文档内容
2025 学年第一学期浙江 G5 联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分（共58分）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 点 关于 平面的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中关于 平面对称的点的坐标特征来求解点 的对称点坐标.
【详解】已知点 的坐标为 ，关于 平面对称的点的坐标为 .
故选：C.
2. 已知直线的方向向量为 ，则直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线的方向向量先求出直线的斜率，再求倾斜角即可
【详解】解：因为直线的方向向量为 ，所以直线的斜率为 ，即 ，
又倾斜角 ，所以 .
故选：D
3. 已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则
（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 得到 ，从而得到 ，利用向量的数量积求解.
【详解】 ， ， ， ， .
故选：A.
4. 已知 为两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 则
D. 若 则
【答案】D
【解析】
【分析】ABC可以在正方体中找到反例，从而否定；利用线面垂直的性质定理和面面垂直的定义可以证明
D.
【详解】选项 A：如图正方体：在正方体中，设平面 为 ，平面 为 ，直线 为 ，直线 为 ，
根据正方体的性质可知满足 ， ， ， ，而非 .故不正确；
选项 B：如图正方体：
设平面 为 ，平面 为 ，直线 为 ，直线 为 ，
由正方体的性质可知满足 ， ， ，此时 与 平行，不垂直.
故不正确；
选项 C：如图正方体：设平面 为 ，平面 为 ，直线 为 ，直线 为 ，
根据正方体的性质可知满足 ， ， ，但 和 相交，不平行.
故不正确；
.
选项 D：若 ， ， ，则
如图所示，设 ， ，
在直线 上取一点 作直线 的平行线 交平面 于点 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
记直线 和 所确定的平面记为 .
因为 ， ，所以 ，因为直线 和 是平面 中的两条相交直线，
所以直线 .
设 ，则四边形 为平面 内的四边形，且 为 、 所成的每个二面角的平面角或
其补角.
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 .
所以 ，所以 ，故D正确.
综上，唯一正确的结论是选项D.
故选：D.
5. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于 两点，若
，且 ，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆定义得 ， ，然后在 和 中，利用勾股
定理得 ， ，即可求解椭圆方程.
【详解】连接 ，由椭圆的定义有 ， ，
因为 ，所以 ，在 中， ，即 ，解得 ，
在 中， ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 即 .
故选：B
6. 若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可画出曲线C图象，结合直线 过定点与图形可得答案.
【详解】曲线 即 表示如图所示的半圆，
又 过定点： .
当 与半圆相切时，圆心 到直线距离为1，则 ，
当直线过如图点 时，斜率为： ，则实数 的取值范围是 .
故选：B
7. 已知抛物线 为 上的动点， 为圆 上的动点，则点 到直线
的距离与 之和的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】如图，作 直线 ， 直线 ，取抛物线焦点为F.由抛物线定义可得点 到
直线 的距离与 之和为 ，然后由圆外一点到圆上距离最小值相关结论可得答案.
【详解】由题可得抛物线 焦点为： ，准线为： .
如图，作 直线 ， 直线 ，取抛物线焦点为F，
则点 到直线 的距离与 之和为 ，
由抛物线定义可得： ，
则当 四点共线时， 取最小值为 ，
又由题可得 ， ，则最小值为： .
故选：A8. 双曲线 的右焦点为 ，过 的直线 与 的右支相交于 两点，点 为线段 的
中点，若 的中垂线与 轴交于点 ，则 的横坐标为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，利用设而不求点差法求得 ，再根据 的中垂线与直
线 垂直建立方程得 ，求解即可.
【详解】由题意 ，设 ，
则 ，相减得 ，
因为点 为线段 的中点，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 的中点为 ，结合 ，所以 的中垂线斜率为 ，
由题意 ，即 ，解得 ，即 的横坐标为3.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知直线 ，圆 ，下列判断正确的是（ ）
A. 直线 在 轴上的截距为3
的
B. 圆心 坐标为
C. 直线 与圆相交
D. 圆 上的点到直线 的距离最大为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，令 可得直线 在 轴上的截距；对于B，将圆方程化为标准式可判断选项正误；对
于C，比较直线到圆心距离与圆半径大小可判断选项正误；对于 D，由圆上点到直线距离最大值可判断选
项正误.
【详解】对于A，对于 ，令 ，可得 ，故A正确；
对于B， ，则圆心坐标为 ，故B正确；
对于C，直线 到圆心距离为： ，该距离大于圆半径，则直线 与圆相离，故C
错误；
对于D，由C直线 到圆心距离为 ，则圆 上的点到直线 的距离最大为 ，故D正确.
故选：ABD
10. 若方程 表示双曲线，则该双曲线（ ）
A. 满足 或 B. 焦距为
C. 渐近线斜率可以是 D. 不可能是等轴双曲线
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据双曲线的标准方程求出 的取值范围，再根据双曲线的性质逐一分析选项.
【详解】选项A，对于方程 表示双曲线，则 ，
所以 的取值范围是 或 ，故A选项正确；
B选项，当 时，双曲线方程为 ，
则 ，焦距 ，不是定值 ；
当 时，双曲线方程为 ，
则 ，焦距 ，也不是定值 ；B选项错误；
C选项，
当 时，双曲线方程为 ，其渐近线方程为 ；
令 ，化简得： ，解得 ，满足 ，所以渐近线斜率可以是 ，C选项正确；
D选项，若该双曲线是等轴双曲线，
当 时， ，此方程无解；
当 时， ，此方程无解；所以该双曲线不可能是等轴双曲线，D选项正确.
故选：ACD.
11. 如图，在平面四边形 中， ，将 沿
折起，使点 到达点 的位置，下面正确的是（ ）
A. 为线段 上的动点，则 的最小值为
B. 异面直线 与 所成角的余弦值取值范围是
C. 若平面 平面 在三角形 内部， ，则 轨迹长度为
D. 当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项在翻折前的平面四边形 中，当 共线，即 的长就是 的最小值，结
合余弦定理求解即可；B选项，利用空间向量表示异面直线夹角的余弦值；C选项，先由等体积法可求得
点 到平面 的距离，则可得在平面 内， 的轨迹为圆，但要判断此圆是否完全在三角形
内；D选项，分析体积最大时的几何关系，由直角三角形斜边中线性质可得出圆心半径， 求出表面
积.
【详解】A选项，在直角三角形 中， ，则 ，在直角三角形 中， ，则 ，
对于线段 上的任意动点 ，翻折前后总有 ，
对于翻折前的平面四边形 ，当 共线，即 的长就是 的最小值，
由于 ，由余弦定理可得 ，故A正确；
B选项， ，
，
，
对于 ，翻折前为 ，由于 ，则可完全翻折使得 在直线
上，
由于需要是异面直线，故 ， ，则 ，
在三角形 中可求得 ，
则 ，故B正确；
C选项，由平面 平面 ，交线为 ， 平面 ， 可得 平面
，
则 ，可得 ，则 ，即三角形 为直角三角形，作 平面 ，垂足为 ，
则由 即 可得 ，
则 ，即在平面 内， 的轨迹是 为圆心，1为半径的圆，
对于三角形 ，由等面积可得其内切圆半径 ，
则在三角形 内部， 的轨迹不是完整的圆，故长度不是 ，C错误；
D选项，三棱锥 的底面积 不变， 长度不变，
由选项C得当平面 平面 时， 平面 ，此时体积最大，
且此时三角形 ， 都是以 为斜边的直角三角形，
则取 中点 ，可得 ，
则三棱锥 的外接球半径为2，表面积为 ，故D正确；
故选：ABD.
非选择题部分（共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线 ，直线 ，若 ，则 ________．
【答案】1【解析】
【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证.
【详解】由题设及 ，有 ，则 ，
所以 或 ，
当 ，则 ， 重合，不符合；
当 ，则 ， ，符合.
所以 .
故答案为：1
13. 在空间直角坐标系中，若平面 经过点 ，且以 为法向量，可得平面的点法
式方程为 .若已知平面 的点法式方程为
，则点 到平面 的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据平面的点法式方程确定平面 的法向量和平面上一点的坐标，再利用点到平面的距离公式
求出点 到平面 的距离.
【详解】已知平面 的点法式方程为 ，可得平面 的法向量 ，
平面 上一点 ，
已知 ， ，则 ，
可得： ；
根据向量模长的计算公式，可得 ；根据点到平面的距离公式 ，可得 .
故答案为： .
14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，抛物线 以 为焦点，且
与椭圆在第一象限相交于点 ，记 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理化角为边，根据椭圆与抛物线的定义及性质，结合已知条件构造不等式求出离心率
的取值范围．
【详解】
椭圆 的左右焦点分别为 ，
， ， ，
抛物线 以 为焦点，
，解得 ，抛物线方程为 ，
在 中，由正弦定理得 ，
， ，解得 ，， ，
在抛物线上， ，
由椭圆的焦半径公式得： ， ，解得 ，
则 ，
，整理得 ，解得 ，
又 ， ．
故答案为： ．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 的圆心在直线 上，且点 在圆 上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）若斜率为2的直线 与圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题可得 垂直平分线方程，结合圆 的圆心在直线 上可得圆心坐标与圆的半径，
即可得答案；
（2）由 可得直线到圆心距离，设直线方程为 ，由点到直线距离公式可得直线方程.
【小问1详解】
因为点 ，直线 的斜率为 ，
所以线段 的垂直平分线的斜率为1，
设线段 的中点为 ，则 ，所以线段 的垂直平分线的方程为 ，
由 ，解得 ，
所以圆心 ，半径 ，所以圆 的标准方程为
【小问2详解】
因为 ，所以圆心 到直线 的距离 ，
设直线 的方程为 ，
则点 到直线 的距离 ，
由 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
16. 如图，在平行六面体 中 ， ，
的
，点 为 中点.（1）求 的长；
（2）已知 为 上的动点，若 ，求 的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 ，利用数量积求模长即可；
（2）设 ，根据向量垂直结合数量积可得 ，即可得结果.
【小问1详解】
由题意可知： ， ， ，
因为 ，
则
，
即 ，所以 的长为 .
【小问2详解】
设 ，则可得
，
若 ，则 ，解得 ，
所以 ，即 的长为2.
17. 点 是圆 上的动点， 是点 关于 轴的对称点，线段 的中垂线交线段
于点 ，记动点 的轨迹为 .过 的直线交 于 两点，设直线 与 的另一个交点分
别为 .
（1）求轨迹 的方程；
（2）证明：直线 过定点.
【答案】（1） ；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得到 到点 的距离之和为定值6，满足椭圆的定义，利用椭圆的定义求解；
（2）先讨论直线 斜率不存在时，可计算得直线 与 轴的交点为 ；再讨论直线 斜率存
在时，设 ，设直线 方程为 ，与椭圆方程联立，消去 ，得到关于 的一元二次方程，利用韦达定理得到 的值，从中解出 ，代入 ，
代入椭圆，消去 得的 ，结合 ，可得 ，从而得到 的坐标，
同理得到 的坐标，由 共线，利用斜率相等建立等式，即可得解.
【小问1详解】
由题意得， ，
故 ，
即 到点 的距离之和为定值6，
而 ，故 的轨迹 是 且焦点在 轴上的椭圆，
故 .
【小问2详解】
设
当直线 斜率不存在时，则直线 的方程为 ，
将 代入椭圆方程 ，得
取 ， ，直线 方程为 ，将 代入椭圆方程 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ，
则 ， ，直线 的方程为 ，
将 代入椭圆方程 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，则 ，
， ，
， ，此直线 与 轴的交点为 ；
取 时，由对称性可知，直线 与 轴的交点为 ；
当直线 斜率存在时，
设直线 方程为 ，与椭圆方程联立得： ，
代入 ，消去 得 ，
结合 ，可得 ，即 ，同理 ，由 共线，得 ，
即 ，故点 与点 的斜率相同，
即 与点 共线， 综上可知， 过定点 .
18. 如图，在四棱台 中，平面 平面 ，且 与 是两个全等
的等腰梯形，满足 .点 在 上，满足 ，连接 交于点
，点 为 的中点，连接 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值；
（3）在线段 上（不含端点）是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成角的正弦值为？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用向量证明 ，再根据线面平行的判定定理证明线面平行.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的三角函数值.
（3）利用空间向量，根据二面角的三角函数值求 的长.
【小问1详解】
由题意得： ，
设 ，
又因为 三点共线，
.即 为 中点.
又因为 平面 平面
平面【小问2详解】
由（1）知 ，
所以 与平面 所成角即为所求角.
分别取 中点 ，连接 .
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，所以 平面 ，
以 为原点， 为 轴的正方向，如图建系，
，
设平面 的法向量为 ，
，取 ，则 ，
为平面 的一个法向量，
又
因为
设 与平面 所成角为 ，.
所以
【小问3详解】
设
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ， ，
为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 所成角为 ，
（舍）或 .
所以存在点 使得 ，
.
19. 已知抛物线 上的一点 到焦点 的距离为1，直线 交 于两点.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2） 为坐标原点，已知 ：
（i）作 垂足为 ，则是否存在定点 ，使 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由；
的
（ii）若 在 处 切线 恰好平分直线 与 的夹角，求 的方程.
【答案】（1）
（2）（i）存在， ；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线定义可得答案；
（2）（i）设直线 ，与抛物线方程联立，由 利用韦达定理求
出 ，可得直线 过定点，结合 可得答案；
（ii）设切线 方程为 ，与抛物线方程联立，利用 得 求出切线的倾斜角.直线 方
程与抛物线方程联立，不妨设直线 的倾斜角分别为 ，则由 恰好平分直线 与 的夹角
可知， ，根据 和韦达定理得出答案.
【小问1详解】
到 的距离等于 到准线 的距离，
故 ，
故 ；
【小问2详解】（i）设直线 ，
联立方程 ，得 ，
由韦达定理知， ，
而 ，
.
因为 ，所以 ，有 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即直线 过定点 ，
结合 ，所以 在以 为直径的圆上，
所以 到定点 的距离为定值1；
（ii）因为 ，所以 .
设切线 方程为 ，
联立方程组 得令 ，得 ，
所以切线方程为 ，
斜率 的倾斜角 .
由（i）可知，直线 ，
联立方程 ，消 得 ，
则 ，故 .
不妨设直线 的倾斜角分别为 ，则由 恰好平分直线 与 的夹角可知， .
，
，即
，即
化简得 ，
即
代入得 ，即 ，
解得 .当 时，直线 过点 ，舍去.
所以直线 .
