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连城一中2025—2026学年第一学期月考2
高二数学试题
时间：120分钟 总分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1．已知直线 经过点 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
x2 =2py(p>0)
3．若抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程
为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线 过圆 的圆心，且与直线 垂直，则 的方程为（ ）
2x+y+2=0 2x−y+2=0
A． B． C． D．
5．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形
形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的
交点将圆O的周长八等分， ，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为
（ ）
A． B．
C． D．a =3a +1(n≥2,n∈N¿)
6．已知数列 中， ， n n−1 ，则下列各式正确的是（ ）
1 1
A． a = ⋅3 2025 B． a = (3 2024 −1)
2025 2 2025 2
1 1
C． a = (3 2026 −1) D． a = (3 2025 −1)
2025 2 2025 2
7．直线 与曲线 恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆 的两条相互垂直的切线的交
点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为 ．已知椭圆
的焦点在x轴上， 为椭圆E上任意两点，动点P在直线 上．若 恒为锐角，
则椭圆E离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是递增数列 B．
n=4
C．当 时， D．若 取得最大值，则
10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 的
月考2高二数学试题 第 2 页 共 4 页点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知 ，点
P满足 ，设点 的轨迹为圆 ，则下列说法正确的是（ ）
(x−4) 2 +(y−2) 2 =16
A．圆 的方程是
B．若 ， 满足圆 的方程，则 的最小值是
C．若圆 上存在4个点到直线 的距离为 ，则
D．过直线 上的一点 向圆 引切线 ， ，则四边形 的面积的最小
值为
11．已知双曲线C： （ ），若圆 与双曲线C的渐近线相切，则
（ ）
A．双曲线C的实轴长为
B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上
C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线 的距离
D．直线 与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
2x−y+2=0
12．过点 且与直线 平行的直线方程为 .13．已知双曲线 的右焦点为F，过点F且斜率为 的直线与C的右支
相交于A，B两点，则C的离心率的取值范围为
14．已知数列 满足： ，且
数
列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
A(t,4)
15．已知抛物线 的焦点为F，点 为抛物线上一点，且 .
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线l： 与抛物线交于不同两点P，Q，若 ，求m的值.
16．已知数列 ，前 项和为 ，
{ 1 }
(1)若 是等差数列，求数列 a a 的前 项和 ；
n n+1
a =¿{n,n为奇数 ¿ ¿¿¿
(2)若 n ；
17．已知圆 经过 和 ，且圆心在直线 上．
(1)求圆 的方程；
(2)若直线l过点 ，与圆 交于M，N两点， ，求直线l的方程．
月考2高二数学试题 第 4 页 共 4 页T T =2a −2(n∈N¿ )
18．已知数列 的前 项和为 n，且满足 n n .
(1)求 的通项公式；
{b }
n
(2)在等差数列 中， ， ，求数列 a 的前n项和S .
n n
P =S −[S ] P <1
(3)记[x]表示不超过 的最大整数，若 n n n ，证明 n .
19．已知 两点的坐标分别为 ，直线 相交于点 ，它们的斜率之积是
．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线 与 交于 两点．
(ⅰ)直线 交于点N，求证：点N在定直线上；
(ⅱ)若直线 分别与直线 相交于 两点，求 的值．连城一中2025—2026学年第一学期月考2
高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C C A D B D BC ACD ABD
12．2x−y+8=0 13．(1,2) 14．
8．【详解】由题意可知 ，圆 即为椭圆
蒙日圆，
因为 、 为椭圆 上任意两点，动点 满足 恒为锐角，
则点 在圆 外，又因为动点 在直线 上，
则直线 与圆 相离，
所以 ，解得 ，则 ，
即 ，因此，椭圆 的离心率的取值范围是 .故选：D.
11．【详解】双曲线的渐近线方程是 ，圆 的圆心是 ，半径是1，
则 ， （ 舍去），故实轴长为 ，故A正确；
由A知， ， ，即双曲线焦点为 ，
存在圆 ，
设动圆圆心为 ，由动圆与两圆都外切可得： ，
所以只需存在 ，则点 的轨迹在双曲线的一支上，故B正确；因为直线 与双曲线的渐近线 平行，
而两条平行线间的距离为 ，
所以双曲线右支上点P到直线 的距离 ，故C错误；
设 ， 则由 ，相减可得：
，所以 ，即 ，
所以D在一条定直线 上，故D正确.故选：ABD
14：【详解】由题可得 ， ，又 ，
是首项为2，公比为2的等比数列，
， ， ，又 ，
数列 是单调递增数列，
， 且 对 恒成立， .
15.【详解】（1） 点
A(t,4)为抛物线上一点，且
，
p
根据抛物线的定义可得t+ =4， 解得 ，
2 2pt=16
抛物线的标准方程为 .................................................5分
（2）不过原点的直线l： 与抛物线交于不同两点P，Q，
月考2高二数学试题答案 第2页 共6页设 ，联立得 ，得 ，
，解得 .
由韦达定理，得 ， ，...................................................8分
又 ， ，又两点P，Q在直线l： 上，
故上式化为 ，化简得 ，
把韦达定理代入，得 ，解得 或 ，
直线l不过原点， ，
故m的值为 ......................................................................................13分
16.【详解】（1）设等差数列公差为 ，由题意 ，所以 ，...............................3分
1 1 1 1
= = −
所以a a n(n+1) n n+1；
n n+1
1 1 1 1 1 1
∴T =(1− )+( − )+⋯+( − )=1−
n 2 2 3 n n+1 n+1................................................7分
S =a +a +a +⋯+a +a +a +⋯+a
2n 1 3 5 2n−1 2 4 2n
¿1+3+5+⋯+(2n−1)+21 +23 +25 +⋯+22n−1
n 2
（2）¿ (1+2n−1)+ (4n −1)
2 4−1
2
¿n2 + (4n −1)
3
...........................................................................................................................................15分
17.【详解】（1）设圆的方程为 ，
因为圆C经过 和 ，且圆心在直线 上，所以 ，解得： ，
所以圆C的方程为： ．................................................7分
（2） ，且 = 弦长 ，
①当l斜率不存在时，l的方程为 ，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意．
②当l斜率存在时，设l的方程为 ，即 ，
又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以 ，则 ．
所以 ，解得 ，
所以直线l的方程为 ，
即 ．
综上，l的方程为 或 ．................................................15分
T =2a −2(n∈N¿ )
18.【详解】（1） n n ①，当 时， ，解得 ，
T =2a −2(n∈N¿ )
当 时， n-1 n-1 ②，
式子①-②得 ，即 ，
故 为首项为2，公比为2的等比数列，所以 ；.....................................5分
（2）由（1）知， ， ，
b n
n
设 的公差为 ，则 ，解得 ，所以 ，∴ =
a 2n
n
月考2高二数学试题答案 第4页 共6页两式作差得：
................................................10分
（3） ， 是递减数列，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
当 时，
当 时，
P =S −[S ]
n n n
1 [1] 1 1
P =S −[S ]= − = −0= <1
当 时， 1 1 1 2 2 2 2
P <1
综上所述 n ......................................................................................................17分
19.【详解】（1）设 ，则直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，因为直线 和直线 的斜率乘积为 ，
所以 ，
整理 的方程为 ．................................................5分（2）依题意，直线 的斜率不为0，设 的方程为 ．
由 得 ，
设 ，则 ，解得 ，
，
直线 的方程为 ，直线 的方程为
x +2 y (x +2) y (my +6) my y +6 y
0 2 1 2 1 1 2 2
= = =
直线 交于点N(x ,y )，则x −2 y (x −2) y (my +2) my y +2y
0 0 0 1 2 1 2 1 2 1
3 9
− y + y
x +2 2 1 2 2
∴ 0 = =−3
3 x −2 1 3
∵my y =− (y +y ) 0 y − y
1 2 2 1 2 2 1 2 2
∴x =1,即N点在直线x=1上
0 ................................................11分
(ⅱ) 方法一：直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
令 得 ， ，
所以 ．
所以 ，即 的值为1．......................................................................................17分
月考2高二数学试题答案 第6页 共6页方法二：直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
令 得 ，即 ．
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 的值为1．....................................................................................................................17分
方法三：因为 ，所以 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
同理可得 的斜率 ，所以 ，
所以
