楚天协作体2025-2026学年度上学期高二10月月考数学答案_2025年10月高二试卷_251017湖北省楚天协作体2025-2026学年度上学期高二10月月考（全）

2025-2026 学年度上学期高二 10 月月考
高二数学参考答案及评分标准
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A B B A B B C ＡＣ BCD AB
r 1 3
1.直线l的方向向量a( 3，1)，则k    tan，∴倾斜角30o.故选A.
3 3
2.M(1， 2， －3)，N(2， 1，  2)，则|MN | （12）2 （21）2 (32)2  3.故选A.
3.“MN  xAB yAC”不能导出“直线MN //平面ABC”，可能直线MN 平面ABC；
“直线MN //平面ABC”则MN 与AB， AC共面，即存在实数x与 y，使得MN  xAB yAC”.
故选B.
3 3 3t2
4.直线l: y  (xt)与交 y轴于A(0， t)，面积S  3，则t 2（负值舍掉），故选B.
2 2 OAP 4
2
5.直线l:k(x1)(y4)0过定点M(1， -4)，设N(4， -2)，k  ，当MN l时，距离最大，此
MN 3
3 3
时kk 1，则k  .故 (x1)(y4)0，即3x2y50.故选A.
MN
2 2
x y 2 1 1
 
6.设过点P 2,1 的直线方程为：  1，则  1，又三角形面积S |ab|1，
a b a b 2
ab2 ab2
 
则|ab|2，所以2 1 或2 1 ，消a分别得b2 b10，无解或b2 b10，两解，

 1

 1
a b a b
故满足条件的直线共有2条,选B.
7.A(2， 2， 4)，BA(1， 0， 1)，BC (1， 1， 1)，
2 6 3
cos BA,BC   ，则sin  BA,BC 
2 3 3 3
3 6
点A到直线BC的距离d |BA|sin  BA,BC  2  .故选B.
3 3
  ab  2mn30
8.事件A：a， b为钝角  ，
  a,b 
2m3 n1 1
当a与b夹角为时，   0，则m1,n2；
1 1 1
当 ab  2mn30 ，即n  2m3，
（1）当m 1时，n  1，则n 1,2,3,4,5,6，有6种取法，但需要去掉夹角为的取法（m1,n2），
1剩余5种取法；
（2）当m  2时，n 1，n  2,3,4,5,6，有5种取法
（3）当m 3时，n 3，n  4,5,6，有3种取法
（4）当m  4时，n 5，n 6，有1种取法；
（5）当m5时，n  2m37，有0种，
共计n(A)5+5+3+1=14种，又N  n()36，
n(A) 14 7
则
a
与
b
的夹角为钝角的概率P    .故选C.
n() 36 18
9.cab，故a，b，c共面，A正确；
ca  (ab) (bc) ，则 ca 与 ab ， bc 共面，不能成为空间的基底，故 B 错误；
OABC OA(OCOB)OAOCOAOB 0;
OBAC OB(OCOA)OBOCOBOA0;
两式相减得：OBOCOAOC 0，即OC(OBOA)0，即OCAB 0.故C正确；
BP OPOB 2OAOBtOC ，则 OP 2OA2OBtOC ， P ，A，B，C 四点共面，故有
22t 1，则t 3，D错误，故选AC.
10.如图示:n(AB)n(A)n(B)n(AB)4，
故事件A与B不互斥，A错误；
n(AB)6；n(AB AB)4610，
6 3 10 1 1
故P(AB)  ，P(AB AB)  ,P(A) ，故BD正确；
20 10 20 2 2
4 1 1 8 2
n(AB)4 ， P(AB)  ， P(A) ,P(B)  ， 则
20 5 2 20 5
1
P(A)P(B) ，
5
即P(AB) P(A)P(B)，故事件A与B独立，选项C正确.故选BCD.
11.三棱锥P ABD中，易证AB 面PAD ，PD 面PAB ，则四个
面都是直角三角形，且点 P 到平面 ABD 的最大距离为 1，故
1 2
V  S 1 ；故A正确；
PABD
3
ABD
3
四棱锥 P ABCD 的外接球球心 I 在正方形 ABCD 的中心，半径
R |IA| 2，故B正确；
建立如图示的空间直角坐标系，PAD 60o，则POA60o，点
1 3 1 3
P( ， 0， ) ， A(1， 0， 0 ) ， B(1， 2， 0 ) ， D(－1， 0， 0 ) 向量 AP ( ， 0， ) ， DB (2， 2， 0 ) ，则
2 2 2 2
APDB 1 2
cos AP，DB    ，不会成45o,故C错误;
| AP||DB| 2 2 4
2设POA(0,) ，则 P(cos， 0， sin ) ， PB (1cos， 2， sin ) ，平面 ABCD 的法向量为
n(0， 0， 1) ， 直 线 PB 与 平 面 ABCD 所 成 角  的 正 弦 值 为 ：
PBn sin 15
sin |cos PB， n|| |  ，
|PB||n| 62cos 10
1
则10sin293cos，即10cos23cos10，则(5cos1)(2cos1)0，故cos 或
2
1
cos ，即满足条件的点P有两个，不唯一,故D错.正确答案为AB.
5
填空题
5 2 2
12. 13.4 14.
3 3
8
8 | 1|
12.l :3x6y80即x2y 0，两平行直线间的距离为 3 5 .
2 3 d  
5 3
1 2
13. A: 搜索目标任务成功， A: 每只机器狗都没有发现特定目标， P(A)(1 )n ( )n ，则
3 3
2 2 1 2 8 1 2 16 1
P(A)1( )n 80%，即( )n  ，因( )3   ,( )4   ；故n的最小值为4.
3 3 5 3 27 5 3 81 5
14.建立如图示的空间直角坐标系，设|OE|t[0,1]，则E(t,0,0)，
A(0， 0， 0)，D(0， 1， 0)，C (1， 1， 1)，在正方体中，易证：体对角线AC
1 1
垂直平面ABD，且交点为对角线的三等分点，设A关于平面ABD的
1 1
2 2 2 2 2 2 2
对称点为T(x,y,z)，故AT  AC ( , , )，则T( , , )，因
3 1 3 3 3 3 3 3
A，T 关于平面ABD对称，则|PA ||PT |,故
1
2 2 2
|PA ||PE| |PT ||PE||TE|  (t )2 (0 )2 (0 )2
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2
 ，（当t  ，且P位于T( ，，)与E( ,0,0)连线与平面ABD交点时取等），故|PA ||PE|
3 3 3 3 3 3 1
2 2
的最小值为 .
3
解答题
15.（1）a  AB （1,1,0）,因为 c//a ，则设ca （,,0）， ...............2分
5 5
故|c||||a| 2||5，则|| 2， 2， ................4分
2 2
5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2
则c a  （1,1,0），即c（ , ,0）或c（ , ,0）....6分(漏掉一解扣2分）
2 2 2 2 2 2
（2） kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1,k,2)
3ka4bk(1,1,0)4(1,0,2)(k4,k,8) ..............8分
(kab)（ ka4b）(k1)(k4)k2 2(8)0 .............10分
得2k2 3k200， ...............12分
5
即(2k5)(k4)0，则k  或k 4 ..............13分
2
16.(1)设AB a，AD b,AA c,三个向量不共线，则{a， b， c}构成空间的一个基地底，
1
且AC  AB AD AA abc， ...........2分
1 1
2
| AC | AC  (abc)2
1 1
 a
2
b
2
c
2
2ab2bc2ca
...........4分
 161625242cos245cos60o 245cos60o  9732cos
 113 ...........6分
1 
则cos ，（0，），故 . ...........8分
2 3
1 1
（2）MN  MC C N  a b，AC abc， ...........9分
1 1 2 2 1
1 1
则MNAC ( a b)(abc)
1 2 2
1 2 1 1 1 1 2 1
 a  ab ac ab b  bc ..........11分
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 1
 a  ac b  bc
2 2 2 2
1 1 1 1
 42  45cos60o  42  45cos60o ......13分
2 2 2 2
0.
故 MN  AC ..........15分
1
17.（1）连接平行四边形ABCD的对角线BD，交AC 于F .........1分
在PBD中，F 是BD的中点，E是PD中点；
故EF //PB, .........3分
又EF 平面AEC，PB平面AEC；
故PB//平面AEC. （或建系坐标法或向量证法) .........4分
（2）ABC 60o，AB 1,AD 2AB 2,在ABC中，由余弦定理
则 AC  AB2 BC2-2ABBCcos60o  3 ，
则AB2  AC2 4 BC2，由勾股定理，则AB  AC， ........6分
又PA ⊥底面ABCD，则有PA  AB，PA  AC，
4建立如图示的空间直角坐标oxyz，A(0， 0， 0)，B(1， 0， 0)，C(0， 3， 0)，
D(1， 3， 0)，P(0， 0 ， 3)，
1 3 3
PD中点E( ， ， )， ........7分
2 2 2
1 3 3
AE  ( ， ， )，AC  (0， 3， 0),
2 2 2
设平面AEC法向量为 m (x， y， z)，
 mAC  3y 0

则 ，取z 1，则x 3，y 0，
1 3 3
mAE  x y z 0
 2 2 2
故 m ( 3， 0， 1)， ........9分
BAm 1 3 3
BA(1， 0， 0)，则点B与平面AEC的距离d | || | ......10分
|m| （ 3）2 1 2
（3）BP (1， 0 ， 3)，BC (1， 3， 0)，设法向量为n (a，b， c)，
  nBP a 3c0
则 ， ......12分
 nBAa 3b0
取c1，则a  3，b1，则 n ( 3， 1， 1)， .......13分
平面AEC与平面BPC 所成锐二面的角余弦值为
mn 3 31 2 5
|cosm，n|| || | . .......15分
|m||n| 2 5 5
31 1
18.（1）k   ， ...........2分
BC 22 2
1
则BC： y1 (x2)，即x2y40 ...........4分
2
（2）A(m，n)在直线AH ，则2mn40（*）， ...........5分
|BC| (22)2 (13)2 2 5，
|m2n4| |m2n4|
BC边上的高为点A到直线BC：x2y40的距离d   ， .........7分
12 22 5
1 1 |m2n4|
S  |BC|d  2 5 |m2n4|4， .........8分
ABC 2 2 5
8
由（*）代入，则|5m4|4，则5m44或5m44，即m0或m
5
5 8
m
m0   5 8 4
得  或 ，故点A的坐标为(0，4)或( ，). （漏解扣2分）.......11分
n4  4 5 5
n

 5
|axbyc|
（3）A，B，C，D四点在直线l:axbyc0的两侧，根据距离公式d  的特征:直线同
a2 b2
侧的点代入axbyc同号，异侧的点代入axbyc符号相反，
由于两侧的点到直线的距离和相等，则四个点的坐标代入axbyc的和为0，
即(bc)(2abc)(2a3bc)(a2bc)0，
1 1
则ab4c0，即 c a b .........13分
4 4
1 1
代入方程得axby a b0，
4 4
1 1
整理即：a(x )b(y )0， .........15分
4 4
a，b不同时为零，直线过定点，则与a，b无关
 1  1
x 0 x
 
 4  4 1 1
故 ，即 . 则l恒过定点( ，). .........17分
 1  1 4 4
y 0 y 
 
 4  4
1
19.（1）V V  S d ，
EA 1 BC A 1 EBC 3 EBC
1 1 2
S  BCCC   21 ， .......1分
EBC 2 1 2 2
2
点A 到平面EBC的距离d  ， .......2分
1
2
1 2 2 1
则V V     . .......3分
EA 1 BC A 1 EBC 3 2 2 6
（2）直三棱柱ABC ABC 中，AB  AC，
1 1 1
则建立如图示的空间直角坐标系oxyz，
则A(0， 0， 0)，B(1， 0， 0)，C(0， 1， 0)，A(0， 0， 1)，B (1， 0， 1)，C (0， 1 ， 1)，
1 1 1
B E BC (1， 1， 0)，
1 1 1
则OE OB B E OB BC (1，0，1)(1， 1， 0) (1,,1)，
1 1 1 1 1
即E (1， ， 1). .......5分
则AE (1， ， 0)，AB (1， 0， 1)，
1 1
设平面AEB的法向量为m (x， y， z)，
1
6  mAE (1)xy 0 1
则 1 ，取z 1，则x1，y  ，
 mAB  xz 0 
1
1
故m (1， ， 1)， .......7分

另外 y轴垂直于平面ABB ，则平面ABB 的法向量为 n (0，1， 0)， .......8分
1 1 1 1
又二面角B AEB 的平面角为锐角，则二面角的余弦值为：
1 1
1
mn  6
|cosm，n|| || | .......9分
|m||n| 1 3
( )2 2

1 |t| 6
令 t，因(0，1)，则t 0，故  ，即t2 4，则2t 0，
 t2 2 3
1 1 1
即 2，故 ，则[ ,1). （未指明小于1不扣分） ........11分
 3 3
（或不换元，直接解不等式得：32 210，即(31)(1)0，得到结果）
（3）设四面体EABC的外接球心I 的坐标为(x， y， z)，半径为R，
1
则R  IA  IB  IC  IE，
1
故 x2  y2 (z1)2  (x1)2  y2 z2  x2 (y1)2 z2 ........13分
则x y  z， 则外接球心I 的坐标为(x， x， x) ........14分
代入得R  3x2 2x1 (x1)2 (x)2 (x1)2
即3x2 2x13x2 4x22 22，
1 1 1
则x2  ，(0，1)，则x[ , )； ........15分
2 4 2
1 1 2 3
R2 3x2 2x1，x[ , )，则R2[ ，)， ........16分
4 2 3 4
6 3
则R[ , ). ........17分
3 2
7