2025～2026 学年高二 10 月夯基考 ·数学(A
卷)
参考答案、提示及评分细则
1.C 由题意知直线的倾斜角为0.故选C.
2.C 由题意知点A 关于Oxy 对称的点的坐标为(1,-2,-3).故选C.
3.D 由题意得(一2)²+4²—4a>0, 解得a<5. 故 选D.
4.B 由 m ⊥n,m=(3,1,5),n=(λ-2,λ,2), 得3λ—6+λ+10=0,解得λ=-1.故选B.
5.B 由题意得PQ=(0,4,2), 所以点Q 到平面a 的距离 .故选B.
6.A 因为由题意知 BA,BC,BB₁ 两两垂直，故分别以直线 BA,BC,BB₁ 为x 轴 ，y 轴
， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 BC=a(a>0), 则 B(0,0,0),C(0,a,0),
,所
,
线 BM 与 直 线CN 所成角为θ,则
,所以直线BM 与直线CN 所成角的余弦值 .故选A.
7.A 由题意知C(-1,0),C 到l 的距离 ,要使圆C 上仅有2个点到l 的
距离
为1,则3 - 1<r<3+1, 即 2<r<4. 故 选A.
8.D 因为C 在直线y=x+2 上，设点A 关于直线y=x+2 的对称点为A₁(m,n), 则 解
得
故 A₁(-2,3), 连接A₁B 交直线y=x+2 于 点P, 当 C 在 P 点时， |CA|+|CB| 取得最小
值，其 最小值为|A₁B|=√(-2-2)²+(3—0)²=5. 故选D.
9.AB a=b的充要条件是a,b 的大小相等，方向相同，故由a=b→ |a|=|b, 反之则不然，故A 正确；假
设 a,b,a+c 共面，则存在实数x,y, 使得a+c=ma+yb, 所以c=(x—1)a+yb, 所以a,b,c 共面，与条件
矛盾， 故B 正确；在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足 C 中的条件，但任何两个都不
相等，故C 错误；对于D, 若 b=0,a,c 不一定共线，故D 错误.故选AB.
10.ABD 由题意知 O|C|=√2²+1²=√5<3, 则点O 在圆C 内，所以|OM|mx=|OC|+r=√5+3,|OM|mn=
r-|OC|=3—√5, 当直线PQ 过圆心时，|PQImax=2r=6, 当 OC⊥PQ 时，|PQ|mm=2√r²-|OC|²=4.
故
选 ABD.
11.AB 对 于A, 当λ=μ≠0时，BP=λ(BB₁+BC)=λBC₁, 即 点P 在线段BC₁ 上，则BP//AD₁, 又
BPC 平 面AB₁D₁,AD₁C 平面AB₁D₁, 所以BP// 平面AB₁D₁; 易 证B₁C⊥ 平面ABC₁D₁, 又APC
平面ABC₁D₁,
所以AP⊥B₁C, 故 A,B 均正确；
对于C, 当λ+μ=1时，BP=λBC+(1-λ)BB₁, 即 B₁P=λB₁C, 所 以P,C,B₁ 三点共线，线段AP
在
△ACB₁ 中，因为AB₁=AC=√2, 所以当点P 为 B₁C 中点时，AP 最小，此时AP⊥B₁C,(AP)m:n=【高二10月夯基考·数学(A 卷)参考答案 第1页(共4页)】 26—X—029B. 点A 在平面BCC₁B₁ 上的射影为B, 所以AP 与平面BCC₁B₁ 所成
的角为 ,易求 ,所以
,所以 ,故C,D 均错误.故选AB.
12.—4 由 L₁//l₂, 得a(a+2)-2×4=a²+2a-8=(a-2)(a+4)=0, 解得a=2, 或 a=-4. 当 a=2 时
，L₁ 与l₂ 重合；当a=-4 时，符合题意.
13.x+1=0, 或 3x-4y-1=0 易 知 C(1,3), 且 点A 在 圆C 外，若直线斜率存在，设切线方程为y+1=
k(x+1), 即 kx-y+k—1=0, 则 ,解得 ,故切线方程为3x-4y-1=0, 易验
证 x+1=0 也是圆C 的切线，故所求切线方程为x+1=0, 或 3x—4y—1=0.
14. 在平面PAC 内作PE⊥AC, 垂足为E, 在平面ABC 内 作BF⊥AC,
垂足为F, 易求AC=2, ,EF=1, 因为
所以 PB=PE+EF+FB, 所以 A
PB²=(PE+EF+FB)2, 3=PE²+EF²+FB²+2PE·EF+
,所以
,所以平面PAC 与平面ABC 的夹角的余弦值
15.解：(1)设过点A 且与BC 垂直的直线的斜率为k, 直线BC 的斜率 … … … … … …
… 2分 由 kB·k=-1, 得k=1, … … … … … … … … … … … … …
4 分 所以y-2=1×(x-2), 即所求直线的方程为x-y=0 6
分
(2)直线AB 的斜率 1,设直线AB 的倾斜角为α,则 tan a=-1,
9分 又0°≤a<180°, 所以
α=135°,………………………………………………………………………………10分 由题意知所求直线
的倾斜角 ,故所求直线的斜率为tan 45°=1,…………………………11分 所以
y-1=1×(x-3), 即 x-y-2=0 13 分
16. (1)解：以{AB,AD,AA₁} 为一个基底，由题意知
AB·AA₁=AD ·
……………………………………………………………………3分
, ………………………………………………………………4分
…………………………………………………………………7分
所以 A₁ O=|A₁ O|= √6.…………………………………………………………………………………8 分
【高二10月夯基考·数学(A 卷)参考答案 第2页(共4页)】 26—X—029B(2)证明：由(1)知
在菱形ABCD 中 ，BD=AD-AB, … … 10
分
【高二10月夯基考·数学(A 卷)参考答案 第2页(共4页)】 26—X—029B………………………………………………………14分
所以A₁O⊥BD, 即A₁O⊥BD. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
………15 分
17.解：(1)设点M(x,y),A(x₁,y₁), 由 点B 的坐标为(6,8),且M 是线段AB 的中点，
则 可得x₁=2x—6,y₁=2y—8,………………………………………………………………3 分
因为点A 在圆x²+y²=16 上运动，所以x²+y²=16,………… ………………………………………4 分
所以(2x-6)²+(2y-8)²=16, 整理，得(x—3)²+(y-4)²=4,
所以点M 的轨迹方程为(x—3)²+(y—4)²=4.……… …………………………………………6 分
(2)由(1)知曲线C 的方程为(x-3)²+(y-4)²=4, 是以C(3,4) 为圆心，半径r=2 的圆， ……………8
分 由弦长为2 √3,半径为2,则圆心到直线l 的距离，
……………………………10分
①当直线l 的斜率不存在时，即l:x=2, 符合题意； ……………………………………………………11分
②当直线l 的斜率存在时，设直线l:y=k(x—2), 即 kx-y—2k=0, 12
分 则圆心C(3,4) 到直线l 的距离为 ,解得
………………………………………14分 所以直线l 的方程为15x-8y—30=0.
综上，直线l 的方程为x=2, 或15x-8y-30=0. ………………………………………………………15 分
18.(1)证明：如图，取AB 中 点O, 连接PO,CO. 因为PA⊥PB,PA=PB=1,
所以POLAB, 且 ,AB=√2, ………………………………………………………………………2分
又AC=BC=1,AB=√2, 则 , ……………………………3
分 所以 PO+CO²=PC, 即 POLCO,…………………………………………4
分 又POLAB,AB,COC 平面ABC,CO∩AB=0,
所以PO⊥ 平面ABC, 6
分 又 POC 平面PAB, 所以平面PAB⊥平面ABC
7 分
(2)解：由(1)知ABLOP,AB ,易得AB⊥ 平面POC,
因为ABC 平面ABC, 所以平面POC⊥平面ABC, 所以∠PCO=60°, 所以△POC 为等边三角形，故
…………………………………………………………… …………………………………………………9分 如图，以O 为
原 点 ，C 为x 轴正方向，AB为y 轴正方向，在平面POC 内，过0作
平面ABC 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
则 , 所 以PC=
. … … … … … … … 11分 A
2
设平面PAC 的一个法向量n₁=(x₁,y1,z1), 则
【高二10月夯基考 · 数学(A 卷)参考答案 第3页(共4页)】 26—X一
029B即 取 x₁=√3, 解得y₁=—√3,z₁=1, 所以n₁=(√3, 一 √ 3,1), ……………………13
分
【高二10月夯基考 · 数学(A 卷)参考答案 第3页(共4页)】 26—X一
029B设平面PBC 的一个法向量n₂=( x ₂, y ₂, z2), 即 取x₂= √ 3,解得 y
₂=√3, 22=1, 所以n₂=(√3,√3,1)
……………………………………………………………………………………15分
所以
设二面角A - PC - B 的大小为θ,则 ………………………………… 17分
19. (1)解：法1:由题意可得，圆心Q 为直线AB 的垂直平分线和直线AD 垂直平分线的交点，直线AB 的
斜率
, 直线AB 的中点为 ………………………………………………………… 1
分 所以线段AB 的垂直平分线的方程为 ,即 √3x - y -2√3=0
…………………………2 分 又线段AD 的垂直平分线的方程为y =0
………………………………………………………………………3 分 联立方程组 解得
所以Q(2,0),半径|QB |=2,
所以圆Q 的方程为(x —2)²+ y²=4 ………………………………………………………………………… 5
分 法 2 :设圆Q 的方程为x ²+ y ²+ Dx + Ey + F =0
…………………………………………………………… 1 分
由题意 …………………………………………………………………………… 3
分 解得D =-4, E = F =0,
故圆Q 的方程为x ²+ y ²—4x =0. ……………………………………………………………………………5
分 (2)解：设 P (x , y ),因为|PA |²+| PC|²=2λ,
所以(x—1)²+( y —√3)²+( x +3)²+( y —√3)²=2λ,
化简得(x +1)²+( y — √3)²=λ-4,所以λ≥4. ……………………………………………………………7
分 当λ=4时，点P 的坐标为(-1, √3),不在圆Q 上，不合题意.
当λ>4时，点P 在以M (-1,√3)为圆心， √ λ-4为半径的圆上，依题意圆M 与圆Q 有公
共点， 又 |MQI =√(-1-2)²+(√3)²=2√3,
所以| √ λ-4-2| ≤2 √ 3≤ √ λ-4+2,解得20-8 √ 3≤A≤20+8√3.
所以λ的取值范围为[20-8 √3,20+8 √3]……………………………………………………………………10
分 (3) 证明：设直线l 的方程为y =kzx+ m , E ( x₁, y₁), F ( x ₂, y₂), x₁ x ₂≠0,
由 得(1+k²)x²+2( km—2) x + m²=0,
所以△=4(km—2)²—4( k²+1) m²=16—16 km—4m²>0,且
……………………………………………………………………………………………………………… 13分
由 x₁ x₂≠0,得 m ≠0,
【高二10月夯基考 · 数学(A 卷)参考答案 第4页(共4页)】 26—X一029B所以m =2 k,所以直线l 的方程为y = k ( x +2),令 解得 即直线l 过定点(-2,0).
……………………………………………………………………………………………………………… 17
分
【高二10月夯基考 · 数学(A 卷)参考答案 第4页(共4页)】 26—X一029B
