文档内容
第 03 讲 空间向量基本定理
模块一 思维导图串知识 1．类比平面向量基本定理理解空间向量基本定
模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 理；
模块三 核心考点举一反三 2．掌握判断空间三个向量能否构成基底的方法；
模块四 小试牛刀过关测 3．能通过空间向量的线性运算用基底表示向量.
知识点 1 空间向量基本定理
1、定理内容：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使 .
2、基底与基向量 ：如果三个向量 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是
，这个集合可以看作由向量 生成的，我们把 叫做空间
的一个基底， 都叫做基向量。
【注意】（1）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念；
（2）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底；
3、判断基底的基本思路及方法
（1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底；
（2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，
则不能构成基底；②假设 （ ），运用空间向量基本定理，建立 的方程组，若有
解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底。
4、用基底表示向量的步骤
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；
（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结
合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；
（3）下结论：利用空间向量的一个基底 可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含
有 ，不能含有其他形式的向量。
知识点 2 空间向量的正交分解
1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，
当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 表示。
2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向量 ，
使 .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。
考点一：三个向量构成基底的判断
例1．（23-24高二上·重庆·期末）正方体 中的有向线段，不能作为空间中的基底
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A选项， 共面，不能作为空间中的一组基底，A正确；
B选项， 不共面，能作为空间中的一组基底，B错误；
C选项， 不共面，能作为空间中的一组基底，C错误；
D选项，因为 ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设 ，即 ， ，无解，
故 不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.
故选：A
【变式1-1】（23-24高二上·广东东莞·期末）若 构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间
的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 是空间的一个基底，故 不共面，
A选项， 设 ，则 ，无解，
故 不共面，故 可构成空间的一个基底；
B选项，设 ，则 ，无解，
故 不共面，故 可构成空间的一个基底；
C选项，设 ，则 ，无解，
故 不共面，故 可构成空间的一个基底；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D选项，设 ，则 ，得 ，
故 共面，故 不可构成空间的一个基底.故选：D
【变式1-2】（23-24高二下·四川成都·开学考试）（多选）已知 是三个不共面的向量，则下列向量组
中，可以构成基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，因为 ，
则 三个向量共面，它们不能构成一个基底，故A不符合题意；
对于B，假设 共面，则必有不全为0的实数 ，
使得 ，又 不共面，
则 ，无解，所以 不共面，它们能构成一个基底，故B符合题意；
对于C，假设 共面，则必有不全为0的实数 ，
使得 ，又 不共面，
则 ，无解，所以 不共面，它们能构成一个基底，故C符合题意；
对于D，假设 共面，则必有不全为0的实数 ，
使得 ，又 不共面，
则 ，无解，所以 不共面，它们能构成一个基底，故D符合题意.故选：
BCD
【变式1-3】（23-24高二上·河南·月考）（多选）若 是空间的一个基底，则下列向量中可以和
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司， 构成空间一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】对于A， ，
∴ ， ， 共面，不能构成基底，A错误；
对于B， ，
∴ ， ， 共面，不能构成基底，B错误；
对于C，设 ，则 ，无实数解，
所以 ， ， 不共面，构成基底，C正确；
对于D，设 ，则 ，无实数解，
所以 ， ， 不共面，构成基底，D正确.故选：CD
考点二：用基底表示空间中某一向量
例2. （23-24高二上·湖北荆门·期末）在四面体 中，M点在线段 上，且 ，G是
的重心，已知 ， ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为G是 的重心，
则 ，
由 ，得 ，
所以 .故选：C.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式2-1】（23-24高二下·湖南·月考）平行六面体 中， 为 的中点，设 ，
， ，用 表示 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】平行六面体 中，
有 故选：A．
【变式2-2】（23-24高二上·广东·期末）已知 是四面体 的棱 的中点，点 在线段 上，点
在线段 上，且 ，以 为基底，则 可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司.故选：D
【变式2-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将有三条棱互相平行且只
有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍.如图，今有一刍甍，四边形 为平行四边形， 平面
，且 ，点 在棱 上，且 .设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 .
又因为 ，
所以 .故选：A
考点三：利用空间向量基本定理求参数
例3. （23-24高二上·安徽马鞍山·期末）三棱锥 中，点 面 ，且
，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】由题意三棱锥 中，点 面 ，且 ，
所以 ，解得 .故选：D.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式3-1】（23-24高二下·福建·期中）在四面体OABC中， 是棱OA上靠近 的三等分点， 分别
是 的中点，设 ，若 ，则 ．
【答案】
【解析】 ，
故 .
【变式3-2】（23-24高二上·安徽亳州·月考）在四面体ABCD中，点E满足 ，F为BE的中点，
且 ，则实数 ．
【答案】
【解析】由F为BE的中点，得 ，
又 ，所以 ，
由 ，得 ，
即 ，所以 ．
【变式3-3】（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主
的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵 中，
分别是 ， 的中点， 是 的中点，若 ，则 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】
【解析】连接 ，如图所示：
因为 是 的中点， 分别是 ， 的中点，
所以
,
又因为 ，所以 ，
所以 .
考点四：空间向量正交分解
例4. （22-23高二上·河北邯郸·期末）已知 平面ABC， ， ， ，则
空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】因为 平面ABC，AB、AC都在面ABC内，所以 ， .
因为 ， ， ，所以 ，又SA=1，
所以空间的一个单位正交基底可以为 .故选：A
【变式4-1】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）（多选）已知 是空间的一个单位正交基底，则
（ ）
A． B． 构成空间的一个基底
C． D． 构成空间的一个基底
【答案】ACD
【解析】因为 是空间的一个单位正交基底，所以 均为单位向量且两两垂直，
所以 ，A正确．
因为 ，所以 不能构成空间的一个基底，B错误．
，C正确．
因为不存在实数 ，使得 ，
所以 构成空间的一个基底，D正确．故选：ACD
【变式4-2】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知 是空间向量的单位正交基底， 是
空间向量的另一个基底，若向量 在基底 下的坐标是 ，则向量 在基底 下的
坐标是 .
【答案】
【解析】 向量 在基底 下的坐标是 ，
，
所以向量 在基底 下的坐标是 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【变式4-3】（23-24高二上·湖北武汉·月考）已知 是空间的一组单位正交基底，若向量 在基底
下用有序实数组表示为 ，则与向量 同向的单位向量在基底 下用有序实数组表
示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为向量 在基底 下用有序实数组表示为 ，
所以与向量 同向的单位向量 的有序实数组表示为 ，
设与向量 同向的单位向量 在基底 下有序实数组表示为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，解得 ，
则与向量 同向的单位向量 在基底 下用有序实数组表示为 .
故选：C.
考点五：空间向量基本定理的应用
例5. （2024高二·全国·专题练习）如图， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ，
分别是 的中点， 分别是 的中点，证明： ⊥ ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】证明见解析
【解析】因为 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，所以 ，
因为 分别是 的中点，所以 ．
因为 分别是 的中点，
所以 ，
故
所以 ⊥ ，得证．
【变式5-1】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体 中，
， ．设 ， ， ．
(1)用基底 表示向量 ， ， ；
(2)证明： 平面 ．
【答案】(1) ， ， ；(2)证明见解析
【解析】（1）已知 ， ， ，
得： ， ，
．
（2）证明：设 ，
又 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ，且 ，
则 ，
得 ，即 ，
同理可得 ，
因为 ， ， 平面 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ．
【变式5-2】（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体 中， ，
， ， ， ，E是 的中点，设 ， ， ．
(1)求 的长；
(2)求异面直线 和 夹角的余弦值．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由题意得 ，
又 ， ， ， ， ，
故
，
故 ；
（2）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
设异面直线 和 夹角为 ，
则 .
【变式5-3】（23-24高二上·安徽·月考）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为3的菱形，
.
(1)利用空间向量证明 ；
(2)求 的长.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）证明：设 ，则 构成空间的一个基底，
， ，
所以 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以
.
所以 .
一、单选题
1．（23-24高二上·贵州安顺·期末） ， ， 是三个不共面的单位向量， 可为空间的一个基
底，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据基底的定义，可知，若 ， ， 是三个不共面的单位向量，则 可为空间的一个基
底，
反过来，若 为空间的一个基底，则 ， ， 是三个不共面的向量，不一定是单位向量，
所以 是 的充分不必要条件.故选：A
2．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为 的中点，若
， ，则用基底 表示向量 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】连接 ，如图，
因为 是 的中点，所以
.故选：B
3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体 中，点 分别为线段 的中点，若
，则 的值为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】在四面体 中，由 分别为线段 的中点，
得 ，
而 ，由空间向量基本定理得： ，
所以 .故选：A
4．（23-24高二上·河北·期中）已知 平面 ， ， ， ， ，则空间的一
个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ．
因为 ,即 两两垂直，
又 ， ， ，
所以空间的一个单位正交基底可以为 ．故选：B.
5．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知 是空间的一个基底， 是空间的另一个基底，
一向量 在基底 下的坐标为 ，则向量 在基底 下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设向量 在基底 下的坐标为 ，则 ，
又向量 在基底 下的坐标为 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 解得
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以向量 在基底 下的坐标为 .故选：B.
6．（23-24高二上·全国·专题练习）给出下列命题：
若 可以作为空间的一个基底， 与 共线， ，则 也可作为空间的一个基底；
①已知向量 ，则 与任何向量都不能构成空间的一个基底；
②A，B，M，N是空间四点，如果 ， ， 不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；
③已知 是空间的一个基底，若 ，则 也是空间的一个基底．其中真命题的个数是
④( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】① 可作为空间的一个基底， 与 共线且 ，
则 不共面，故 也可作为空间的一个基底，对；
②向量 ，则 与任何向量都共面，故不能构成空间的一个基底，对；
③ ， ， 不能构成空间的一个基底，即 ， ， 必共面，故A，B，M，N共面，
对；
④若 共面，则 ，使 ，
即 ，故 也共面，与题设矛盾，
所以 不共面， 也是空间的一个基底，对.
综上，①②③④均为真命题．故选：D
二、多选题
7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）若 构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A：因为 构成空间的一个基底，
所以可以得 两两都不是共线向量，
假设 是共面向量，
则有 显然无实数解，假设不成立，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因此 不是共面向量，因此 可以成为一组基底；
B：因为 构成空间的一个基底，
所以可以得 两两都不是共线向量，
因为 ，所以 是共面向量，因此不能成为一组基底；
C：因为 构成空间的一个基底，
所以可以得 两两都不是共线向量，
假设 是共面向量，
则有 显然无实数解，假设不成立，
因此 不是共面向量，因此 可以成为一组基底；
D：因为 构成空间的一个基底，所以可以得 两两都不是共线向量，
因为 ，所以 是共面向量，因此不能成为一组基底，故选：
AC
8．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】 ，故A正确；
，
故B错误；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，故C正确；
，故D错误．故选：AC
三、填空题
9．（23-24高二上·广东·月考）在正四棱锥 中，若 ，平面 与棱 交
于点 ，若 ，则 ．
【答案】 /
【解析】由已知可得， .由题知 四点共面，
可设 ，则 ，
所以
，
整理可得， .
又 不共面，所以有 ，解得 .
10．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体 中， 分别是 上的点，
且 是 和 的交点，以 为基底表示 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，同理 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以四边形 为平行四边形，
所以
.
故答案为： .
11．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知 是空间的一个单位正交基底， ，若
，则 .
【答案】4
【解析】 ，
又 ，所以 ，故 .
四、解答题
12．（23-24高二上·广东东莞·月考）在平行六面体 中，设 ， ， ，
分别是 的中点.
(1)用向量 表示 ；
(2)若 ，求实数x，y，z的值.
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】（1）在平行六面体 中，
，
由 分别是 的中点，
得 .
.
（2） ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司而 ，且 不共面，
所以 .
13．（23-24高二上·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱 中，
， 是 的中点.
(1)用 表示向量 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)存在， 时， .
【解析】（1）
（2）假设存在点 ，使 ，设 ，
显然 .
因为 ，所以 ，即
.
设 ，又 ，
即 ，解得 ，
所以当 时， .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
