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高二数学上学期测评卷（A 卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知 ， ，如果 ，则 （ ）
.
A B. 0 C. D.
2. 已知直线 与直线 间的距离为 ，则 （ ）
A. 或 B.
C. 或11 D. 6或
3. 若椭圆 满足 ，则该椭圆的离心率 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知点 ， ，若直线上存在点P，使得 ，则称该直线为“相关点直线”．给
出下列直线:① ；② ③ ；④ ，其中为“相关点直线”的是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ③④
5. 已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线的左、右两支分别交于
A，B两点，若 为等边三角形，则 （ ）
A. B. C. D.6. 一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是 ，在凹槽内放入一个清洁
钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）
.
A B. 1 C. 2 D.
7. 如图，在正方体ABEFDCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦
值为（ ）
A. － B.
C. － D.
8. 已知椭圆 ，离心率为 ．点 为椭圆 C 上一动点（其中 ，
），点 ， 为椭圆C左右焦点，直线 与直线 在一象限交于点 ，则线段
长度为（ ）
A. 2 B. C. 1 D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
在
9. 点P 圆 上，点Q在圆 上，则（ ）A. 的最小值为0
B. 的最大值为7
C. 两个圆心所在直线的斜率为
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为
10. 我们把离心率为 的双曲线 称为黄金双曲线。如图所示， 、 是
双曲线的实轴顶点， 、 是虚轴顶点， 、 是焦点，过右焦点 且垂直于 轴的直线交双曲线于
、 两点，则下列命题正确的是（ ）
A. 双曲线 是黄金双曲线
B. 若 ，则该双曲线是黄金双曲线
是
C. 若 ，则该双曲线 黄金双曲线
D. 若 ，则该双曲线是黄金双曲线
11. 如图，四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ， ， 、 分别是
的中点， 是棱 上的动点，则（ ）A.
B. 存在点 ，使 平面
C. 存在点 ，使直线 与 所成的角为
D. 点 到平面 与平面 的距离和为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，已知圆 是圆 上两个动点，点 ，则矩形 的顶点 的轨迹方
程是___________．
13. 如图，在直三棱柱 中， ， ，点 ， ， 分别是棱
， ， 的中点，点 是棱 上的点．若 ，则线段 的长度为______．14. 抛物线 与圆 交于A、B两点，圆心 ，点 为劣弧 上不同
于A、 的一个动点，平行于 轴的直线 交抛物线于点 ，则 的周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆 ，点 .
（1）若 ，半径为 的圆 过点 ，且与圆 相外切，求圆 的方程；
（2）若过点 的两条直线被圆 截得的弦长均为 ，且与 轴分别交于点 、 ， ，求 .
16. 已知四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， 是 的中点．
（1）证明： ；
（2）若 ， ，点 是 上 的动点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求
．
17. 已知抛物线 ，过点 的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为 ，
在点B处的切线为 ，直线 与 交于点M.
（1）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： ；（2）设线段AB的中点为N，求 的取值范围.
18. 如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且 ， ， 平面
ABCD， ，点N为PC上的动点.
（1）求证：存在点N，使得 .
（2）求二面角 的正弦值.
19. 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 与椭圆 ，A，B分别为 的左､
右顶点，点 在双曲线 上，且位于第一象限.
（1）直线 与椭圆 相交于第一象限内的点 ，设直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ，
， ，求 的值；
（2）直线 与椭圆 相交于点 （异于点A），求 的取值范围.
