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湖南省“炎德英才·名校联考联合体” 2025 届高三第四次联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,3,5}，则∁ M=( )
U
A. {4} B. {2,4} C. {2,5} D. {2}
1−i
2. =( )
2−i
1 3 1 3 3 1 3 1
A. + i B. − i C. + i D. − i
5 5 5 5 5 5 5 5
3.已知向量 ⃗a ， ⃗b 满足 ⃗a=(1,2) ，⃗ b=(x,1) ，且 ( ⃗ a− ⃗ b)⊥ ⃗ a ，则 x=( )
1
A. B. 1 C. 2 D. 3
2
4.已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为√3，则正四棱锥的体积为( )
A. √3 B. 2√3 C. 3√3 D. 6√3
5.已知函数 ，则 的解集为( )
f(x)=3x−3−x f(x2−2)+f(x)<0
A. (−2,1) B. (−∞,−2)∪(1,+∞)
C. (−1,2) D. (−∞,−1)∪(2,+∞)
π
6.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)，其中ω>0，0<φ<π，若图象上的点(− ,0)与之相邻的一条对称轴为
10
2
直线x= π，则φ的值是( )
5
π 2π 3π 4π
A. B. C. D.
5 5 5 5
7.设双曲线 x2 y2 的左、右焦点分别为 ， ，过坐标原点的直线与 交于 ， 两
C: − =1(a>0,b>0) F F C A B
a2 b2 1 2
点，F A=2F A，△ABF 的面积为8√3，且∠AF B为钝角，|AF |−|AF |=4，则双曲线C的方
2 1 2 2 2 1
程为( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. − =1 B. − =1 C. − =1 D. − =1
4 2 4 8 4 24 16 9
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1 1ex
8.已知函数f(x)= ，若方程[f(x)−e][f(x)+e+a]=0恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是
|x|
( )
2 1
A. (−∞,−e) B. (−∞,−2e) C. (−∞,− ) D. (−∞,− )
e e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列{a }的前n项和为S ，公差为d，已知S <0，a >0.则( )
n n 10 6
A. a >0 B. d>0
5
C. S >0时，n的最小值为11 D. S 最小时，n=6
n n
10.如图，在直三棱柱ABC−A B C 中，AB=BC=A A ，BC⊥AB，E，F，G，H分别为BB ，
1 1 1 1 1
CC ，A B ，A C 的中点，则下列说法正确的是( )
1 1 1 1 1
A. AB ⊥EG
1
B. EG，FH，A A 三线不共点
1
C. AB与平面EFHG所成角为45∘
D. 设BC=2，则多面体EGB FHC 的体积为1
1 1
11.已知抛物线 和 的焦点分别为 ， ，动直线 与 交于 ，
C :y2=px(p>0) C :y2=2px F F l C M(x ,y )
1 2 1 2 1 1 1
N(x ,y )两点，与C 交于P(x ,y )，Q(x ,y )两点，其中y ，y >0，y ，y <0，且当l过点F 时，
2 2 2 3 3 4 4 1 3 2 4 2
y y =−4，则下列说法正确的是( )
3 4
A. C 的方程为y2=4x
1
3 5
B. 已知点A(2, )，则|MA|+|M F |的最小值为
2 1 2
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2 11 1 1 1
C. − = −
y y y y
1 3 4 2
|MP|
D. 若 =2，则△M F F 与△QF F 的面积相等
|NQ| 1 2 1 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线f(x)=ln(2x−1)在点(1,f(1))处的切线方程为 ．
2025
13.已知数列 的通项公式为 ，则 ．
{b } b =(2n−1)cosnπ ∑ b =
n n n
n=1
14.将2个“0”、2个“1”和2个“2”这6个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成 个自然数，
在所有构成的自然数中，第一位数为1的所有自然数之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
sin A−sinB sinC
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 = ．
b+c a+b
(1)求A;
√3
(2)若
B
⃗
D=4C
⃗
D
，AC=√3，S
△ADC
=
2
，求BC．
16.(本小题15分)
已知函数
f(x)=ex−1−lnx.
(1)证明：f(x)≥1;
(2)设函数F(x)=f(x)−ax(a>0)，证明：函数F(x)有唯一的极值点．
17.(本小题15分)
如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4，点E是CD的中点，将
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3 1△CBE沿BE对折至△PBE，使得PA=4，点F是PD的中点．
(1)求证：PA⊥EF;
(2)求二面角A−BF−E的正弦值．
18.(本小题17分)
电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司
为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中
3
偏好铅酸电池电动车的占 ，得到以下的2×2列联表：
5
偏好铅酸电池电动
偏好石墨烯电池电动车 合计
车
男性市民 200 100
女性市民
合计 500
(1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率α=0.001的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的
电动车的偏好与性别有关;
(2)采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座
谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率;
(3)用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5
名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数为
X，求X的分布列和数学期望．
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4 1参考公式： n(ad−bc) 2 ，其中 ．
χ2= n=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：
α 0.1000.0500.0250.0100.005 0.001
x 2.7063.8415.0246.6357.879 10.828
a
19.(本小题17分)
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富
的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1:在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B;
步骤2:把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合;
步骤3:把纸片展开，并得到一条折痕;
步骤4:不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕．
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓．
若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，AB=4，按照上述方法折纸，点B折
叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线WA交于点E，E的轨迹为曲线T．
(1)以AB所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程;
(2)设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆x2+ y2=1交于M，
N两点(点M在点N的左侧)，记EM，HN的斜率分别为k ，k ，证明：k ⋅k 为定值;
1 2 1 2
(3)F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点Q(t,0)，使得直线n
绕点 无论怎么转动，都有 ⃗ ⃗ 成立 若存在，求出 的坐标 若不存在，请说明理由．
F ? T ;
QC⋅QD=0
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5 1参考答案
1.B
2.D
3.D
4.B
5.A
6.C
7.B
8.B
9.BC
10.AC
11.BCD
12.2x−y−2=0
13.−2025
14.60；3333330
sinA−sinB sinC a−b c
15.解：(1)由 = 及正弦定理得 = ，
b+c a+b b+c a+b
整理得a2=b2+c2+bc，
b2+c2−a2 1 2π
又由余弦定理的推论得，cosA= =− ，00，
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，
所以f(x)≥f(1)=1．
解：因为 ， 的定义域为 ，
(2) a>0 F(x)=f(x)−ax=ex−1−lnx−ax (0,+∞)
1
所以F′(x)=ex−1− −a．
x
设 ，则 ，
ℎ(x)=ex−x−1 ℎ′(x)=ex−1
当x>0时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)> ℎ(0)=0，
所以ex−x−1>0，即ex>x+1，
1 1 1
所以F′(1+a)=ea− −a>a+1− −a=1− >0．
1+a 1+a 1+a
又F′(1)=−a<0，且F′(x)在(0,+∞)上单调递增，
1
所以存在唯一的x ∈(1,1+a)，使得F′(x )=0，即ex 0−1− −a=0，
0 0 x
0
当x∈(0,x )时，F′(x )<0，F(x)单调递减;当x∈(x ,+∞)时，F′(x )>0，所以F(x)单调递增，
0 0 0 0
所以函数F(x)有唯一的极值点．
17.(1)证明：因为AB//CD，CD=2AB，点E是CD的中点，所以AB//DE，AB=DE，所以四边形
ABED是平行四边形，
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7 1又AB⊥AD，AB=AD，所以四边形ABED是正方形，所以BE//AD，且BE⊥DE，所以AD⊥DE，
且AD⊥CE，即AD⊥PE，
因为DE∩PE=E，DE，PE⊂平面PDE，所以AD⊥平面PDE，
因为EF⊂平面PDE，所以AD⊥EF，
因为F是PD的中点，PE=ED，所以EF⊥PD，
因为AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，所以EF⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，所以EF⊥PA．
(2)由(1)知，AD⊥平面PDE，因为PD⊂平面PDE，所以AD⊥PD，
因为PA=4，AD=2.所以PD=√PA2−AD2=√16−4=2√3，
1 PE2+DE2−PD2 4+4−12 1
又PE=DE= CD=2，由余弦定理得cos∠PED= = =− ，
2 2PE⋅DE 8 2
2π
因为0<∠PED<π，所以∠PED= ，
3
π
所以∠PDC= ，
6
以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，作Dz⊥平面ABCD为z轴，建立如图所示的
空间直角坐标系，
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8 1则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，E(0,2,0)，P(0,3,√3)，
3 √3 ⃗ ⃗ 3 √3
因为F是PD的中点，所以F(0, , )，所以DP=(0,3,√3) ，AF=(−2, , )，⃗AB=(0,2,0)，
2 2 2 2
B ⃗ E=(−2,0,0) ，B ⃗ F= ( −2,− 1
2
, √
2
3) ， D ⃗ P·B ⃗ E=0,D ⃗ P·B ⃗ F=0,BE,BF⊂ 平面BEF，BE∩BF=B
⃗
所以PD⊥平面BEF，所以DP=(0,3,√3) 为平面BEF的法向量，
{⃗ ⃗ { 2y=0,
n⋅AB=0,
设平面ABF的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，则 所以 3 √3
⃗ ⃗ −2x+ y+ z=0,
n⋅AF=0, 2 2
⃗
取x=√3，则y=0，z=4，所以n=(√3,0,4) ，
⃗ ⃗
⃗ n⋅DP 4√3 2
所以cos<⃗n，DP>= = = ，
⃗ ⃗ √19⋅2√3 √19
|n|⋅|DP|
设二面角A−BF−E的平面角为θ，
√ ⃗ ⃗ √ 4 √285
所以sinθ= 1−cos2= 1− = ，
19 19
√285
所以二面角A−BF−E的正弦值为 ．
19
18.(1)被调查的女性市民人数为500−200−100=200，
3
其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为200× =120，
5
偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为200−120=80，
所以2×2列联表为：
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9 1零假设H :市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关，
0
n(ad−bc) 2 500(200×120−80×100) 2
根据列联表中的数据可以求得χ2= = ≈34.632，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 300×200×280×220
由于χ2≈34.632>10.828，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，
0
即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关．
200 5
(2)因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为 = ，
80 2
所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，
C1C1
10
设“有女性市民参加座谈”为事件A，“恰有一名女性市民参加座谈”为事件B，则P(AB)= 5 2= ，
C2 21
7
C1C1+C2
11 P(AB) 10 21 10
P(A)= 5 2 2= ，所以P(B|A)= = × = ．
C2 21 P(A) 21 11 11
7
300 3
(3)因为所有参加调查的市民中，男性市民和女性市民的比为 = ，
200 2
所以由分层抽样知，随机抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人．
2 1
根据频率估计概率知，男性市民偏好石墨烯电池电动车的概率为 ，偏好铅酸电池电动车的概率为 ，
3 3
从选出的5名市民中随机抽取2人进行座谈，则X可能的取值为0，1，2．
“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人参加座谈”记为事件D (k=0,1,2)，则
k
CkC2−k
P(D )= 3 2 (k=0,1,2)．
k C2
5
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10 1“参加座谈的2名市民中是偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数恰好为m人”记为事件E (m=0,1,2)，
m
1 1 1 2
则P(E |D )=1，P(E |D )= ，P(E |D )=( ) 2= ，P(E |D )= ，
0 0 0 1 3 0 2 3 9 1 1 3
2 1 4 2 4
P(E |D )=C1× × = ，P(E |D )=( ) 2= ，
1 2 2 3 3 9 2 2 3 9
所以
C0C2 C1C1
1
C2C0
1 1
P(X=0)=P(D )P(E |D )+P(D )P(E |D )+P(D )P(E |D )= 3 2×1+ 3 2× + 3 2× =
0 0 0 1 0 1 2 0 2 C2 C2 3 C2 9 3
5 5 5
C1C1
2
C2C0
4 8
P(X=1)=P(D )P(E |D )+P(D )P(E |D )= 3 2× + 3 2× = ，
1 1 1 2 1 2 C2 3 C2 9 15
5 5
C2C0
4 2
P(X=2)=P(D )P(E |D )= 3 2× = ，故X的分布列如下：
2 2 2 C2 9 15
5
1 8 2 4
E(X)=0× +1× +2× = ．
3 15 15 5
19.解：(1)以AB所在直线为x轴，以⃗AB为x轴的正方向，以AB的中点为原点建立平面直角坐标系，
则A(−2,0)，B(2,0)，
由折纸方法知，|EB|=|EW|，
则||EB|−|EA||=||EW|−|EA||=|WA|=2<|AB|=4，
根据双曲线的定义，曲线T是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，
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11 1x2 y2
设其方程为 − =1(a>0,b>0)，
a2 b2
则a=1，c=√a2+b2=2，所以a2=1，b2=3，
y2
故曲线T的方程为x2− =1．
3
(2)易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)，且M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
{y=kx+m,
联立方程组 y2 整理得(3−k2 )x2−2kmx−(m2+3)=0，
x2− =1,
3
由Δ =4k2m2+4(3−k2 )(m2+3)=0，
1
可得12(m2+3−k2 )=0，可得m2=k2−3，
{y=kx+m,
联立方程组 整理得(1+k2 )x2+2kmx+m2−1=0，
x2+ y2=1,
Δ =4k2m2−4(k2+1)(m2−1)=4(k2−m2+1)>0，
2
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12 12km m2−1
则x +x =− ，x x = ，
1 2 1+k2 1 2 1+k2
y y
因为k = 1 ，k = 2 ，
1 x +1 2 x −1
1 2
y y y y
所以k ⋅k = 1 ⋅ 2 = 1 2 ，
1 2 x +1 x −1 x x −(x −x )−1
1 2 1 2 1 2
又因为y y =(kx +m)(kx +m)=k2x x +km(x +x )+m2 ，
1 2 1 2 1 2 1 2
m2−k2
代入可得y y = ，
1 2 1+k2
−3
由于m2=k2−3，则y y = ，
1 2 1+k2
由于点M在点N的左侧，故x −x <0，
1 2
所以x −x =−|x −x |=−√(x +x ) 2−4x x ，
1 2 1 2 1 2 1 2
4
代入可得x −x =− ，
1 2 1+k2
k2−4
又因为x x = ，
1 2 1+k2
−3
y y 1+k2
则k ⋅k = 1 2 = =3，
1 2 x x −(x −x )−1 k2−4 4
1 2 1 2 + −1
1+k2 1+k2
所以k ⋅k 为定值，定值为3．
1 2
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13 1⃗ ⃗
(3)假设存在点Q(t,0)，使 QC⋅QD=0 恒成立，
由已知得F(2,0)，
当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为y=k (x−2)，C(x ,y )，D(x ,y )，
3 3 3 4 4
{
y2
x2− =1,
联立 3 得(k 2−3)x2−4k 2x+4k 2+3=0，
3 3 3
y=k (x−2),
3
Δ=(−4k 2 ) 2−4(k 2−3)(4k 2+3)=36k 2+36>0，且k ≠±√3，
3 3 3 3 3
4k 2 4k 2+3
则x +x = 3 ，x x = 3 ，
3 4 k 2−3 3 4 k 2−3
3 3
⃗ ⃗
QC=(x −t,y ) ，QD=(x −t,y ) ，
3 3 4 4
⃗ ⃗
则QC⋅QD=(x −t)(x −t)+ y y
3 4 3 4
=x x −t(x +x )+t2+k 2x x −2k 2 (x +x )+4k 2
3 4 3 4 3 3 4 3 3 4 3
(t2−4t−5)k 2−3t2+3
= 3 ，
k 2−3
3
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14 1若 Q
⃗
C⋅Q
⃗
D=0
恒成立，则(t2−4t−5)k
3
2−3t2+3=0恒成立，
{t2−4t−5=0,
即 解得t=−1，
−3t2+3=0,
当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为x=2，
y2
此时4− =1，解得y=±3，
3
不妨取C(2,3)，D(2,−3)，
⃗ ⃗
则QC=(2−t,3) ，QD=(2−t,−3) ，
⃗ ⃗
又QC⋅QD=(2−t) 2−9=0，解得t=−1或t=5，
综上所述，t=−1，
⃗ ⃗
所以存在点Q(−1,0)，使 QC⋅QD=0 恒成立．
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15 1
