围为 .
4【高三数学 第2 页(共4页)】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在 11月感冒易发季节对某一社区男性和
女性的感冒情况进行抽样调研，得到如下2×2列联表.
感冒情况
性别 合计
不感冒 感冒
男性 30 15 45
女性 45 10 55
合计 75 25 100
(1)请根据2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析能否认为性别与
感冒情况具有相关性；
(2)利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取 5人，再从这5人中选
出2人分享发言，记分享发言中女性的人数为 X，求随机变量X 的分布列及数学期
望.
n(ad−bc) 2
附： x2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(15分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin²A+sin²B+cos²C+sinAsinB=1.
(1)求角C;
(2)若D为AB上一点,CD⊥AC,AD=2DB=2,求△ABC 的面积.
17.(15分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, DA=DB=√5,AB=2BP=2,
PD=√6,平面PBD⊥平面ABCD.
(1)证明:AD⊥PB.
π
(2)若点M 在线段PD 上,且平面MAB 与平面PAB 的夹角为 ,求 DM.
4
1【高三数学 第3页(共4页)】18.(17分)
已知 F 是抛物线E: y²=2px(p⟩0)的焦点，M是抛物线的准线与x 轴的交点，且过点 M的直线
l 与E 相切于点P,|PF|=2.
(1)求抛物线E 的方程.
(2)设过点F的直线交E于A，B 两点，直线MA 与E 的另一个交点为C，点A 在M与C之间.
(i)证明:x轴平分∠AMB.
(ii)记 △FBC的面积为S₁,△MFC 的面积为S₂,求 5S₂−S₁的取值范围.
19.(17 分)
定义： A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)(x₁
