2007年辽宁高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_辽宁

2007 年辽宁高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3 至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 P(AB) P(A)P(B) S 4πR2 如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A B) P(A) P(B) 球的体积公式   4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V  πR3 3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k)Ckpk(1 p)nk n n 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．若集合A{1，3}，B{2，3，4}，则A B（ ）  A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3，4} 2．若函数y  f(x)的反函数图象过点(1，5)，则函数y  f(x)的图象必过点（ ） A．(5，1) B．(1，5) C．(1，1) D．(5，5) x2 y2 3．双曲线  1的焦点坐标为（ ） 16 9 A．( 7，0)，( 7，0) B．(0， 7)，(0，7) C．(5，0)，(5，0) D．(0，5)，(0，5) 4． ，且 ，则向量 的夹角为（ ） π π π A．0 B． C． D． 6 3 2 5．设等差数列{a }的前n项和为S ，若S 9，S 36，则a a a （ ） n n 3 6 7 8 9 A．63 B．45 C．36 D．27 第1页 | 共10页6．若m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 （ ） A．若m，，则m B．若m，m∥，则 C．若，⊥，则 D．若 m， n，m∥n，则∥   7．若函数y  f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y  f(x1)2的图象，则向量a= （ ） A．(1，2) B．(1，2) C．(1，2) D．(1，2) x y2≤0，  y 8．已知变量x，y满足约束条件x≥1， 则 的取值范围是（ ） x  x y7≤0，  9   9 A．  ，6  B． ，  6， 5   5 C．，3 6， D．[3，6]  9．函数y log (x2 5x6)的单调增区间为（ ） 1 2 5   5 A． ，  B．(3，) C． ，  D．(，2) 2   2 10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其 余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率 为（ ） 1 1 3 2 A． B． C． D． 22 11 22 11 5 1 11．设 p，q是两个命题： p:|x|30，q:x2  x 0，则 p是q的（ ） 6 6 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．将数字 1，2，3，4，5，6 拼成一列，记第i个数为a (i1，2， ，6)，若a 1， i  1 a 3，a 5，a a a ，则不同的排列方法种数为（ ） 3 5 1 3 5 A．18 B．30 C．36 D．48 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 第2页 | 共10页二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．已知函数y  f(x)为奇函数，若 f(3) f(2)1，则 f(2) f(3) ． 1 14．( x  )x展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）． 4 x 6 15．若一个底面边长为 ，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球 2 的体积为 ． x2 y2 16．设椭圆  1上一点P到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满 25 16  1    足OM  (OPOF)，则|OM | ． 2 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位： 小时）进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 [500，900) [900 ， [1100 ， [1300 ， [1500 ， [1700 ， [1900 ， 1100) 1300) 1500) 1700) 1900) ) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 （I）将各组的频率填入表中； （II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率； （III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少 有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率． 18．（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱 ABCABC 中，ACB90， AC  BC a， D，E分别为棱 1 1 1 AB，BC的中点，M 为棱AA 上的点，二面角M DEA为30． 1 （I）证明：AB C D； 1 1 1 （II）求MA的长，并求点C到平面MDE 的距离． 第3页 | 共10页A C 1 1 M B 1 C A E D B 19．（本小题满分12分）  π  π x 已知函数 f(x)sin  x  sin  x  2cos2 ，xR（其中0）  6  6 2 （I）求函数 f(x)的值域； π （II）若函数 y  f(x)的图象与直线 y 1的两个相邻交点间的距离为 ，求函数 2 y  f(x)的单调增区间． 20．（本小题满分12分）  3 1 a  a  b 1   n 4 n1 4 n1 已知数列{a }，{b }满足a 2，b 1，且 （n≥2） n n 1 1 1 3  b  a  b 1  n 4 n1 4 n1 （I）令c a b ，求数列{c }的通项公式； n n n n （II）求数列{a }的通项公式及前n项和公式S ． n n 第4页 | 共10页21．（本小题满分14分） 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线 y2 2x上，其中O为坐标原点，设圆C是 △OAB的内接圆（点C为圆心） （I）求圆C的方程； （II）设圆M 的方程为(x47cos)2 (y7sin)2 1，过圆M 上任意一点P分别  作圆C的两条切线PE，PF ，切点为E，F，求CE，CF 的最大值和最小值． 22．（本小题满分12分） 已知函数 f(x) x39x2cos48xcos18sin2，g(x) f(x)，且对任意的实数t 均有g(1cost)≥0，g(3sint)≤0． （I）求函数 f(x)的解析式； （II）若对任意的m[26，6]，恒有 f(x)≥x2 mx11，求x的取值范围． 试题答案与评分参考 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变试题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答较严重的错误，就不再给分。 第5页 | 共10页三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）C（2）A（3）C（4）D（5）B（6）B（7）C（8）A（9）D（10）D（11）A （12）B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。 （13）1（14）72（15）4 3n （16）2 三、解答题 （17）本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查 运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分12分. （Ⅰ）解： ［ 500 ， ［ 900 ， ［1900，+ 分组 ［1100，1300］［1300，1500］［1500，1700］［1700，1900］ 900］ 1100］ ∞］ 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 ……4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是1500 小时的频率为0.6.……8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1只灯管使用寿命不足1500小时的概率P=0.6.根据在n次独 立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得 P(2)P (3)C10.62 0.40.62 0.648。 1 3 1 所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648.……12分 （18）本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与 思维能力。满分12分。 （Ⅰ）证明：连结CD， ∵三棱柱ABC-ABC是直三棱柱。 1 1 1 ∴CC⊥平面ABC， 1 ∴CD为CD在平面ABC内的射影， 1 ∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点。 ∴AB⊥CD， ∴AB⊥CD， 1 ∵AB∥AB， 1 1 ∴AB⊥CD。 1 1 1 （Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF. 第6页 | 共10页∵D、E分别为AB、BC的中点。 ∴DE∥AC。 又∵AF∥CE，CE⊥AC， ∴AF⊥DE。 ∵MA⊥平面ABC， ∴AF为MF在平面ABC内的射影。 ∴MF⊥DE， ∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。 1 a 在Rt△MAF中，AF＝ BC  ,MFA30, 2 2 3 ∴AM= a. 6 作AC⊥MF，垂足为G。 ∵MF⊥DE,AF⊥DE, ∴DE⊥平面AMF, ∴平面MDE⊥平面AMF. ∴AG⊥平面MDE a 在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF= , 2 a a ∴AG= ,即A到平面MDE的距离为 。 4 4 ∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE, a ∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为 。 4 解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF， ∵D、E分别为AB、CB的中点， DE∥AC, 又∵AF∥CE,CE⊥AC, ∴AF⊥DE, ∵MA⊥平面ABC, ∴AF为MF在平面ABC内的射影， ∴MF⊥DE, ∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。 1 a 在Rt△MAF中，AF= BC= ,MFA30, 2 2 第7页 | 共10页3 ∴AM= a.……8分 6 设C到平面MDE的距离为h。 ∵V V , MCDE CMOC 1 1 ∴ S MA S h, 3 CDE 3 MDE 1 a2 3 S  CEDE ,MA a, CDE 2 8 6 1 1 AF 3 S  CEMF  DE  a2, MDE 2 2 cos30 12 1 a2 3 1 3   a  a2 h， 3 8 6 3 12 a a ∴h= ，即C到平面MDE的距离为 。……12分 4 4 19.本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三 角函数有关知识的能力。满分12分。 3 1 3 1 f(x) sinx cosx sinx cosx(cosx1) 2 2 2 2 3 1 （Ⅰ）解：2( sinx cosx)1 ……5分 2 2  2sin(cos )1. 6   由-1≤sin(cosx )≤1，得-3≤2sin(cosx )1≤1。 6 6 可知函数 f(x)的值域为［-3,1］.……7分 （Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y f(x)的周其为w，又由w＞0， 2 得 ，即得w=2。 w     于是有 f(x)2sin(2x )1，再由2k 2 2k (kZ)，解得 6 2 6 2   k xk (kZ)。 6 3   所以y f(x)的单调增区间为［k ,k (kZ)］ 6 3 （20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分12 分。 （Ⅰ）解：由题设得a b (a b )2(n2)，即 n n n1 n1 第8页 | 共10页1 （Ⅱ）解：由题设得a b  (a b )(n2)，令d a b ，则 n n 2 n1 n1 n n n 1 d  d (n2)。 n 2 n1 1 易知{d }是首项a b 1，公比为 的等比数列，通项公式为 n n n 2 1 d ＝ ……8分 n 2n1 a b 2n1, n n  由于 1 解得 a b    n n 2n1 1 1 a ＝ n 。……10分 n 2n 2 求和得 1 n2 S   n1。……12分 n 2n 2 （21）本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合 运用解析几何知识解决问题的能力。满分14分。 y2 y2 （Ⅰ）解法一：设A、B两点坐标分别为（ 1 ,y ），（ 2 ,y ），由题设知 2 1 2 2 y2 y2 y2 y2 ( 1 )2  y2  ( 2 )2  y2  ( 1  2 )2 (y  y )2 ， 2 1 2 2 2 2 1 2 解得y2  y2 12， 1 2 所以A（6，2 3 ），B（6，-2 3 ）或A（6，-2 3 ），B（6，2 3 ）。 2 设圆心C的坐标为（r,0），则r  64，所以圆C的方程为 3 (x4)2  y2 16.……4分 解法二：设A、B两点坐标分别为（x，y），（x，y），由题设知 1 1 2 2 x2  y2 x2  y2 1 1 2 2 又因为y2 2x ,y2 2x ，可得x2 2x x2 2x ，即 1 1 2 2 1 1 1 2 (x  x )(x  x 2)0。 1 2 1 2 由x＞0，x ＞0，可知x＝0，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上， 1 2 1 第9页 | 共10页3 3 3 3 设C点的坐标为（r,0），则A点的坐标为（ , r ），于是有( r)2 2 r，解得 2 2 2 2 r=4，所以圆C的方程为 (x4)2  y2 16。……4分 （Ⅱ）解：设∠ECF＝2a，则 CECF |CE||CF|cos2a32cos2 a16……8分 r 4 在Rt△PCE中，cosa  ，由圆的几何性质得 |PC| |PC| 第10页 | 共10页