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长沙市第一中学2025——2026学年度高二第一学期第二次阶段性检测
数 学
命题人：江楚珉 吴海波 审题人：龚日辉
时量：120分钟 满分:150分
得分
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的)
1.设集合A={x|x²+3x-4<0},B={y|y= ❑√x+1},则A∩B=
A.[-1,1) B.[0,1)
C.(-1,1) D.(-4,1)
2.若复数z满足(1+2i)z=10i,则z的虚部为
A. 4 B. 2i C. 4i D. 2
3.曲线 y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为
A. y=3x-2 B. y=x+1
C. y=2x-1 D. y=x
3π b +b
4.已知数列{a}是等比数列，数列{b}是等差数列，若 a a a = 3❑√3,b +b +b = ,则 cos 2 4 的
n n 1 3 5 1 3 5 4 a a
2 4
值为
❑√3 ❑√2 1 1
A. B. C. D.-
2 2 2 2
a2+b2-c2
5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为 ,则C=
4
π π π π
A. B. C. D.
2 3 4 6
6.函数 f (x)=ex-cosx的部分图象大致为
学科网（北京）股份有限公司x2 y2
7.已知双曲线 - =1(a⟩0,b>0)的一条渐近线方程为 3x-2y=0,，双曲线的左焦点在直线
a2 b2
x+ y+❑√13=0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的
动点，直线 PA，PB的斜率分别为 k ,k ,则 k +k 的取值范围为
1 2 1 2
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
[ 1 )
8.若函数 f (x)=m-x2+2lnx在区间 ,e 上有两个零点，则实数m的取值范围为
e2
( 1 ) ( 1 )
A. 1,4+ B. 1,4+
e4 e4
C. ( 4+ 1 ,e2-2 ) D.(1,e2-2)
e4
二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.在平行六面体 ABCD-A B C D 中，侧棱AA 垂直于底面ABCD，下列结论正确的是
1 1 1 1 1
A.若AB=AD,则AC⊥BD₁
B.若AC=BD,则AC⊥BD₁
C.若 A D=A B,则 BD⊥平面ACCA
1 1 1 1
D.若 AD=A A ,则AD⊥平面 DABC
1 1 1 1
10.抛掷一红一白的两枚骰子，用a表示红色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝上的点数，用(a，b)
表示一次实验结果.记事件A:“a=4”,B:“a+b>10",C:“b<3”,D:“ab>20”，则
A.事件B与C互斥 B.事件C与D 对立
1
C.事件B发生的概率为 D.事件A与D 相互独立
12
11.已知抛物线 y2=2px(p⟩0)的焦点为 F，AB是经过抛物线焦点F 的弦，M是线段AB 的中点，分别经过
点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是 C,D,N,连接 NF,NB，NA，则下列说法正确
的是
A. NF⊥AB
B.直线 NA，NB均与抛物线相切
C.直线 NA与NB 不一定垂直
D.∣NA∣⋅∣NB∣≥2p2
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
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三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知平面向量m，n满足 m⋅n=2,且 m⟂(m-2n),则 ∣m∣=
13.已知函数 f (x)=x(x-c) 2有极大值 32，则实数c 的值为
14.若数列 {a }满足 a =a =1,a +a +a =(n+1) 2(n∈N*)则 a =____.
n 1 2 n n+1 n+2 20
四、解答题(本大题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本题满分13分)
(1)讨论函数 f (x)=kx-lnx的单调性并求极值，
1
(2)证明不等式： lnx≥1- .
x
16.(本题满分15分)
2
已知数列 {a }的前n项和为 S ,且 S -S = (n∈N*,n≥2),a =1,a =2.
n n n n-1 a -a 1 2
n+1 n-1
(1)记 b =a a ,求数列 {b }的通项公式；
n n n+1 n
(2)记 c =log a -log a ,求数列 {c }前n项的和 T
n 2 n 2 n+2 n n
17.(本题满分15分)
π
如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC= ,BC=2AB=2,现将 Rt△ABC绕直角边AC 旋转一周得到一
2
个圆锥，BD为底面圆的直径，点P 为圆锥的内切球O与CD 的切点，E为BD的中点。
(1)求点 P 到平面BCE 的距离;
(2)求平面BCE与平面PAE 所成夹角的余弦值.
学科网（北京）股份有限公司18.(本题满分17分)
已知函数 f (x)=xn+xn-1+⋯+x-1(n∈N*).
n
(1)求函数 f(x),f(x)的零点个数;
3 4
(2)记函数 f(x)在区间(0,+∞)上的零点为xₙ,求证:
n
(Ⅰ)数列{xₙ}是一个递减数列；
n+1
(Ⅱ) ≤x +x +⋯+x ≤n.
2 1 2 n
19.(本题满分17分)
x2 y2
已知圆 O:x2+ y2=r2,椭圆E : + =1.点 P(x ,y )为圆O上任意一点，过点 P 作圆O的切线与椭
4 2 0 0
圆E 交于A，B两点.
(1)当r=1时,
(Ⅰ)证明：切线方程为 x x+ y y=1;
0 0
(Ⅱ)求 △OAB面积的取值范围.
(2)直线AB关于原点O 的对称直线与椭圆E 交于C，D两点，是否存在r，使四边形ABCD为菱形.
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