2007年江西高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_江西

2007 年江西高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷l至2页,第Ⅱ卷3 至4页,共150分． 第Ⅰ卷 考生注意： 1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡 上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一 致. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上 书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式 4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝ πR3 3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P(k)＝CkPk (1一P)nk n n 一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.若集合M={0,1},I ={0,1,2,3,4,5} , 则 M为 7 A.{0,1} B.{2,3,4,5} C.{0,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 2.y 5tan(2x1)的最小正周期为   A. B. C. D.2 4 2 1x 3.函数 f(x)lg 的定义域为 x4 A.（1，4） B.[1,4) C.(,1)(4,) D.(,1](4,) 4 4.若tanα＝3,tan ,则tan(α一β)等于 3 1 1 A.－3 B.－ C.3 D. 3 3 第1页 | 共10页5.设(x2 1)(2x1)9 a a (x2)a (x2)2  a (x2)11， 0 1 2  11 则a a a  a 得值为 0 1 2  11 A.－2 B.－1 C.1 D.2 6.一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4, 5, 6, 7,8的八个球, 从中有放回地每次 取一个球，共取2次，则取得两球的编号和不小于15的概率为 1 1 3 3 A. B. C. D. 32 64 32 64 7.连接抛物线x2 4y的焦点F与点M（1,0）所得的线段与抛物线交于点A, 设点O为坐标 原 点，则三角形OAM的面积为 3 3 A.1 2 B.  2 C.1 2 D.  2 2 2  8.若0＜x＜ ，则下列命题中正确的是 2 2 2 3 3 A.sin x＜ x B.sin x＞ x C.sin x＜ x D.sin x＞ x     9.四面体ABCD的外接球的球心在CD上,且CD=2,AB= 3,则在外接球面上的两点A、 B间的 球面距离为   2 5 A. B. C. D. 6 3 3 6 4 10.设p： f(x) x3 2x2 mx1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥ ，则p是q的 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半 径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半. 设剩余酒的 高度从左到右依次为h，h，h，h，则它们的大小关系正确的是 1 2 3 4 A.h＞h＞h B.h＞h＞h C.h＞h＞h D.h＞h＞h 2 1 4 1 2 3 3 2 4 2 4 1 x2 y2 1 12.设椭圆  1(a＞b＞0)的离心率为e＝ ，右焦点为F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝ a2 b2 2 第2页 | 共10页0的两个实根分别为x和x，则点P(x，x) 1 2 1 2 A.必在圆x2＋y2＝2上 B.必在圆x2＋y 2＝2外 C.必在圆x2＋y 2＝2内 D.以上三种情形都有可能 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无 效． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13.在平面直角坐标系中,正方形OABC的对角线OB的两端点分别为 O ( 0 , 0 ) , B ( 1 ,   1 ) , 则ABAC  . 14.已知等差数列{a}的前n项和为S,若S=21,则a a a a ＝ . n n 12 2 5 8 11 15.已知函数y  f(x)存在反函数y  f 1(x)，若函数y  f(1x)的图像经过点（3，1）， 则函数y f1(x)的图像必经过点 . 16.如图，正方体AC的棱长为1，过点A作平面ABD的垂 1 1 线，垂足为点H．则下列四个命题 A.点H是△ABD的垂心 1 B.AH垂直平面CBD 1 1 C.二面角C—BD—C的正切值为 2 1 1 1 3 D.点H到平面ABCD的距离为 1 1 1 1 4 其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) 三．解答题：本大题共6小题, 共74分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） cx1 (0 xc)  9 已知函数 f(x)  x 满足 f(c2)  .  8  2 c2 1 (c x1) （1）求常数c的值; 2 （2）解不等式 f(x)＞ 1. 8 18．（本小题满分12分）  如图,函数y 2cos(x)(xR,0,0 ) 2 的图象与y轴交于点(0, 3), 且该函数的最小正 第3页 | 共10页周期为. （1）求θ和ω的值；  （2）已知点A( ，0)，点P是该函数图象上一点，点Q(x，y)是PA的中点，当y＝ 0 0 0 2 3  ，x∈[ ，π]时，求x的值． 0 0 2 2 19．（本小题满分12分） 栽培甲、乙两种果树,先要培育成苗,然后再进行移栽,已知甲、乙两种果树成苗的概率 分别为0.6 ，0.5，移栽后成活的概率分别为0.7，0.9。 （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率. 20．（本小题满分12分） 右图是一个直三棱柱（ 以 ABC为底面 ）被一平面所截得到的 1 1 1 几何体, 截面为ABC. 已知AB＝BC＝l,∠ABC＝90°, 1 1 1 1 l l 1 AA＝4,BB＝2,CC＝3. l l l （1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面ABC; 1 1 1 （2）求AB与平面AACC所成的角的大小; 1 1 （3）求此几何体的体积. 21．（本小题满分12分） 设数列{a}为等比数列,a＝1,a＝3. n 1 2 （1）求最小的自然数n，使a 2007; n 1 2 3 2n （2）求和:T      . 2n a a a  a 1 2 3 2n 22．（本小题满分14分） 设动点P到两定点F(－l，0 )和F(1，0 ) 的距离分别为d和d,∠FPF＝2θ,且存 1 2 1 2 1 2 在常数λ(0＜λ＜1)，使得ddsin2θ＝λ. 1 2 （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程； （2）如图过点F的直线与双曲线C的右支交于A、B两点, 2 问:是否存在λ,使 FAB是以点B为直角顶点的等 1 腰直角三角形？若存在,求出λ的值;若不存在,说明 理由. 第4页 | 共10页参考答案 一、选择题 1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｃ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题 13．1 14．7 15．(1，4) 16．A，B，C 三、解答题 17．解：（1）因为0c1，所以c2 c； 9 9 1 由 f(c2) ，即c3 1 ，c ． 8 8 2 1  1 x1， x    2  2 （2）由（1）得 f(x)  24x 1，  ≤x1        2 由 f(x) 1得， 8 1 2 1 当0 x 时，解得  x ， 2 4 2 1 1 5 当 ≤x1时，解得 ≤x ， 2 2 8 2   2 5  所以 f(x) 1的解集为x  x ． 8 4 8   3 18．解：（1）将x0，y  3代入函数y 2cos(x)中得cos ， 2 π π 因为0≤≤ ，所以 ． 2 6 2π 2π 由已知T π，且0，得  2． T π π  3 （2）因为点A  ，0 ，Q(x，y )是PA的中点，y  ． 2  0 0 0 2 第5页 | 共10页 π  所以点P的坐标为 2x  ，3 ．  0 2   π π  5π 3 又因为点P在y 2cos  2x 的图象上，且 ≤x ≤π，所以cos  4x    ，  6 2 0  0 6  2 7π 5π 19π 5π 11π 5π 13π ≤4x  ≤ ，从而得4x   或4x   ， 6 0 6 6 0 6 6 0 6 6 2π 3π 即x  或x  ． 0 3 0 4 19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件A，A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为 1 2 事件B ，B ，P(A)0.6，P(A )0.5，P(B )0.7，P(B )0.9． 1 2 1 2 1 2 （1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 P（A  A —）1P（A A）10.40.50.8 1 2 1 2 （2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A，B， 则P(A) P(AB )0.42，P(B) P(A B )0.45． 1 1 2 2 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 P(AB AB)0.420.550.580.450.492． 解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为 P(AB A  AB A B  AA B  AA BB )0.492． 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 20． 解法一： （1）证明：作OD∥AA 交AB 于D，连C D． 1 1 1 1 则OD∥BB ∥CC ， A 1 1 C 因为O是AB的中点， 1 O H C 所以OD (AA BB )3CC ． A 2 2 1 1 1 2 则ODCC是平行四边形，因此有OC∥C D， B 1 1 C A 1 1 C D平面C B A ，且OC 平面C B A 1 1 1 1 1 1 1 D B 1 则OC∥面ABC ． 1 1 1 （2）解：如图，过B作截面BAC ∥面ABC ，分别交AA ，CC 于A ，C ， 2 2 1 1 1 1 1 2 2 作BH⊥AC 于H ， 2 2 第6页 | 共10页因为平面A BC ⊥平面AACC，则BH⊥面AACC． 2 2 1 1 1 1 连结AH ，则∠BAH 就是AB与面AACC所成的角． 1 1 2 BH 10 因为BH  ，AB 5，所以sin∠BAH   ． 2 AB 10 10 AB与面AACC所成的角为∠BAH arcsin ． 1 1 10 2 1 （3）因为BH  ，所以V  S BH 2 BAA 2 C 2 C 3 AA 2 C 2 C 1 1 2 1   （12）2  3 2 2 2 1 V  S BB  21 A 1 B 1 C 1 A 2 BC 2 A 1 B 1 C 1 1 2 3 所求几何体的体积为V V V  ． BAA 2 C 2 C A 1 B 1 C 1 A 2 BC 2 2 解法二： （1）证明：如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，则A(0，1，4)，B(0，0，2)，C(1，0，3)， 1  1  A 因为O是AB的中点，所以O  0，，3 ，  2  C O z   1  OC   1， ，0 ，  2  B x  y C 1 易知，n(0，0，1)是平面ABC 的一个法向量． A 1 1 1 1 B 1 由OCn 0且OC 平面ABC 知OC∥平面ABC ． 1 1 1 1 1 1 （2）设AB与面AACC所成的角为． 1 1   求得AA(0，0，4)，AC (1，1，0)． 1 1 1   A Am 0 z 0 设m(x，y，z)是平面AACC的一个法向量，则由 1 得 ， 1 1   AC m 0 x y 0 1 1  取x y 1得：m(1，1，0)．  又因为AB(0，1，2) 第7页 | 共10页 mAB 10 10 所以，cosm，AB    则sin ． |m|| AB| 10 10 10 所以AB与面AACC所成的角为arcsin ． 1 1 10 （3）同解法一 n1 a  21．解：（1）由已知条件得a n 1  a 2  3n1，   1 因为36 200737，所以，使a ≥2007成立的最小自然数n8． n 1 2 3 4 2n （2）因为T       ，…………① 2n 1 3 32 33  32n1 1 1 2 3 4 2n1 2n T        ，…………② 3 2n 3 32 33 34  32n1 32n 4 1 1 1 1 2n ①②得： T 1      3 2n 3 32 33  32n1 32n 1 1 32n 2n   1 32n 1 3 332n 38n  432n 32n2 924n 所以T  ． 2n 16 32n  22．解：（1）在△PFF 中， FF 2 1 2 1 2 4d2 d2 2d d cos2(d d )2 4d d sin2 1 2 1 2 1 2 1 2 (d d )2 44 1 2 d d 2 1（小于2的常数） 1 2 故动点P的轨迹C是以F ，F 为焦点，实轴长2a2 1的双曲线． 1 2 x2 y2 方程为  1． 1  （2）方法一：在△AFB中，设 AF d ， AF d ， BF d ， BF d ． 1 1 1 2 2 1 3 2 4 假设△AFB为等腰直角三角形，则 1 第8页 | 共10页 d d 2a ①  1 2  d 3 d 4 2a  ②  d 3 d 4 d 2 ③  d  2d ④  1 3  π d d sin2  ⑤  3 4 4  由②与③得d 2a， 2 d 4a 1  则d 2 2a 3  d d 2a2( 21)a  4 3 由⑤得d d 2， 3 4 4 2( 21)a2 2 (84 2)(1)2， 122 2  (0，1) 17 122 2 故存在 满足题设条件． 17 方法二：（1）设△AFB为等腰直角三角形，依题设可得 1    2 2 2   | AF 1 || AF 2 |sin2 8   | AF 1 || AF 2 |   2 1 ,    1cos  4  | BF || BF |sin2     1 2 4   | BF || BF | 2 1 2 1 π 1 所以S  AF AF sin ( 21)，S  BF BF ． △AF 1 F 2 2 1 2 4 △BF 1 F 2 2 1 2 则S (2 2)．① △AFB 1 S AF 由 △AF 1 F 2  2  21，可设 BF d ， S BF 2 △BFF 2 1 2 则 AF ( 21)d， BF  AB (2 2)d ． 2 1 第9页 | 共10页1 1 则S  AB 2  (2 2)2d2．② △AF 1 B 2 2 由①②得(2 2)d2 2．③ 根据双曲线定义 BF  BF 2a2 1可得，( 21)d 2 1． 1 2 平方得：( 21)2d2 4(1)．④ 122 2 由③④消去d 可解得， (0，1) 17 122 2 故存在 满足题设条件． 17 第10页 | 共10页