楚天协作体2025-2026学年度上学期高二10月月考数学答案_2025年10月高二试卷_251017湖北省楚天协作体2025-2026学年度上学期高二10月月考（全）

2025-2026 学年度上学期高二 10 月月考 高二数学参考答案及评分标准 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B B A B B C ＡＣ BCD AB r 1 3 1.直线l的方向向量a( 3，1)，则k    tan，∴倾斜角30o.故选A. 3 3 2.M(1， 2， －3)，N(2， 1，  2)，则|MN | （12）2 （21）2 (32)2  3.故选A. 3.“MN  xAB yAC”不能导出“直线MN //平面ABC”，可能直线MN 平面ABC； “直线MN //平面ABC”则MN 与AB， AC共面，即存在实数x与 y，使得MN  xAB yAC”. 故选B. 3 3 3t2 4.直线l: y  (xt)与交 y轴于A(0， t)，面积S  3，则t 2（负值舍掉），故选B. 2 2 OAP 4 2 5.直线l:k(x1)(y4)0过定点M(1， -4)，设N(4， -2)，k  ，当MN l时，距离最大，此 MN 3 3 3 时kk 1，则k  .故 (x1)(y4)0，即3x2y50.故选A. MN 2 2 x y 2 1 1   6.设过点P 2,1 的直线方程为：  1，则  1，又三角形面积S |ab|1， a b a b 2 ab2 ab2   则|ab|2，所以2 1 或2 1 ，消a分别得b2 b10，无解或b2 b10，两解，   1   1 a b a b 故满足条件的直线共有2条,选B. 7.A(2， 2， 4)，BA(1， 0， 1)，BC (1， 1， 1)， 2 6 3 cos BA,BC   ，则sin  BA,BC  2 3 3 3 3 6 点A到直线BC的距离d |BA|sin  BA,BC  2  .故选B. 3 3   ab  2mn30 8.事件A：a， b为钝角  ，   a,b  2m3 n1 1 当a与b夹角为时，   0，则m1,n2； 1 1 1 当 ab  2mn30 ，即n  2m3， （1）当m 1时，n  1，则n 1,2,3,4,5,6，有6种取法，但需要去掉夹角为的取法（m1,n2）， 1剩余5种取法； （2）当m  2时，n 1，n  2,3,4,5,6，有5种取法 （3）当m 3时，n 3，n  4,5,6，有3种取法 （4）当m  4时，n 5，n 6，有1种取法； （5）当m5时，n  2m37，有0种， 共计n(A)5+5+3+1=14种，又N  n()36， n(A) 14 7 则 a 与 b 的夹角为钝角的概率P    .故选C. n() 36 18 9.cab，故a，b，c共面，A正确； ca  (ab) (bc) ，则 ca 与 ab ， bc 共面，不能成为空间的基底，故 B 错误； OABC OA(OCOB)OAOCOAOB 0; OBAC OB(OCOA)OBOCOBOA0; 两式相减得：OBOCOAOC 0，即OC(OBOA)0，即OCAB 0.故C正确； BP OPOB 2OAOBtOC ，则 OP 2OA2OBtOC ， P ，A，B，C 四点共面，故有 22t 1，则t 3，D错误，故选AC. 10.如图示:n(AB)n(A)n(B)n(AB)4， 故事件A与B不互斥，A错误； n(AB)6；n(AB AB)4610， 6 3 10 1 1 故P(AB)  ，P(AB AB)  ,P(A) ，故BD正确； 20 10 20 2 2 4 1 1 8 2 n(AB)4 ， P(AB)  ， P(A) ,P(B)  ， 则 20 5 2 20 5 1 P(A)P(B) ， 5 即P(AB) P(A)P(B)，故事件A与B独立，选项C正确.故选BCD. 11.三棱锥P ABD中，易证AB 面PAD ，PD 面PAB ，则四个 面都是直角三角形，且点 P 到平面 ABD 的最大距离为 1，故 1 2 V  S 1 ；故A正确； PABD 3 ABD 3 四棱锥 P ABCD 的外接球球心 I 在正方形 ABCD 的中心，半径 R |IA| 2，故B正确； 建立如图示的空间直角坐标系，PAD 60o，则POA60o，点 1 3 1 3 P( ， 0， ) ， A(1， 0， 0 ) ， B(1， 2， 0 ) ， D(－1， 0， 0 ) 向量 AP ( ， 0， ) ， DB (2， 2， 0 ) ，则 2 2 2 2 APDB 1 2 cos AP，DB    ，不会成45o,故C错误; | AP||DB| 2 2 4 2设POA(0,) ，则 P(cos， 0， sin ) ， PB (1cos， 2， sin ) ，平面 ABCD 的法向量为 n(0， 0， 1) ， 直 线 PB 与 平 面 ABCD 所 成 角  的 正 弦 值 为 ： PBn sin 15 sin |cos PB， n|| |  ， |PB||n| 62cos 10 1 则10sin293cos，即10cos23cos10，则(5cos1)(2cos1)0，故cos 或 2 1 cos ，即满足条件的点P有两个，不唯一,故D错.正确答案为AB. 5 填空题 5 2 2 12. 13.4 14. 3 3 8 8 | 1| 12.l :3x6y80即x2y 0，两平行直线间的距离为 3 5 . 2 3 d   5 3 1 2 13. A: 搜索目标任务成功， A: 每只机器狗都没有发现特定目标， P(A)(1 )n ( )n ，则 3 3 2 2 1 2 8 1 2 16 1 P(A)1( )n 80%，即( )n  ，因( )3   ,( )4   ；故n的最小值为4. 3 3 5 3 27 5 3 81 5 14.建立如图示的空间直角坐标系，设|OE|t[0,1]，则E(t,0,0)， A(0， 0， 0)，D(0， 1， 0)，C (1， 1， 1)，在正方体中，易证：体对角线AC 1 1 垂直平面ABD，且交点为对角线的三等分点，设A关于平面ABD的 1 1 2 2 2 2 2 2 2 对称点为T(x,y,z)，故AT  AC ( , , )，则T( , , )，因 3 1 3 3 3 3 3 3 A，T 关于平面ABD对称，则|PA ||PT |,故 1 2 2 2 |PA ||PE| |PT ||PE||TE|  (t )2 (0 )2 (0 )2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2  ，（当t  ，且P位于T( ，，)与E( ,0,0)连线与平面ABD交点时取等），故|PA ||PE| 3 3 3 3 3 3 1 2 2 的最小值为 . 3 解答题 15.（1）a  AB （1,1,0）,因为 c//a ，则设ca （,,0）， ...............2分 5 5 故|c||||a| 2||5，则|| 2， 2， ................4分 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 则c a  （1,1,0），即c（ , ,0）或c（ , ,0）....6分(漏掉一解扣2分） 2 2 2 2 2 2 （2） kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1,k,2) 3ka4bk(1,1,0)4(1,0,2)(k4,k,8) ..............8分 (kab)（ ka4b）(k1)(k4)k2 2(8)0 .............10分 得2k2 3k200， ...............12分 5 即(2k5)(k4)0，则k  或k 4 ..............13分 2 16.(1)设AB a，AD b,AA c,三个向量不共线，则{a， b， c}构成空间的一个基地底， 1 且AC  AB AD AA abc， ...........2分 1 1 2 | AC | AC  (abc)2 1 1  a 2 b 2 c 2 2ab2bc2ca ...........4分  161625242cos245cos60o 245cos60o  9732cos  113 ...........6分 1  则cos ，（0，），故 . ...........8分 2 3 1 1 （2）MN  MC C N  a b，AC abc， ...........9分 1 1 2 2 1 1 1 则MNAC ( a b)(abc) 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1  a  ab ac ab b  bc ..........11分 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1  a  ac b  bc 2 2 2 2 1 1 1 1  42  45cos60o  42  45cos60o ......13分 2 2 2 2 0. 故 MN  AC ..........15分 1 17.（1）连接平行四边形ABCD的对角线BD，交AC 于F .........1分 在PBD中，F 是BD的中点，E是PD中点； 故EF //PB, .........3分 又EF 平面AEC，PB平面AEC； 故PB//平面AEC. （或建系坐标法或向量证法) .........4分 （2）ABC 60o，AB 1,AD 2AB 2,在ABC中，由余弦定理 则 AC  AB2 BC2-2ABBCcos60o  3 ， 则AB2  AC2 4 BC2，由勾股定理，则AB  AC， ........6分 又PA ⊥底面ABCD，则有PA  AB，PA  AC， 4建立如图示的空间直角坐标oxyz，A(0， 0， 0)，B(1， 0， 0)，C(0， 3， 0)， D(1， 3， 0)，P(0， 0 ， 3)， 1 3 3 PD中点E( ， ， )， ........7分 2 2 2 1 3 3 AE  ( ， ， )，AC  (0， 3， 0), 2 2 2 设平面AEC法向量为 m (x， y， z)，  mAC  3y 0  则 ，取z 1，则x 3，y 0， 1 3 3 mAE  x y z 0  2 2 2 故 m ( 3， 0， 1)， ........9分 BAm 1 3 3 BA(1， 0， 0)，则点B与平面AEC的距离d | || | ......10分 |m| （ 3）2 1 2 （3）BP (1， 0 ， 3)，BC (1， 3， 0)，设法向量为n (a，b， c)，   nBP a 3c0 则 ， ......12分  nBAa 3b0 取c1，则a  3，b1，则 n ( 3， 1， 1)， .......13分 平面AEC与平面BPC 所成锐二面的角余弦值为 mn 3 31 2 5 |cosm，n|| || | . .......15分 |m||n| 2 5 5 31 1 18.（1）k   ， ...........2分 BC 22 2 1 则BC： y1 (x2)，即x2y40 ...........4分 2 （2）A(m，n)在直线AH ，则2mn40（*）， ...........5分 |BC| (22)2 (13)2 2 5， |m2n4| |m2n4| BC边上的高为点A到直线BC：x2y40的距离d   ， .........7分 12 22 5 1 1 |m2n4| S  |BC|d  2 5 |m2n4|4， .........8分 ABC 2 2 5 8 由（*）代入，则|5m4|4，则5m44或5m44，即m0或m 5 5 8 m m0   5 8 4 得  或 ，故点A的坐标为(0，4)或( ，). （漏解扣2分）.......11分 n4  4 5 5 n   5 |axbyc| （3）A，B，C，D四点在直线l:axbyc0的两侧，根据距离公式d  的特征:直线同 a2 b2 侧的点代入axbyc同号，异侧的点代入axbyc符号相反， 由于两侧的点到直线的距离和相等，则四个点的坐标代入axbyc的和为0， 即(bc)(2abc)(2a3bc)(a2bc)0， 1 1 则ab4c0，即 c a b .........13分 4 4 1 1 代入方程得axby a b0， 4 4 1 1 整理即：a(x )b(y )0， .........15分 4 4 a，b不同时为零，直线过定点，则与a，b无关  1  1 x 0 x    4  4 1 1 故 ，即 . 则l恒过定点( ，). .........17分  1  1 4 4 y 0 y     4  4 1 19.（1）V V  S d ， EA 1 BC A 1 EBC 3 EBC 1 1 2 S  BCCC   21 ， .......1分 EBC 2 1 2 2 2 点A 到平面EBC的距离d  ， .......2分 1 2 1 2 2 1 则V V     . .......3分 EA 1 BC A 1 EBC 3 2 2 6 （2）直三棱柱ABC ABC 中，AB  AC， 1 1 1 则建立如图示的空间直角坐标系oxyz， 则A(0， 0， 0)，B(1， 0， 0)，C(0， 1， 0)，A(0， 0， 1)，B (1， 0， 1)，C (0， 1 ， 1)， 1 1 1 B E BC (1， 1， 0)， 1 1 1 则OE OB B E OB BC (1，0，1)(1， 1， 0) (1,,1)， 1 1 1 1 1 即E (1， ， 1). .......5分 则AE (1， ， 0)，AB (1， 0， 1)， 1 1 设平面AEB的法向量为m (x， y， z)， 1 6  mAE (1)xy 0 1 则 1 ，取z 1，则x1，y  ，  mAB  xz 0  1 1 故m (1， ， 1)， .......7分  另外 y轴垂直于平面ABB ，则平面ABB 的法向量为 n (0，1， 0)， .......8分 1 1 1 1 又二面角B AEB 的平面角为锐角，则二面角的余弦值为： 1 1 1 mn  6 |cosm，n|| || | .......9分 |m||n| 1 3 ( )2 2  1 |t| 6 令 t，因(0，1)，则t 0，故  ，即t2 4，则2t 0，  t2 2 3 1 1 1 即 2，故 ，则[ ,1). （未指明小于1不扣分） ........11分  3 3 （或不换元，直接解不等式得：32 210，即(31)(1)0，得到结果） （3）设四面体EABC的外接球心I 的坐标为(x， y， z)，半径为R， 1 则R  IA  IB  IC  IE， 1 故 x2  y2 (z1)2  (x1)2  y2 z2  x2 (y1)2 z2 ........13分 则x y  z， 则外接球心I 的坐标为(x， x， x) ........14分 代入得R  3x2 2x1 (x1)2 (x)2 (x1)2 即3x2 2x13x2 4x22 22， 1 1 1 则x2  ，(0，1)，则x[ , )； ........15分 2 4 2 1 1 2 3 R2 3x2 2x1，x[ , )，则R2[ ，)， ........16分 4 2 3 4 6 3 则R[ , ). ........17分 3 2 7