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第 8 讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角
一、选择题
1.(2016·长沙模拟)在正方体A B C D －ABCD中，AC与B D所成的角的大小为(
1 1 1 1 1
)
A. B. C. D.
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为
1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B (1，0，1)，D(0，1，0).
1
∴AC＝(1，1，0)，B1D＝(－1，1，－1)，
∵AC·B1D＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，
∴AC⊥B1D，
∴AC与B D所成的角为.
1
答案 D
2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD－A B C D 中，BB 与平面ACD 所成角的正
1 1 1 1 1 1
弦值为( )
A. B. C. D.
解析 设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD
1
所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图
所示.则B(1，1，0)，B (1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D (0，0，
1 1
1)，
所以BB1＝(0，0，1)，AC＝(－1，1，0)，AD1＝(－1，0，1).
令平面ACD 的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC＝－x＋y＝0，n·AD1＝－x＋z＝
1
0，令x＝1，可得n＝(1，1，1)，
所以sin θ＝|cos〈n，BB1〉|＝＝.
答案 B
3.在正方体ABCD－A B C D 中，点E为BB 的中点，则平面A ED与平面ABCD
1 1 1 1 1 1
所成的锐二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系
A－xyz，设棱长为1，
则A (0，0，1)，
1
E，D(0，1，0)，
∴A1D＝(0，1，－1)，A1E＝，
设平面A ED的一个法向量为n ＝(1，y，z)，所以有即解得
1 1
∴n ＝(1，2，2).
1
∵平面ABCD的一个法向量为n ＝(0，0，1)，
2
∴ cos〈n ，n 〉＝＝.
1 2
即所成的锐二面角的余弦值为.
答案 B
4.(2017·西安调研)已知六面体 ABC－A B C 是各棱长均等于 a的
1 1 1
正三棱柱，D是侧棱CC 的中点，则直线CC 与平面AB D所成
1 1 1
的角为( )
A.45° B.60°
C.90° D.30°
解析 如图所示，取AC的中点N，以N为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则A，C，B ，D，C ，
1 1
∴AB1＝，AD＝，CC1＝(0，0，a).
设平面AB D的法向量为n＝(x，y，z)，
1
由n·AB1＝0，n·AD＝0，可取n＝(，1，－2).
∴cos〈CC1，n〉＝＝＝－，
∴直线CC 与平面AB D所成的角为45°.
1 1
答案 A
5.设正方体ABCD－A B C D 的棱长为2，则点D 到平面A BD的距离是( )
1 1 1 1 1 1
A. B. C. D.
解析 如图建立坐标系.则D (0，0，2)，A (2，0，2)，B(2，2，0)，
1 1
D1A1＝(2，0，0)，DB＝(2，2，0)，
设平面A BD的一个法向量
1
n＝(x，y，z)，则
∴令z＝1，得n＝(－1，1，1).
∴D 到平面A BD的距离d＝＝＝.
1 1
答案 D
二、填空题
6.(2017·昆明月考)如图所示，在三棱柱ABC－A B C 中，AA ⊥
1 1 1 1
底面ABC，AB＝BC＝AA ，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，
1BB 的中点，则直线EF和BC 所成的角是__________.
1 1
解析 以BC为x轴，BA为y轴，BB 为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝
1
AA ＝2，
1
则C (2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，
1
则EF＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)，∴EF·BC1＝2，
∴cos〈EF，BC1〉＝＝，
∴EF和BC 所成的角为60°.
1
答案 60°
7.在正四棱柱ABCD－A B C D 中，AA ＝2AB，则CD与平面
1 1 1 1 1
BDC 所成角的正弦值等于__________.
1
解析 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA ＝
1
2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C (0，1，2)，则DC
1
＝(0，1，0)，DB＝(1，1，0)，DC1＝(0，1，2).
设平面 BDC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则 n⊥DB，
1
n⊥DC1，所以有令y＝－2，得平面BDC 的一个法向量为n＝
1
(2，－2，1).
设CD与平面BDC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，DC〉|＝＝.
1
答案
8.已知点E，F分别在正方体ABCD－A B C D 的棱BB ，CC 上，且B E＝2EB，
1 1 1 1 1 1 1
CF＝2FC ，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________.
1
解析 延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.
设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，
连接EH，则∠EHB为所求二面角的平面角.
∵BH＝，EB＝1，∴tan∠EHB＝＝.
答案
三、解答题
9.(2015·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝
120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面
ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC，
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
(1)证明 如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，
所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt △EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt △FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.
因为EG 平面AEC，
所以平面AEC⊥平面AFC.
⊂
(2)解 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|
为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz，
由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，
C(0，，0).
所以AE＝(1，，)，CF＝.
故cos〈AE，CF〉＝＝－.
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.
10.(2016·全国Ⅰ卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五
面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且
二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；
(2)求二面角E－BC－A的余弦值.
(1)证明 由已知可得AF⊥DF，AF⊥EF，
所以AF⊥平面EFDC.
又AF 平面ABEF，
故平面ABEF⊥平面EFDC.
⊂
(2)解 过D作DG⊥EF，垂足为G.
由(1)知DG⊥平面ABEF.
以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz.
由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2，|DG|
＝.
可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，).
由已知得AB∥EF，所以AB∥平面EFDC.
又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，
故AB∥CD，CD∥EF.
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，
所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF＝60°.
从而可得C(－2，0，).
所以EC＝(1，0，)，EB＝(0，4，0)，AC＝(－3，－4，)，AB＝(－4，0，0).
设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，
则即
所以可取n＝(3，0，－).
设m是平面ABCD的法向量，则
同理可取m＝(0，，4).
则cos〈n，m〉＝＝－.
故二面角E－BC－A的余弦值为－.
11.(2017·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱
柱ABC－A B C ，CA＝CC ＝2CB，则直线BC 与直线AB 夹
1 1 1 1 1 1
角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析 不妨令CB＝1，则CA＝CC ＝2，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C (0，2，0)，
1 1
A(2，0，0)，B (0，2，1)，
1
∴BC1＝(0，2，－1)，AB1＝(－2，2，1)，
∴cos〈BC1，AB1〉＝＝＝＝＞0.
∴BC1与AB1的夹角即为直线BC 与直线AB 的夹角，
1 1
∴直线BC 与直线AB 夹角的余弦值为.
1 1
答案 A
12.在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且
SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°解析 如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.则A(a，0，0)，B(0，a，0)，
C(－a，0，0)，P.
则CA＝(2a，0，0)，AP＝，
CB＝(a，a，0)，
设平面PAC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则解得可取n＝(0，1，1)，
则 cos〈CB，n〉＝＝＝，
又∵〈CB，n〉∈(0°，180°)，∴〈CB，n〉＝60°，
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
答案 A
13.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在
这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC
＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为__________.
解析 ∵CD＝CA＋AB＋BD，
∴CA·BD＝|CA|·|BD|· cos〈CA，BD〉＝－24.
∴ cos〈CA，BD〉＝－.
又所求二面角与〈CA，BD〉互补，
∴所求的二面角为60°.
答案 60°
14.(2016·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，
∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.E为棱AD的中点，
异面直线PA与CD所成的角为90°.
(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并
说明理由；
(2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
解 (1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.
延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所
求的一个点.理由如下：由已知，知BC∥ED，且BC＝ED.
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.
又EB 平面PBE，CM⊄平面PBE，
所以CM∥平面PBE.
⊂
(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)法一 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
从而CD⊥PD.
所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.
所以∠PDA＝45°.
设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.
过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.
易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q，
则AQ⊥平面PCE.
所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，
所以AH＝.
在Rt△PAH中，PH＝＝，
所以sin∠APH＝＝.
法二 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
于是CD⊥PD.
从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.
所以∠PDA＝45°.
由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.
设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.
作Ay⊥AD，以A为原点，以AD，AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，所以PE＝(1，0，－2)，EC＝(1，1，0)，AP＝(0，0，2)，
设平面PCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得
设x＝2，解得n＝(2，－2，1).
设直线PA与平面PCE所成角为α，
则sin α＝＝＝.
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.
