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2024—2025 学年度上学期 2022 级
10 月月考数学试卷
命题人：郭松 审题人：冷劲松
考试时间：2024年 10月 24日
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
n 1 n 1
M =x x= + ,n∈Z,N =x ?x= + ,n∈Z
2 4 4 2
1. 已知集合 ，则下列表述正确的是（ ）
A. M ∩N =∅ B. M N =R C. M ⊆ N D. N ⊆ M
3 2 3
2. 已知非零向量a,b的夹角为θ，且|a|= |b|，a = a⋅(a+b)，则θ=（ ）
2 2
π 3π π
A. B. C. D.
3 4 4
2π
3 4π
3. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
3
A. 6π B. 8π C. 10π D. 12π
1
4. 若sin(α−β)= ，且tanα=2tanβ，则sin(α+β)=（ ）
6
3 2 2 1
A. B. C. D.
2 2 3 2
1
5. 已知 f(x)=ln(x2 +1)，g(x)=( )x −m，若∀x ∈[0,2]，∃x ∈[0,2]，使得 f(x )≥g(x )，则实
1 2 1 2
2
数m的取值范围是
1 1 1 1
A. [ ,+∞) B. (−∞, ] C. [ ,+∞) D. (−∞, ]
4 4 2 2
π
6. 已知函数 f(x)=4cos(ωx+ϕ) ω>0,0<ϕ< 的部分图象如图所示，图象的一个最高点为M ，图
2
9 5
象与x轴的一个交点为N ,0，且点M，N之间的距离为5，则 f =（ ）
4 4
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学科网（北京）股份有限公司3 3 3
A. B. 2 3 C. D. 2
2 2
x2 y2
7. 过双曲线C: − =1(a >0,b>0)的右焦点F 向双曲线C的一条渐近线作垂线，垂足为D，线段
a2 b2
|DE‖EG| 1
FD与双曲线C交于点E，过点E向另一条渐近线作垂线，垂足为G，若 = ，则双曲线C
|DF |2 3
的离心率为（ ）
2 3 2 5
A. 3 B. 2 C. D.
3 3
8. 设函数 f(x)=sinπx+e3x−3−e3−3x −x+3则满足 f(x)+ f(3−2x)<4的x的取值范围是（ ）
A. (3,+∞) B. (−∞,3) C. (1,+∞) D. (−∞,1)
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 若a>0>b>c，则下列结论正确的是（ ）
a a
A. > B. b2a >c2a
c b
a−b b
C. > D. a−c≥2 (a−b)(b−c)
a−c c
10. 已知随机变量X，Y，其中Y =3X +1，已知随机变量X的分布列如下表
X 1 2 3 4 5
1 1 3
p m n
10 5 10
若E ( X )=3，则（ ）
3 1
A. m= B. n= C. E ( Y )=10 D. D ( Y )=21
10 5
11. 如图，在平行四边形ABCD中，AD= BD=2，且AD⊥ BD，BF为△BCD的中线，将BCF 沿
BF折起，使点C到点E的位置，连接AE，DE，CE，且CE =2，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. EF ⊥平面ABCD B. AE与平面BEF所成角的正切值是 2
6
C. BC与DE所成的角为30 D. 点C到平面BDE的距离为
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 若直线l：y =2x与圆C：x2 + y2 −2x−3=0交于A，B两点，则 AB =______.
13. 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C =60°，c=7，若a−b=3,D为AB中
点，则CD=______．
x−2
14. 对∀x>2，aex ≥ln −2恒成立，则a的最小值为__________.
a
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 f ( x )=e2x −2x.
( )
（1）求 f x 的极值；
（2）若对于任意x∈R，不等式 f ( x )>2 ( e−1 ) x+m恒成立，求实数m的取值范围.
16. 锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 ，满足
( sinA−sinC )⋅( sinA+sinC )=sinB ( sinA−s𝑎𝑎in,𝑏𝑏B,𝑐𝑐)
（1）求角C；
A B C
（2）求sin2 +sin2 +sin2 的取值范围.
2 2 2
17. 已知四棱锥P−ABCD的底面是一个梯形， AB//DC ，∠ABC =90°， AB= BC =4，CD=2，
PA= PD =3，PB= PC = 17 .
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角C−PA−D的余弦值.
18. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥
x2 y2
曲线.已知椭圆C : + =1(00，若a 是向量组a ，a ，a 的“长向量”，求实数x的取值范
n 3 1 2 3
围；
nπ nπ
（2）若a = sin ,cos ，n∈N且n>0，向量组a ，a ，a ，…，a 是否存在“长向量”?给出
n 2 2 1 2 3 7
你的结论并说明理由；
（3）已知a ，a ，a 均是向量组a ，a ，a 的“长向量”，其中a =(sinx,cosx)，
1 2 3 1 2 3 1
a =( 2cosx,2sinx )．设在平面直角坐标系中有一点列P，P ，P ，…，P 满足，P为坐标原点，P
2 1 2 3 n 1 2
为a 的位置向量的终点，且P 与P 关于点P对称，P 与P （k∈N且k >0）关于点P 对称，
3 2k+1 2k 1 2k+2 2k+1 2
求 P P 的最小值．
1013 1014
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