文档内容
参照秘密级管理★启用前
试卷类型：A
2024 级高二上学期期中校际联合考试
数学
2025.11
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用复数的运算法则及模长的计算公式，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
故选：D.
2. 已知直线l的一个方向向量是 ，平面 的一个法向量是 ，若 ，则m=
（ ）
A. B. C. -8 D. 8
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据直线与平面的平行的向量法表示求解.
【详解】由 ，得 ，即 ，解得 .
故选：B
3. 如图所示，空间四边形OABC中， ，点M在OA上，且 ，N为BC
中点，则 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算求解即可．
【详解】 ，
故选： .
4. 双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用离心率公式与渐近线方程公式定义计算即可得.
【详解】由 的焦点在 轴上，
故 ，
故 的渐近线方程为 .
故选：D.
5. 已知圆 ，若点P在圆 上，并且点P到直线 的距离为 ，则满足条
件的点P的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得圆心 直线 的距离为 ，进而即得.
【详解】由 可知圆心 ，半径为 ，
又圆心 直线 的距离为 ，
所以与直线 平行且距离为 的直线一条过圆 的圆心，另一条与圆相切，
所以满足条件的点P的个数为3.
.
故选：C
6. 聚光式太阳灶（如图1）广泛应用于我国西部农村地区.其轴截面图（如图2）中，点 为抛物线的焦点，
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学科网（北京）股份有限公司此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点 与焦点 关于其外沿所在的平面对称.已知 、
两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径（外沿所在圆的直径）大约为（ ）
A. 1.2米 B. 1.4米 C. 1.6米 D. 1.8米
【答案】B
【解析】
【分析】将抛物线置于一个坐标系中，使得抛物线顶点在原点，焦点在 轴上，根据所给数据求得抛物线
方程，带入中点横坐标 即可得解.
【详解】
建立坐标系，使得抛物线顶点在原点，焦点在 轴上，
由 、 两点间的距离为0.5米，
设抛物线方程为 ，
则 ，所以 ，所以 ，
由 中点横坐标为 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司，所以 ，
所以弦长 ，
最大口径就是 的长，
故选：B
7. 如图，在正方体 中， 是 中点，点 在线段 上，若直线 与平面
所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先设棱长为2，建立如图坐标系，根据 计算点P坐标和向量 ，求平面 法
向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数求其值域即可．
【详解】设正方体棱长为2，
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系．
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
可得 ， ，
设 ，
则 ，
设平面 法向量为 ，则 ，
的
令 ，则 ，可得 ，
则 ，
当 时， 取得最大值 ；当 或1时， 取得最小值 ；
所以 的取值范围是 ．
故选：A．
8. 已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆外 轴上一点，线段
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学科网（北京）股份有限公司与 交于点 ， ， 内切圆的半径为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用切线长定理可得出 ，再由椭圆定义可求出 ，结合勾股定理可得
出关于 的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.
【详解】
设 的内切圆 分别切该三角形三边于点 ，如图所示.
由切线长定理可得 ， ， .
则 ，
由 可知 ，四边形 为正方形，且其边长为 .
由对称性可知 ，由椭圆定义可得 ①，
又因为 ，所以 ②，
联立①②可得 ， .
由勾股定理可得 ，即 ，
整理可得 ，即 ，即 ，整理可得 ，因此，
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数 ， ，则（ ）
A.
B. 在复平面上， 对应的向量与 对应的向量的夹角为
C.
D. 若 ，则 的最大值为3
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，共轭复数及复数的模的定义可得.
【详解】对于A：由 ，得 ，所以A错误；
对于B： 对应的向量为 ， 对应的向量为 ，
，所以 ，故B正确；
对于C：由 ， ， ，
，得 ，所以C正确；
对于D：由 ，即 ，所以复数z在复平面内对应的点表示以 点为圆心，以2为
半径的圆上.
所以 的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值为3，如图：故D正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：BCD.
10. 若方程 所表示的曲线为 ，则下面四个命题中正确的是（ ）
A. 若 为椭圆，则 B. 若 为双曲线，则 或
C. 曲线 可能是圆 D. 若 为椭圆，且长轴在 轴上，则
【答案】BC
【解析】
【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可
【详解】若 为椭圆，则 ， 且 ，故A错误
若 为双曲线，则 ， ，故B正确
若 为圆，则 ， ，故C正确
若 为椭圆，且长轴在 轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
11. 如图，正方体 中， 为棱 的中点， 为平面 上的动点，设直线 与
底面 所成的角为 ，直线 与底面 所成的角为 ，平面 与底面 的夹角为
，平面 与底面 的夹角为 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若 ，则点 在圆上 B. 若 ，则点 在双曲线上
C. 若 ，则点 在抛物线上 D. 若 ，则点 在椭圆上
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线面角的定义和 可推导得到 ，建立平面直角坐标系后，可整理得到点
轨迹为圆，知A正确；由面面角定义和 可推导得到 ，知B错误；由 可推导得到
，结合抛物线定义知C正确；由 可推导得到 ，在平面直角坐标系中求得动
点轨迹后可知D正确.
【详解】对于A， 平面 ， 平面 ， ， ，
， ，又 ， ， ，
在平面 中，以 为坐标原点， 正方向为 轴正方向可建立如图平面直角坐标系，
设 ， ，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司由 得： ，整理可得： ，
在
点 圆上，A正确；
对于B，作 ，垂足为 ，作 交 于点 ；作 ，垂足为 ，作 交
于点 ；
平面 平面 ， 平面 ，平面 与平面 所成角即为平面 ，平面
与平面 所成角，
即 ， ，
， ，又 ，
， 点 在 的平分线上，B错误；
对于C，由AB知： ， ，又 ，
，即在平面 中，点 到定点 的距离等于到定直线 的距离，
点 在抛物线上，C正确；
对于D，由AB知： ， ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
在选项A的平面直角坐标系中，设 ，则 ， ，
， ，
整理可得： ， 点 在椭圆上，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线 的焦点到准线的距离是______.
【答案】4
【解析】
【详解】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.
13. 过圆 外一点 作圆 的切线，切点分别为 ， ，则 _____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】求出以 为直径的圆方程，得出直线 的方程，在圆 中求弦长即可.
【详解】线段 中点为 ， ，
的
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学科网（北京）股份有限公司则以 为直径的圆方程为 ，即 ，
由题意知， 是圆 与 的公共点，
则直线 的方程为 ，
则点 到直线 的距离为 ，故 .
故答案为：
14. 光线沿直线 以 的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面 上的点 ，反射光线
为射线 ， 在平面 上的射影为 ，现将镜面以 为轴旋转 ，反射光线变为射线 ，则直线
与 所成角的余弦值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】构造长方体，建立空间直角坐标系，利用点面的对称，及空间向量计算线线夹角即可.
【详解】如图：
在长方体中， 表示入射线，平面 为平面 ， 在平面 的射影为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为直线 照射到平面 的入射角为 ，所以 .
不妨令 ， ，将平面 绕 轴旋转 得平面 .
建立空间直角坐标系，则 ，可取 ，
易知反射光线 的方向向量为： .
设D关于平面 的对称点为N，作 ，
易得 ，所以 ，
则 ，所以反射线 的方向向量为： .
所以 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 与圆 交于 ， 两点
（1）若 ，求 的值；
（2）在（1）的条件下，求过点 的圆 的切线方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）首先明确圆心与半径，利用点到直线距离求得弦心距，根据弦长公式，建立方程，可得答
案；
（2）过点的直线分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，建立方程，可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
圆 即 ，
圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
故 ，则 ，解得 .
【小问2详解】
由（1）可得圆 ，则圆心 ，半径 ，
当过点 的直线斜率不存在，则直线方程为 ，圆心到直线 的距离为 ，故直线 为圆
的切线；
当过点 的直线斜率存在，可设直线方程 ，则 ，
圆心 到该直线的距离 ，
由直线与圆 相切，则 ，即 ，整理可得 ，解得 ，
直线方程为 ，
综上，切线的方程为： 或 .
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， .
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据点到平面距离向量法计算即可求解；
（2）根据面面角向量法计算即可求解.
【小问1详解】
以 为坐标原点，直线 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
所以平面 的一个法向量可以为 ，
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学科网（北京）股份有限公司即点 到平面 的距离为 ；
【小问2详解】
．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
所以平面 的一个法向量可以为 ，
显然 是平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. 已知椭圆 的两个焦点 ， ，过点 且斜率不为0的直线 与椭圆 相交于 ，
两点， 的周长等于8.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为 ， ，过点 且斜率不为0的直线与椭圆交于 ， 两点，设直
线 ， 的斜率为别为 ， ，求证： 为定值.
【答案】（1） ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） .
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义及焦点三角形的周长可得标准方程；
（2）设 的直线方程代入椭圆方程，再由根与系数关系及斜率公式可得定值.
【小问1详解】
因椭圆 的两个焦点 ， ，所以 ，
由 的周长等于8，得 ，
即 ，得 .
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，设直线 的方程为 ， .
将方程 代入椭圆方程 ，得 ，
化简整理得 ， ，
.
所以 ，同理 .
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学科网（北京）股份有限公司所以
，
若 ，则 ，代入根与系数关系得 ，
即 ，再消去 得 ，得 无
解，
故 .
所以 .
故 为定值 .
18. 在空间直角坐标系 中，向量 ，点 ，若平面 以 为法向量且经过点
， 则 平 面 的 点 法 式 方 程 为 ， 一 般 式 方 程 可 表 示 为
.
（1）若直线 的方向向量为 ，平面 的一般式方程为 ，求直线 与平面
所成角的正弦值；
（2）若平面 经过点 ， ， ，平面 的一般式方程为 ，直线
为平面 和平面 的交线，求平面 的一般式方程，并求出直线 的单位方向向量（写出一个即可）；
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学科网（北京）股份有限公司（3）已知集合 ， ，记集合 中所有
点构成的几何体为 ， 中所有点构成的几何体为 ，求几何体 的体积和 的表面积.
【答案】（1）
（2） 或 .
（3）几何体 的体积为 ， 的表面积为
【解析】
【分析】（1）由题可得平面 的一个法向量，再利用空间向量法即可求线面角的正弦值；
（2）根据题意可求平面 的一个法向量，再根据平面的点法式方程化简即可求平面 的一般式方程，根
据交线 与两平面的法向量垂直即可求交线 的一个方向向量，再根据单位向量的概念求解；
（3）由题知集合 是边长为2的正方体，利用平面的一般式方程分析集合 由8个相同的三棱锥组成，根
据相关长度即可求 的体积，再分析两个几何图形截面相交的图形即可求 的表面积．
【小问1详解】
直线 方的向向量为 ，
平面 的一般式方程为 ，则平面 的一个法向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司平面 经过点 ， ， ，
，
设平面 的一个法向量 ，
，令 ，则 ，此时 ，
所以平面 的点法式方程为 ，
即平面 的一般式方程为 ，
又平面 的一般式方程为 ，则平面 的一个法向量 ，
设直线 的一个方向向量 ，又直线 为平面 和平面 的交线，
则 ，不妨取 ，则 ，
此时 ， ，
所以直线 的单位方向向量为 ，
其坐标为 或 ．
【小问3详解】
集合 ，
所以集合 是以原点为中心，边长为2的正方体，
，当 时，得 ，
根据题意知 是平面的一般方程，且过 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 形成的是一个三棱锥，如图，
由对称性，所以 中所有点构成的几何体为 是由8个相同的三棱锥组成，
所以几何体 的体积 ，
当 时， 的一部分如图所示，
，
由对称性， 中所有点构成的几何体 的表面由8个边长为 的正六边形与6个边长为 的正方
形组成，
所以 的表面积 ．
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学科网（北京）股份有限公司19. 已知动点 到定点 的距离与它到定直线 的距离之比为 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）已知直线 的方程为 ，直线 上有一动点 ，求 的最大值；
（3）若 ， 为轨迹 上不同的两点，线段 的中点为 ，当 面积取最大值时，是否存在两定
点 ， ，使 为定值?若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）2 （3）存在两定点S，T，使 为定值 .
【解析】
【分析】（1）根据题意得到方程，化简后得到轨迹方程；
（2）设 为 的左焦点，由椭圆定义和三点共线转化为直线 上找到一点 ，使得
最大；
（3）考虑直线 的斜率存在和不存在两种情况，求出点 的轨迹方程为椭圆 ，由椭圆定义
可知，存在两定点S，T，分别为 或 ，使 为定值.
【小问1详解】
由题意得 ，
两边平方得 ，
整理得，点 的轨迹 的方程为 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
中， ，则 ， 为 的右焦点，
设 为 的左焦点，
连接 ，则 ， ，
则 ，
其中当 三点共线时， 取得最小值 ，
为 到直线 ： 的距离，所以 ，
所以 最大值 ，
故 的最大值为 .
【小问3详解】
存在两定点S，T，使 为定值 ,理由如下：
当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ， ，
联立直线 与椭圆方程 得 ，
，即 ，
设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司故
，
故当 时， 取得最大值，最大值为 ，
此时 ，满足 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
故 ，
令 ，两式相除得 ，故 ，
将其代入 得 ，结合 得 ，
化简得 ，
因为 ，所以 ，故 ，即 ，
当直线 的斜率不存在时，设 ，则 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司不妨设点 在第一象限，则当 时， 取得最大值 ，
此时 的中点坐标为 ，满足 ，
故当 取得最大值时，点 的轨迹方程为椭圆 ，
两焦点坐标为 ，
由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为 或 ，
使 为定值.
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学科网（北京）股份有限公司
